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Theorem isirred2 15807
Description: Expand out the set differences from isirred 15805. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
isirred2.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
isirred2.2  |-  U  =  (Unit `  R )
isirred2.3  |-  I  =  (Irred `  R )
isirred2.4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
isirred2  |-  ( X  e.  I  <->  ( X  e.  B  /\  -.  X  e.  U  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, R, y    x, U, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    .x. ( x, y)    I( x, y)

Proof of Theorem isirred2
StepHypRef Expression
1 eldif 3331 . . 3  |-  ( X  e.  ( B  \  U )  <->  ( X  e.  B  /\  -.  X  e.  U ) )
2 eldif 3331 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( B  \  U )  <->  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  U ) )
3 eldif 3331 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( B  \  U )  <->  ( y  e.  B  /\  -.  y  e.  U ) )
42, 3anbi12i 680 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( B 
\  U )  /\  y  e.  ( B  \  U ) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  -.  x  e.  U
)  /\  ( y  e.  B  /\  -.  y  e.  U ) ) )
5 an4 799 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  U
)  /\  ( y  e.  B  /\  -.  y  e.  U ) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U ) ) )
64, 5bitri 242 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( B 
\  U )  /\  y  e.  ( B  \  U ) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U ) ) )
76imbi1i 317 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( B  \  U )  /\  y  e.  ( B  \  U ) )  ->  ( x  .x.  y )  =/=  X
)  <->  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U ) )  -> 
( x  .x.  y
)  =/=  X ) )
8 impexp 435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U
) )  ->  (
x  .x.  y )  =/=  X )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U )  ->  (
x  .x.  y )  =/=  X ) ) )
9 pm4.56 483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U
)  <->  -.  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) )
10 df-ne 2602 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  .x.  y )  =/=  X  <->  -.  (
x  .x.  y )  =  X )
119, 10imbi12i 318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U )  ->  (
x  .x.  y )  =/=  X )  <->  ( -.  ( x  e.  U  \/  y  e.  U
)  ->  -.  (
x  .x.  y )  =  X ) )
12 con34b 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .x.  y
)  =  X  -> 
( x  e.  U  \/  y  e.  U
) )  <->  ( -.  ( x  e.  U  \/  y  e.  U
)  ->  -.  (
x  .x.  y )  =  X ) )
1311, 12bitr4i 245 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U )  ->  (
x  .x.  y )  =/=  X )  <->  ( (
x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) )
1413imbi2i 305 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U
)  ->  ( x  .x.  y )  =/=  X
) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) ) )
158, 14bitri 242 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( -.  x  e.  U  /\  -.  y  e.  U
) )  ->  (
x  .x.  y )  =/=  X )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) ) )
167, 15bitri 242 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( B  \  U )  /\  y  e.  ( B  \  U ) )  ->  ( x  .x.  y )  =/=  X
)  <->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( x  .x.  y
)  =  X  -> 
( x  e.  U  \/  y  e.  U
) ) ) )
17162albii 1577 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  ( B 
\  U )  /\  y  e.  ( B  \  U ) )  -> 
( x  .x.  y
)  =/=  X )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) ) )
18 r2al 2743 . . . 4  |-  ( A. x  e.  ( B  \  U ) A. y  e.  ( B  \  U
) ( x  .x.  y )  =/=  X  <->  A. x A. y ( ( x  e.  ( B  \  U )  /\  y  e.  ( B  \  U ) )  ->  ( x  .x.  y )  =/=  X
) )
19 r2al 2743 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  .x.  y
)  =  X  -> 
( x  e.  U  \/  y  e.  U
) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( x  .x.  y
)  =  X  -> 
( x  e.  U  \/  y  e.  U
) ) ) )
2017, 18, 193bitr4i 270 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( B  \  U ) A. y  e.  ( B  \  U
) ( x  .x.  y )  =/=  X  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  .x.  y
)  =  X  -> 
( x  e.  U  \/  y  e.  U
) ) )
211, 20anbi12i 680 . 2  |-  ( ( X  e.  ( B 
\  U )  /\  A. x  e.  ( B 
\  U ) A. y  e.  ( B  \  U ) ( x 
.x.  y )  =/= 
X )  <->  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  e.  U
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) ) )
22 isirred2.1 . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
23 isirred2.2 . . 3  |-  U  =  (Unit `  R )
24 isirred2.3 . . 3  |-  I  =  (Irred `  R )
25 eqid 2437 . . 3  |-  ( B 
\  U )  =  ( B  \  U
)
26 isirred2.4 . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
2722, 23, 24, 25, 26isirred 15805 . 2  |-  ( X  e.  I  <->  ( X  e.  ( B  \  U
)  /\  A. x  e.  ( B  \  U
) A. y  e.  ( B  \  U
) ( x  .x.  y )  =/=  X
) )
28 df-3an 939 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  -.  X  e.  U  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) )  <-> 
( ( X  e.  B  /\  -.  X  e.  U )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
( x  .x.  y
)  =  X  -> 
( x  e.  U  \/  y  e.  U
) ) ) )
2921, 27, 283bitr4i 270 1  |-  ( X  e.  I  <->  ( X  e.  B  /\  -.  X  e.  U  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
x  .x.  y )  =  X  ->  ( x  e.  U  \/  y  e.  U ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937   A.wal 1550    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600   A.wral 2706    \ cdif 3318   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   Basecbs 13470   .rcmulr 13531  Unitcui 15745  Irredcir 15746
This theorem is referenced by:  irredcl  15810  irrednu  15811  irredmul  15815  prmirredlem  16774
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fv 5463  df-ov 6085  df-irred 15749
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