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Theorem islatalg 25286
Description: The predicate "is a lattice". (Contributed by FL, 11-Dec-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
islatalg.1  |-  X  =  dom  dom  J
Assertion
Ref Expression
islatalg  |-  ( ( J  e.  A  /\  M  e.  B )  ->  ( <. J ,  M >.  e.  LatAlg 
<->  ( J : ( X  X.  X ) --> X  /\  M :
( X  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x J y )  =  ( y J x )  /\  ( x M y )  =  ( y M x )  /\  ( ( x M ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x M y ) )  =  x  /\  A. z  e.  X  ( ( x M ( y M z ) )  =  ( ( x M y ) M z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, J, y, z    x, M, y, z    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)    B( x, y, z)

Proof of Theorem islatalg
Dummy variables  j  m  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-latalg 25285 . . . 4  |-  LatAlg  =  { <. j ,  m >.  |  E. t ( j : ( t  X.  t ) --> t  /\  m : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
( x j y )  =  ( y j x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x j y ) )  =  x  /\  ( x j ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x j ( y j z ) )  =  ( ( x j y ) j z ) ) ) ) ) }
21a1i 10 . . 3  |-  ( ( J  e.  A  /\  M  e.  B )  -> 
LatAlg  =  { <. j ,  m >.  |  E. t ( j : ( t  X.  t
) --> t  /\  m : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
( x j y )  =  ( y j x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x j y ) )  =  x  /\  ( x j ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x j ( y j z ) )  =  ( ( x j y ) j z ) ) ) ) ) } )
32eleq2d 2363 . 2  |-  ( ( J  e.  A  /\  M  e.  B )  ->  ( <. J ,  M >.  e.  LatAlg 
<-> 
<. J ,  M >.  e. 
{ <. j ,  m >.  |  E. t ( j : ( t  X.  t ) --> t  /\  m : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( (
x j y )  =  ( y j x )  /\  (
x m y )  =  ( y m x )  /\  (
( x m ( x j y ) )  =  x  /\  ( x j ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x j ( y j z ) )  =  ( ( x j y ) j z ) ) ) ) ) } ) )
4 fdm 5409 . . . . . . . . 9  |-  ( j : ( t  X.  t ) --> t  ->  dom  j  =  (
t  X.  t ) )
5 dmxpid 4914 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (
t  X.  t )  =  t
6 dmeq 4895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  X.  t )  =  dom  j  ->  dom  ( t  X.  t
)  =  dom  dom  j )
75, 6syl5eqr 2342 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  X.  t )  =  dom  j  -> 
t  =  dom  dom  j )
87eqcoms 2299 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  j  =  ( t  X.  t )  -> 
t  =  dom  dom  j )
94, 8syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( j : ( t  X.  t ) --> t  -> 
t  =  dom  dom  j )
1093ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( j : ( t  X.  t ) --> t  /\  m : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( (
x j y )  =  ( y j x )  /\  (
x m y )  =  ( y m x )  /\  (
( x m ( x j y ) )  =  x  /\  ( x j ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x j ( y j z ) )  =  ( ( x j y ) j z ) ) ) ) )  -> 
t  =  dom  dom  j )
1110pm4.71ri 614 . . . . . 6  |-  ( ( j : ( t  X.  t ) --> t  /\  m : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( (
x j y )  =  ( y j x )  /\  (
x m y )  =  ( y m x )  /\  (
( x m ( x j y ) )  =  x  /\  ( x j ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x j ( y j z ) )  =  ( ( x j y ) j z ) ) ) ) )  <->  ( t  =  dom  dom  j  /\  ( j : ( t  X.  t ) --> t  /\  m : ( t  X.  t
) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
( x j y )  =  ( y j x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x j y ) )  =  x  /\  ( x j ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x j ( y j z ) )  =  ( ( x j y ) j z ) ) ) ) ) ) )
1211exbii 1572 . . . . 5  |-  ( E. t ( j : ( t  X.  t
) --> t  /\  m : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
( x j y )  =  ( y j x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x j y ) )  =  x  /\  ( x j ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x j ( y j z ) )  =  ( ( x j y ) j z ) ) ) ) )  <->  E. t ( t  =  dom  dom  j  /\  ( j : ( t  X.  t ) --> t  /\  m : ( t  X.  t
) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
( x j y )  =  ( y j x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x j y ) )  =  x  /\  ( x j ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x j ( y j z ) )  =  ( ( x j y ) j z ) ) ) ) ) ) )
1312a1i 10 . . . 4  |-  ( j  =  J  ->  ( E. t ( j : ( t  X.  t
) --> t  /\  m : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
( x j y )  =  ( y j x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x j y ) )  =  x  /\  ( x j ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x j ( y j z ) )  =  ( ( x j y ) j z ) ) ) ) )  <->  E. t ( t  =  dom  dom  j  /\  ( j : ( t  X.  t ) --> t  /\  m : ( t  X.  t
) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
( x j y )  =  ( y j x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x j y ) )  =  x  /\  ( x j ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x j ( y j z ) )  =  ( ( x j y ) j z ) ) ) ) ) ) ) )
14 dmeq 4895 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  dom  j  =  dom  J )
1514dmeqd 4897 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  dom  dom  j  =  dom  dom  J )
1615eqeq2d 2307 . . . . . . 7  |-  ( j  =  J  ->  (
t  =  dom  dom  j 
<->  t  =  dom  dom  J ) )
17 feq1 5391 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  (
j : ( t  X.  t ) --> t  <-> 
J : ( t  X.  t ) --> t ) )
18 oveq 5880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  J  ->  (
x j y )  =  ( x J y ) )
19 oveq 5880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  J  ->  (
y j x )  =  ( y J x ) )
2018, 19eqeq12d 2310 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  J  ->  (
( x j y )  =  ( y j x )  <->  ( x J y )  =  ( y J x ) ) )
2118oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  J  ->  (
x m ( x j y ) )  =  ( x m ( x J y ) ) )
2221eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  J  ->  (
( x m ( x j y ) )  =  x  <->  ( x m ( x J y ) )  =  x ) )
23 oveq 5880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  J  ->  (
x j ( x m y ) )  =  ( x J ( x m y ) ) )
2423eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  J  ->  (
( x j ( x m y ) )  =  x  <->  ( x J ( x m y ) )  =  x ) )
25 id 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  J  ->  j  =  J )
26 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  J  ->  x  =  x )
27 oveq 5880 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  J  ->  (
y j z )  =  ( y J z ) )
2825, 26, 27oveq123d 5895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  J  ->  (
x j ( y j z ) )  =  ( x J ( y J z ) ) )
29 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  J  ->  z  =  z )
3025, 18, 29oveq123d 5895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  J  ->  (
( x j y ) j z )  =  ( ( x J y ) J z ) )
3128, 30eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  J  ->  (
( x j ( y j z ) )  =  ( ( x j y ) j z )  <->  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) )
3231anbi2d 684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x j ( y j z ) )  =  ( ( x j y ) j z ) )  <->  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) )
3332ralbidv 2576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  J  ->  ( A. z  e.  t 
( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x j ( y j z ) )  =  ( ( x j y ) j z ) )  <->  A. z  e.  t  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) )
3422, 24, 333anbi123d 1252 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( x m ( x j y ) )  =  x  /\  ( x j ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x j ( y j z ) )  =  ( ( x j y ) j z ) ) )  <->  ( (
x m ( x J y ) )  =  x  /\  (
x J ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  (
( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) ) )
3520, 343anbi13d 1254 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( x j y )  =  ( y j x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x j y ) )  =  x  /\  ( x j ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( (
x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  (
x j ( y j z ) )  =  ( ( x j y ) j z ) ) ) )  <->  ( ( x J y )  =  ( y J x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x J y ) )  =  x  /\  (
x J ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  (
( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) ) ) )
36352ralbidv 2598 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  ( A. x  e.  t  A. y  e.  t 
( ( x j y )  =  ( y j x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x j y ) )  =  x  /\  ( x j ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( (
x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  (
x j ( y j z ) )  =  ( ( x j y ) j z ) ) ) )  <->  A. x  e.  t 
A. y  e.  t  ( ( x J y )  =  ( y J x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( (
x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  (
x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) ) ) )
3717, 363anbi13d 1254 . . . . . . 7  |-  ( j  =  J  ->  (
( j : ( t  X.  t ) --> t  /\  m : ( t  X.  t
) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
( x j y )  =  ( y j x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x j y ) )  =  x  /\  ( x j ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x j ( y j z ) )  =  ( ( x j y ) j z ) ) ) ) )  <->  ( J :
( t  X.  t
) --> t  /\  m : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
( x J y )  =  ( y J x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) ) ) ) )
3816, 37anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( j  =  J  ->  (
( t  =  dom  dom  j  /\  ( j : ( t  X.  t ) --> t  /\  m : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
( x j y )  =  ( y j x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x j y ) )  =  x  /\  ( x j ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x j ( y j z ) )  =  ( ( x j y ) j z ) ) ) ) ) )  <->  ( t  =  dom  dom  J  /\  ( J : ( t  X.  t ) --> t  /\  m : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( (
x J y )  =  ( y J x )  /\  (
x m y )  =  ( y m x )  /\  (
( x m ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) ) ) ) ) )
3938exbidv 1616 . . . . 5  |-  ( j  =  J  ->  ( E. t ( t  =  dom  dom  j  /\  ( j : ( t  X.  t ) --> t  /\  m : ( t  X.  t
) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
( x j y )  =  ( y j x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x j y ) )  =  x  /\  ( x j ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x j ( y j z ) )  =  ( ( x j y ) j z ) ) ) ) ) )  <->  E. t
( t  =  dom  dom 
J  /\  ( J : ( t  X.  t ) --> t  /\  m : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
( x J y )  =  ( y J x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) ) ) ) ) )
40 islatalg.1 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  dom  dom  J
4140eqcomi 2300 . . . . . . . . 9  |-  dom  dom  J  =  X
4241eqeq2i 2306 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  dom  dom  J  <->  t  =  X )
4342a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( j  =  J  ->  (
t  =  dom  dom  J  <-> 
t  =  X ) )
4443anbi1d 685 . . . . . 6  |-  ( j  =  J  ->  (
( t  =  dom  dom 
J  /\  ( J : ( t  X.  t ) --> t  /\  m : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
( x J y )  =  ( y J x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) ) ) )  <->  ( t  =  X  /\  ( J : ( t  X.  t ) --> t  /\  m : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
( x J y )  =  ( y J x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) ) ) ) ) )
4544exbidv 1616 . . . . 5  |-  ( j  =  J  ->  ( E. t ( t  =  dom  dom  J  /\  ( J : ( t  X.  t ) --> t  /\  m : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( (
x J y )  =  ( y J x )  /\  (
x m y )  =  ( y m x )  /\  (
( x m ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) ) ) )  <->  E. t ( t  =  X  /\  ( J : ( t  X.  t ) --> t  /\  m : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
( x J y )  =  ( y J x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) ) ) ) ) )
4639, 45bitrd 244 . . . 4  |-  ( j  =  J  ->  ( E. t ( t  =  dom  dom  j  /\  ( j : ( t  X.  t ) --> t  /\  m : ( t  X.  t
) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
( x j y )  =  ( y j x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x j y ) )  =  x  /\  ( x j ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x j ( y j z ) )  =  ( ( x j y ) j z ) ) ) ) ) )  <->  E. t
( t  =  X  /\  ( J :
( t  X.  t
) --> t  /\  m : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
( x J y )  =  ( y J x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) ) ) ) ) )
47 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  j  e. 
_V
4847dmex 4957 . . . . . . 7  |-  dom  j  e.  _V
4948dmex 4957 . . . . . 6  |-  dom  dom  j  e.  _V
50 eleq1 2356 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
dom  j  =  dom  dom 
J  ->  ( dom  dom  j  e.  _V  <->  dom  dom  J  e.  _V ) )
5150biimpd 198 . . . . . . 7  |-  ( dom 
dom  j  =  dom  dom 
J  ->  ( dom  dom  j  e.  _V  ->  dom 
dom  J  e.  _V ) )
5241eleq1i 2359 . . . . . . 7  |-  ( dom 
dom  J  e.  _V  <->  X  e.  _V )
5351, 52syl6ib 217 . . . . . 6  |-  ( dom 
dom  j  =  dom  dom 
J  ->  ( dom  dom  j  e.  _V  ->  X  e.  _V ) )
5415, 49, 53ee10 1366 . . . . 5  |-  ( j  =  J  ->  X  e.  _V )
55 xpeq12 4724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  X  /\  t  =  X )  ->  ( t  X.  t
)  =  ( X  X.  X ) )
5655anidms 626 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  X  ->  (
t  X.  t )  =  ( X  X.  X ) )
57 feq23 5394 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( t  X.  t
)  =  ( X  X.  X )  /\  t  =  X )  ->  ( J : ( t  X.  t ) --> t  <->  J : ( X  X.  X ) --> X ) )
5856, 57mpancom 650 . . . . . . 7  |-  ( t  =  X  ->  ( J : ( t  X.  t ) --> t  <->  J :
( X  X.  X
) --> X ) )
59 feq23 5394 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( t  X.  t
)  =  ( X  X.  X )  /\  t  =  X )  ->  ( m : ( t  X.  t ) --> t  <->  m : ( X  X.  X ) --> X ) )
6056, 59mpancom 650 . . . . . . 7  |-  ( t  =  X  ->  (
m : ( t  X.  t ) --> t  <-> 
m : ( X  X.  X ) --> X ) )
61 raleq 2749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  X  ->  ( A. z  e.  t 
( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) )  <->  A. z  e.  X  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) )
62613anbi3d 1258 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  X  ->  (
( ( x m ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) )  <->  ( (
x m ( x J y ) )  =  x  /\  (
x J ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  X  (
( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) ) )
63623anbi3d 1258 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  X  ->  (
( ( x J y )  =  ( y J x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( (
x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  (
x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) )  <->  ( ( x J y )  =  ( y J x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x J y ) )  =  x  /\  (
x J ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  X  (
( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) ) ) )
6463raleqbi1dv 2757 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  X  ->  ( A. y  e.  t 
( ( x J y )  =  ( y J x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( (
x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  (
x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) )  <->  A. y  e.  X  ( ( x J y )  =  ( y J x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  X  ( (
x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  (
x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) ) ) )
6564raleqbi1dv 2757 . . . . . . 7  |-  ( t  =  X  ->  ( A. x  e.  t  A. y  e.  t 
( ( x J y )  =  ( y J x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( (
x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  (
x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x J y )  =  ( y J x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  X  ( (
x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  (
x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) ) ) )
6658, 60, 653anbi123d 1252 . . . . . 6  |-  ( t  =  X  ->  (
( J : ( t  X.  t ) --> t  /\  m : ( t  X.  t
) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
( x J y )  =  ( y J x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) ) )  <->  ( J :
( X  X.  X
) --> X  /\  m : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x J y )  =  ( y J x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  X  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) ) ) ) )
6766ceqsexgv 2913 . . . . 5  |-  ( X  e.  _V  ->  ( E. t ( t  =  X  /\  ( J : ( t  X.  t ) --> t  /\  m : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
( x J y )  =  ( y J x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) ) ) )  <->  ( J : ( X  X.  X ) --> X  /\  m : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x J y )  =  ( y J x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  X  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) ) ) ) )
6854, 67syl 15 . . . 4  |-  ( j  =  J  ->  ( E. t ( t  =  X  /\  ( J : ( t  X.  t ) --> t  /\  m : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
( x J y )  =  ( y J x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) ) ) )  <->  ( J : ( X  X.  X ) --> X  /\  m : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x J y )  =  ( y J x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  X  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) ) ) ) )
6913, 46, 683bitrd 270 . . 3  |-  ( j  =  J  ->  ( E. t ( j : ( t  X.  t
) --> t  /\  m : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
( x j y )  =  ( y j x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x j y ) )  =  x  /\  ( x j ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x j ( y j z ) )  =  ( ( x j y ) j z ) ) ) ) )  <->  ( J :
( X  X.  X
) --> X  /\  m : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x J y )  =  ( y J x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  X  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) ) ) ) )
70 feq1 5391 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  (
m : ( X  X.  X ) --> X  <-> 
M : ( X  X.  X ) --> X ) )
71 oveq 5880 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (
x m y )  =  ( x M y ) )
72 oveq 5880 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (
y m x )  =  ( y M x ) )
7371, 72eqeq12d 2310 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( x m y )  =  ( y m x )  <->  ( x M y )  =  ( y M x ) ) )
74 oveq 5880 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  (
x m ( x J y ) )  =  ( x M ( x J y ) ) )
7574eqeq1d 2304 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (
( x m ( x J y ) )  =  x  <->  ( x M ( x J y ) )  =  x ) )
7671oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  (
x J ( x m y ) )  =  ( x J ( x M y ) ) )
7776eqeq1d 2304 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (
( x J ( x m y ) )  =  x  <->  ( x J ( x M y ) )  =  x ) )
78 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  m  =  M )
79 eqidd 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  x  =  x )
80 oveq 5880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  (
y m z )  =  ( y M z ) )
8178, 79, 80oveq123d 5895 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (
x m ( y m z ) )  =  ( x M ( y M z ) ) )
82 eqidd 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  z  =  z )
8378, 71, 82oveq123d 5895 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (
( x m y ) m z )  =  ( ( x M y ) M z ) )
8481, 83eqeq12d 2310 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  (
( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  <->  ( x M ( y M z ) )  =  ( ( x M y ) M z ) ) )
8584anbi1d 685 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) )  <->  ( ( x M ( y M z ) )  =  ( ( x M y ) M z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) )
8685ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  ( A. z  e.  X  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) )  <->  A. z  e.  X  ( ( x M ( y M z ) )  =  ( ( x M y ) M z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) )
8775, 77, 863anbi123d 1252 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( x m ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  X  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) )  <->  ( (
x M ( x J y ) )  =  x  /\  (
x J ( x M y ) )  =  x  /\  A. z  e.  X  (
( x M ( y M z ) )  =  ( ( x M y ) M z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) ) )
8873, 873anbi23d 1255 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( x J y )  =  ( y J x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  X  ( (
x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  (
x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) )  <->  ( ( x J y )  =  ( y J x )  /\  ( x M y )  =  ( y M x )  /\  ( ( x M ( x J y ) )  =  x  /\  (
x J ( x M y ) )  =  x  /\  A. z  e.  X  (
( x M ( y M z ) )  =  ( ( x M y ) M z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) ) ) )
89882ralbidv 2598 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x J y )  =  ( y J x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  X  ( (
x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  (
x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x J y )  =  ( y J x )  /\  ( x M y )  =  ( y M x )  /\  ( ( x M ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x M y ) )  =  x  /\  A. z  e.  X  ( (
x M ( y M z ) )  =  ( ( x M y ) M z )  /\  (
x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) ) ) )
9070, 893anbi23d 1255 . . 3  |-  ( m  =  M  ->  (
( J : ( X  X.  X ) --> X  /\  m : ( X  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x J y )  =  ( y J x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  X  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) ) )  <->  ( J :
( X  X.  X
) --> X  /\  M : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x J y )  =  ( y J x )  /\  ( x M y )  =  ( y M x )  /\  ( ( x M ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x M y ) )  =  x  /\  A. z  e.  X  ( ( x M ( y M z ) )  =  ( ( x M y ) M z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) ) ) ) )
9169, 90opelopabg 4299 . 2  |-  ( ( J  e.  A  /\  M  e.  B )  ->  ( <. J ,  M >.  e.  { <. j ,  m >.  |  E. t ( j : ( t  X.  t
) --> t  /\  m : ( t  X.  t ) --> t  /\  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
( x j y )  =  ( y j x )  /\  ( x m y )  =  ( y m x )  /\  ( ( x m ( x j y ) )  =  x  /\  ( x j ( x m y ) )  =  x  /\  A. z  e.  t  ( ( x m ( y m z ) )  =  ( ( x m y ) m z )  /\  ( x j ( y j z ) )  =  ( ( x j y ) j z ) ) ) ) ) }  <->  ( J : ( X  X.  X ) --> X  /\  M : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x J y )  =  ( y J x )  /\  ( x M y )  =  ( y M x )  /\  ( ( x M ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x M y ) )  =  x  /\  A. z  e.  X  ( ( x M ( y M z ) )  =  ( ( x M y ) M z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) ) ) ) )
923, 91bitrd 244 1  |-  ( ( J  e.  A  /\  M  e.  B )  ->  ( <. J ,  M >.  e.  LatAlg 
<->  ( J : ( X  X.  X ) --> X  /\  M :
( X  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x J y )  =  ( y J x )  /\  ( x M y )  =  ( y M x )  /\  ( ( x M ( x J y ) )  =  x  /\  ( x J ( x M y ) )  =  x  /\  A. z  e.  X  ( ( x M ( y M z ) )  =  ( ( x M y ) M z )  /\  ( x J ( y J z ) )  =  ( ( x J y ) J z ) ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   <.cop 3656   {copab 4092    X. cxp 4703   dom cdm 4705   -->wf 5267  (class class class)co 5874   LatAlgclatalg 25284
This theorem is referenced by:  jop  25287  mop  25288  labs1  25291  labs2  25293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-latalg 25285
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