MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iskgen2 Unicode version

Theorem iskgen2 17259
Description: A space is compactly generated iff it contains its image under the compact generator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
iskgen2  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  <->  ( J  e. 
Top  /\  (𝑘Gen `  J
)  C_  J )
)

Proof of Theorem iskgen2
StepHypRef Expression
1 kgentop 17253 . . 3  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  ->  J  e.  Top )
2 kgenidm 17258 . . . 4  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  ->  (𝑘Gen `  J
)  =  J )
3 eqimss 3243 . . . 4  |-  ( (𝑘Gen `  J )  =  J  ->  (𝑘Gen `  J )  C_  J )
42, 3syl 15 . . 3  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  ->  (𝑘Gen `  J
)  C_  J )
51, 4jca 518 . 2  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  ->  ( J  e.  Top  /\  (𝑘Gen `  J
)  C_  J )
)
6 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (𝑘Gen
`  J )  C_  J )  ->  (𝑘Gen `  J )  C_  J
)
7 kgenss 17254 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )
87adantr 451 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (𝑘Gen
`  J )  C_  J )  ->  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )
96, 8eqssd 3209 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (𝑘Gen
`  J )  C_  J )  ->  (𝑘Gen `  J )  =  J )
10 kgenf 17252 . . . . . 6  |- 𝑘Gen : Top --> Top
11 ffn 5405 . . . . . 6  |-  (𝑘Gen : Top --> Top 
-> 𝑘Gen 
Fn  Top )
1210, 11ax-mp 8 . . . . 5  |- 𝑘Gen  Fn  Top
13 fnfvelrn 5678 . . . . 5  |-  ( (𝑘Gen  Fn  Top  /\  J  e. 
Top )  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  ran 𝑘Gen )
1412, 13mpan 651 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  ran 𝑘Gen )
1514adantr 451 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (𝑘Gen
`  J )  C_  J )  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  ran 𝑘Gen )
169, 15eqeltrrd 2371 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (𝑘Gen
`  J )  C_  J )  ->  J  e.  ran 𝑘Gen )
175, 16impbii 180 1  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  <->  ( J  e. 
Top  /\  (𝑘Gen `  J
)  C_  J )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   ran crn 4706    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271   Topctop 16647  𝑘Genckgen 17244
This theorem is referenced by:  iskgen3  17260  llycmpkgen2  17261  1stckgen  17265  txkgen  17362  qtopkgen  17417
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cmp 17130  df-kgen 17245
  Copyright terms: Public domain W3C validator