Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iskgen3 Structured version   Unicode version

Theorem iskgen3 17581
 Description: Derive the usual definition of "compactly generated". A topology is compactly generated if every subset of that is open in every compact subset is open. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iskgen3.1
Assertion
Ref Expression
iskgen3 𝑘Gen t t
Distinct variable groups:   ,,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem iskgen3
StepHypRef Expression
1 iskgen2 17580 . 2 𝑘Gen 𝑘Gen
2 iskgen3.1 . . . . . . . . . 10
32toptopon 16998 . . . . . . . . 9 TopOn
4 elkgen 17568 . . . . . . . . 9 TopOn 𝑘Gen t t
53, 4sylbi 188 . . . . . . . 8 𝑘Gen t t
6 vex 2959 . . . . . . . . . 10
76elpw 3805 . . . . . . . . 9
87anbi1i 677 . . . . . . . 8 t t t t
95, 8syl6bbr 255 . . . . . . 7 𝑘Gen t t
109imbi1d 309 . . . . . 6 𝑘Gen t t
11 impexp 434 . . . . . 6 t t t t
1210, 11syl6bb 253 . . . . 5 𝑘Gen t t
1312albidv 1635 . . . 4 𝑘Gen t t
14 dfss2 3337 . . . 4 𝑘Gen 𝑘Gen
15 df-ral 2710 . . . 4 t t t t
1613, 14, 153bitr4g 280 . . 3 𝑘Gen t t
1716pm5.32i 619 . 2 𝑘Gen t t
181, 17bitri 241 1 𝑘Gen t t
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359  wal 1549   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705   cin 3319   wss 3320  cpw 3799  cuni 4015   crn 4879  cfv 5454  (class class class)co 6081   ↾t crest 13648  ctop 16958  TopOnctopon 16959  ccmp 17449  𝑘Genckgen 17565 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-fin 7113  df-fi 7416  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cmp 17450  df-kgen 17566
 Copyright terms: Public domain W3C validator