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Theorem isismty 26502
Description: The condition "is an isometry". (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
isismty  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, M, y    x, N, y    x, X, y    x, Y, y   
x, F, y

Proof of Theorem isismty
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismtyval 26501 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( M  Ismty  N )  =  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( f `
 x ) N ( f `  y
) ) ) } )
21eleq2d 2503 . 2  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  <->  F  e.  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) } ) )
3 f1of 5667 . . . . . . 7  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X
--> Y )
43adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )  ->  F : X --> Y )
5 elfvdm 5750 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
6 elfvdm 5750 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( * Met `  Y )  ->  Y  e.  dom  * Met )
7 fex2 5596 . . . . . 6  |-  ( ( F : X --> Y  /\  X  e.  dom  * Met  /\  Y  e.  dom  * Met )  ->  F  e. 
_V )
84, 5, 6, 7syl3an 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  /\  M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  F  e.  _V )
983expib 1156 . . . 4  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )  -> 
( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  F  e.  _V ) )
109com12 29 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  (
( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  ->  F  e.  _V ) )
11 f1oeq1 5658 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
f : X -1-1-onto-> Y  <->  F : X
-1-1-onto-> Y ) )
12 fveq1 5720 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
13 fveq1 5720 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  y )  =  ( F `  y ) )
1412, 13oveq12d 6092 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
) N ( f `
 y ) )  =  ( ( F `
 x ) N ( F `  y
) ) )
1514eqeq2d 2447 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) )  <->  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) )
16152ralbidv 2740 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) )
1711, 16anbi12d 692 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) )  <-> 
( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) ) )
1817elab3g 3081 . . 3  |-  ( ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) )  ->  F  e.  _V )  ->  ( F  e. 
{ f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
x M y )  =  ( ( f `
 x ) N ( f `  y
) ) ) }  <-> 
( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) ) )
1910, 18syl 16 . 2  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  { f  |  ( f : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( f `  x ) N ( f `  y ) ) ) }  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) ) )
202, 19bitrd 245 1  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x M y )  =  ( ( F `  x ) N ( F `  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   A.wral 2698   _Vcvv 2949   dom cdm 4871   -->wf 5443   -1-1-onto->wf1o 5446   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   * Metcxmt 16679    Ismty cismty 26499
This theorem is referenced by:  ismtycnv  26503  ismtyima  26504  ismtyhmeolem  26505  ismtybndlem  26507  ismtyres  26509  ismrer1  26539  reheibor  26540
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-op 3816  df-uni 4009  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-id 4491  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-map 7013  df-xr 9117  df-xmet 16688  df-ismty 26500
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