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Theorem isipodrs 14579
 Description: Condition for a family of sets to be directed by inclusion. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
isipodrs toInc Dirset
Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem isipodrs
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . . 5 toInc toInc
21drsbn0 14386 . . . 4 toInc Dirset toInc
32neneqd 2614 . . 3 toInc Dirset toInc
4 fvprc 5714 . . . . 5 toInc
54fveq2d 5724 . . . 4 toInc
6 base0 13498 . . . 4
75, 6syl6eqr 2485 . . 3 toInc
83, 7nsyl2 121 . 2 toInc Dirset
9 simp1 957 . 2
10 eqid 2435 . . . 4 toInc toInc
111, 10isdrs 14383 . . 3 toInc Dirset toInc toInc toInc toInc toInctoInc toInc
12 eqid 2435 . . . . . . . 8 toInc toInc
1312ipopos 14578 . . . . . . 7 toInc
14 posprs 14398 . . . . . . 7 toInc toInc
1513, 14mp1i 12 . . . . . 6 toInc
16 id 20 . . . . . 6
1715, 162thd 232 . . . . 5 toInc
1812ipobas 14573 . . . . . . 7 toInc
19 neeq1 2606 . . . . . . . 8 toInc toInc
20 rexeq 2897 . . . . . . . . . 10 toInc toInc toInc toInctoInc toInc
2120raleqbi1dv 2904 . . . . . . . . 9 toInc toInc toInc toInc toInctoInc toInc
2221raleqbi1dv 2904 . . . . . . . 8 toInc toInc toInc toInc toInc toInctoInc toInc
2319, 22anbi12d 692 . . . . . . 7 toInc toInc toInc toInc toInc toInc toInctoInc toInc
2418, 23syl 16 . . . . . 6 toInc toInc toInc toInc toInc toInctoInc toInc
25 simpll 731 . . . . . . . . . . . 12
26 simplrl 737 . . . . . . . . . . . 12
27 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12
2812, 10ipole 14576 . . . . . . . . . . . 12 toInc
2925, 26, 27, 28syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11 toInc
30 simplrr 738 . . . . . . . . . . . 12
3112, 10ipole 14576 . . . . . . . . . . . 12 toInc
3225, 30, 27, 31syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11 toInc
3329, 32anbi12d 692 . . . . . . . . . 10 toInc toInc
34 unss 3513 . . . . . . . . . 10
3533, 34syl6bb 253 . . . . . . . . 9 toInc toInc
3635rexbidva 2714 . . . . . . . 8 toInc toInc
37362ralbidva 2737 . . . . . . 7 toInc toInc
3837anbi2d 685 . . . . . 6 toInc toInc
3924, 38bitr3d 247 . . . . 5 toInc toInc toInc toInctoInc toInc
4017, 39anbi12d 692 . . . 4 toInc toInc toInc toInc toInctoInc toInc
41 3anass 940 . . . 4 toInc toInc toInc toInc toInctoInc toInc toInc toInc toInc toInc toInctoInc toInc
42 3anass 940 . . . 4
4340, 41, 423bitr4g 280 . . 3 toInc toInc toInc toInc toInctoInc toInc
4411, 43syl5bb 249 . 2 toInc Dirset
458, 9, 44pm5.21nii 343 1 toInc Dirset
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698  cvv 2948   cun 3310   wss 3312  c0 3620   class class class wbr 4204  cfv 5446  cbs 13461  cple 13528   cpreset 14375  Dirsetcdrs 14376  cpo 14389  toInccipo 14569 This theorem is referenced by:  ipodrscl  14580  fpwipodrs  14582  ipodrsima  14583  nacsfix  26757 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ocomp 13542  df-preset 14377  df-drs 14378  df-poset 14395  df-ipo 14570
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