MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iskgen2 Structured version   Unicode version

Theorem iskgen2 17572
Description: A space is compactly generated iff it contains its image under the compact generator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
iskgen2  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  <->  ( J  e. 
Top  /\  (𝑘Gen `  J
)  C_  J )
)

Proof of Theorem iskgen2
StepHypRef Expression
1 kgentop 17566 . . 3  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  ->  J  e.  Top )
2 kgenidm 17571 . . . 4  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  ->  (𝑘Gen `  J
)  =  J )
3 eqimss 3392 . . . 4  |-  ( (𝑘Gen `  J )  =  J  ->  (𝑘Gen `  J )  C_  J )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  ->  (𝑘Gen `  J
)  C_  J )
51, 4jca 519 . 2  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  ->  ( J  e.  Top  /\  (𝑘Gen `  J
)  C_  J )
)
6 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (𝑘Gen
`  J )  C_  J )  ->  (𝑘Gen `  J )  C_  J
)
7 kgenss 17567 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )
87adantr 452 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (𝑘Gen
`  J )  C_  J )  ->  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )
96, 8eqssd 3357 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (𝑘Gen
`  J )  C_  J )  ->  (𝑘Gen `  J )  =  J )
10 kgenf 17565 . . . . . 6  |- 𝑘Gen : Top --> Top
11 ffn 5583 . . . . . 6  |-  (𝑘Gen : Top --> Top 
-> 𝑘Gen 
Fn  Top )
1210, 11ax-mp 8 . . . . 5  |- 𝑘Gen  Fn  Top
13 fnfvelrn 5859 . . . . 5  |-  ( (𝑘Gen  Fn  Top  /\  J  e. 
Top )  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  ran 𝑘Gen )
1412, 13mpan 652 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  ran 𝑘Gen )
1514adantr 452 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (𝑘Gen
`  J )  C_  J )  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  ran 𝑘Gen )
169, 15eqeltrrd 2510 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (𝑘Gen
`  J )  C_  J )  ->  J  e.  ran 𝑘Gen )
175, 16impbii 181 1  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  <->  ( J  e. 
Top  /\  (𝑘Gen `  J
)  C_  J )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312   ran crn 4871    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446   Topctop 16950  𝑘Genckgen 17557
This theorem is referenced by:  iskgen3  17573  llycmpkgen2  17574  1stckgen  17578  txkgen  17676  qtopkgen  17734
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-fin 7105  df-fi 7408  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cmp 17442  df-kgen 17558
  Copyright terms: Public domain W3C validator