MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iskgen2 Unicode version

Theorem iskgen2 17243
Description: A space is compactly generated iff it contains its image under the compact generator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
iskgen2  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  <->  ( J  e. 
Top  /\  (𝑘Gen `  J
)  C_  J )
)

Proof of Theorem iskgen2
StepHypRef Expression
1 kgentop 17237 . . 3  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  ->  J  e.  Top )
2 kgenidm 17242 . . . 4  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  ->  (𝑘Gen `  J
)  =  J )
3 eqimss 3230 . . . 4  |-  ( (𝑘Gen `  J )  =  J  ->  (𝑘Gen `  J )  C_  J )
42, 3syl 15 . . 3  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  ->  (𝑘Gen `  J
)  C_  J )
51, 4jca 518 . 2  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  ->  ( J  e.  Top  /\  (𝑘Gen `  J
)  C_  J )
)
6 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (𝑘Gen
`  J )  C_  J )  ->  (𝑘Gen `  J )  C_  J
)
7 kgenss 17238 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )
87adantr 451 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (𝑘Gen
`  J )  C_  J )  ->  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )
96, 8eqssd 3196 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (𝑘Gen
`  J )  C_  J )  ->  (𝑘Gen `  J )  =  J )
10 kgenf 17236 . . . . . 6  |- 𝑘Gen : Top --> Top
11 ffn 5389 . . . . . 6  |-  (𝑘Gen : Top --> Top 
-> 𝑘Gen 
Fn  Top )
1210, 11ax-mp 8 . . . . 5  |- 𝑘Gen  Fn  Top
13 fnfvelrn 5662 . . . . 5  |-  ( (𝑘Gen  Fn  Top  /\  J  e. 
Top )  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  ran 𝑘Gen )
1412, 13mpan 651 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  ran 𝑘Gen )
1514adantr 451 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (𝑘Gen
`  J )  C_  J )  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  ran 𝑘Gen )
169, 15eqeltrrd 2358 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  (𝑘Gen
`  J )  C_  J )  ->  J  e.  ran 𝑘Gen )
175, 16impbii 180 1  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  <->  ( J  e. 
Top  /\  (𝑘Gen `  J
)  C_  J )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255   Topctop 16631  𝑘Genckgen 17228
This theorem is referenced by:  iskgen3  17244  llycmpkgen2  17245  1stckgen  17249  txkgen  17346  qtopkgen  17401
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cmp 17114  df-kgen 17229
  Copyright terms: Public domain W3C validator