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Theorem isirred2 15499
Description: Expand out the set differences from isirred 15497. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isirred2.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
isirred2.2  |-  U  =  (Unit `  R )
isirred2.3  |-  I  =  (Irred `  R )
isirred2.4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
isirred2  |-  ( X  e.  I  <->  ( X  e.  B  /\  -.  X  e.  U  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, R, y    x, U, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    .x. ( x, y)    I( x, y)

Proof of Theorem isirred2
StepHypRef Expression
1 eldif 3175 . . 3  |-  ( X  e.  ( B  \  U )  <->  ( X  e.  B  /\  -.  X  e.  U ) )
2 eldif 3175 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( B  \  U )  <->  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  U ) )
3 eldif 3175 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( B  \  U )  <->  ( y  e.  B  /\  -.  y  e.  U ) )
42, 3anbi12i 678 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( B 
\  U )  /\  y  e.  ( B  \  U ) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  U
)  /\  ( y  e.  B  /\  -.  y  e.  U ) ) )
5 an4 797 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  U
)  /\  ( y  e.  B  /\  -.  y  e.  U ) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U ) ) )
64, 5bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( B 
\  U )  /\  y  e.  ( B  \  U ) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U ) ) )
76imbi1i 315 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( B  \  U )  /\  y  e.  ( B  \  U ) )  ->  ( x  .x.  y )  =/=  X
)  <->  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U ) )  -> 
( x  .x.  y
)  =/=  X ) )
8 impexp 433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U
) )  ->  (
x  .x.  y )  =/=  X )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U )  ->  (
x  .x.  y )  =/=  X ) ) )
9 pm4.56 481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U
)  <->  -.  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) )
10 df-ne 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  .x.  y )  =/=  X  <->  -.  (
x  .x.  y )  =  X )
119, 10imbi12i 316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U )  ->  (
x  .x.  y )  =/=  X )  <->  ( -.  ( x  e.  U  \/  y  e.  U
)  ->  -.  (
x  .x.  y )  =  X ) )
12 con34b 283 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .x.  y
)  =  X  -> 
( x  e.  U  \/  y  e.  U
) )  <->  ( -.  ( x  e.  U  \/  y  e.  U
)  ->  -.  (
x  .x.  y )  =  X ) )
1311, 12bitr4i 243 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U )  ->  (
x  .x.  y )  =/=  X )  <->  ( (
x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) )
1413imbi2i 303 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U
)  ->  ( x  .x.  y )  =/=  X
) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) ) )
158, 14bitri 240 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U
) )  ->  (
x  .x.  y )  =/=  X )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) ) )
167, 15bitri 240 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( B  \  U )  /\  y  e.  ( B  \  U ) )  ->  ( x  .x.  y )  =/=  X
)  <->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( x  .x.  y
)  =  X  -> 
( x  e.  U  \/  y  e.  U
) ) ) )
17162albii 1557 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  ( B 
\  U )  /\  y  e.  ( B  \  U ) )  -> 
( x  .x.  y
)  =/=  X )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) ) )
18 r2al 2593 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( B  \  U ) A. y  e.  ( B  \  U
) ( x  .x.  y )  =/=  X  <->  A. x A. y ( ( x  e.  ( B  \  U )  /\  y  e.  ( B  \  U ) )  ->  ( x  .x.  y )  =/=  X
) )
19 r2al 2593 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  .x.  y
)  =  X  -> 
( x  e.  U  \/  y  e.  U
) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( x  .x.  y
)  =  X  -> 
( x  e.  U  \/  y  e.  U
) ) ) )
2017, 18, 193bitr4i 268 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( B  \  U ) A. y  e.  ( B  \  U
) ( x  .x.  y )  =/=  X  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  .x.  y
)  =  X  -> 
( x  e.  U  \/  y  e.  U
) ) )
211, 20anbi12i 678 . 2  |-  ( ( X  e.  ( B 
\  U )  /\  A. x  e.  ( B 
\  U ) A. y  e.  ( B  \  U ) ( x 
.x.  y )  =/= 
X )  <->  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  e.  U
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) ) )
22 isirred2.1 . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
23 isirred2.2 . . 3  |-  U  =  (Unit `  R )
24 isirred2.3 . . 3  |-  I  =  (Irred `  R )
25 eqid 2296 . . 3  |-  ( B 
\  U )  =  ( B  \  U
)
26 isirred2.4 . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
2722, 23, 24, 25, 26isirred 15497 . 2  |-  ( X  e.  I  <->  ( X  e.  ( B  \  U
)  /\  A. x  e.  ( B  \  U
) A. y  e.  ( B  \  U
) ( x  .x.  y )  =/=  X
) )
28 df-3an 936 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  e.  U  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) )  <-> 
( ( X  e.  B  /\  -.  X  e.  U )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  .x.  y
)  =  X  -> 
( x  e.  U  \/  y  e.  U
) ) ) )
2921, 27, 283bitr4i 268 1  |-  ( X  e.  I  <->  ( X  e.  B  /\  -.  X  e.  U  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556    \ cdif 3162   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   .rcmulr 13225  Unitcui 15437  Irredcir 15438
This theorem is referenced by:  irredcl  15502  irrednu  15503  irredmul  15507  prmirredlem  16462
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-irred 15441
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