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Theorem isismty 25937
Description: The condition "is an isometry". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
isismty  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, M, y    x, N, y    x, X, y    x, Y, y   
x, F, y

Proof of Theorem isismty
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismtyval 25936 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( M  Ismty  N )  =  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( f `
 x ) N ( f `  y
) ) ) } )
21eleq2d 2350 . 2  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  <->  F  e.  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) } ) )
3 f1of 5472 . . . . . . 7  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X
--> Y )
43adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )  ->  F : X --> Y )
5 elfvdm 5554 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
6 elfvdm 5554 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( * Met `  Y )  ->  Y  e.  dom  * Met )
7 fex2 5401 . . . . . 6  |-  ( ( F : X --> Y  /\  X  e.  dom  * Met  /\  Y  e.  dom  * Met )  ->  F  e. 
_V )
84, 5, 6, 7syl3an 1224 . . . . 5  |-  ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  /\  M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  F  e.  _V )
983expib 1154 . . . 4  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )  -> 
( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  F  e.  _V ) )
109com12 27 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  (
( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  ->  F  e.  _V ) )
11 f1oeq1 5463 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
f : X -1-1-onto-> Y  <->  F : X
-1-1-onto-> Y ) )
12 fveq1 5524 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
13 fveq1 5524 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  y )  =  ( F `  y ) )
1412, 13oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
) N ( f `
 y ) )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )
1514eqeq2d 2294 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) )  <->  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) )
16152ralbidv 2585 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) )
1711, 16anbi12d 691 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) )  <-> 
( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) ) )
1817elab3g 2920 . . 3  |-  ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  ->  F  e.  _V )  ->  ( F  e. 
{ f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( f `
 x ) N ( f `  y
) ) ) }  <-> 
( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) ) )
1910, 18syl 15 . 2  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) }  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) ) )
202, 19bitrd 244 1  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   _Vcvv 2788   dom cdm 4689   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   * Metcxmt 16369    Ismty cismty 25934
This theorem is referenced by:  ismtycnv  25938  ismtyima  25939  ismtyhmeolem  25940  ismtybndlem  25942  ismtyres  25944  ismrer1  25974  reheibor  25975
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-xr 8871  df-xmet 16373  df-ismty 25935
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