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Theorem islaut 30272
Description: The predictate "is a lattice automorphism." (Contributed by NM, 11-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautset.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lautset.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lautset.i  |-  I  =  ( LAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
islaut  |-  ( K  e.  A  ->  ( F  e.  I  <->  ( F : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( F `  x )  .<_  ( F `
 y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, F, y    x, K, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    I( x, y)    .<_ ( x, y)

Proof of Theorem islaut
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lautset.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 lautset.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 lautset.i . . . 4  |-  I  =  ( LAut `  K
)
41, 2, 3lautset 30271 . . 3  |-  ( K  e.  A  ->  I  =  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) } )
54eleq2d 2350 . 2  |-  ( K  e.  A  ->  ( F  e.  I  <->  F  e.  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) } ) )
6 f1of 5472 . . . . 5  |-  ( F : B -1-1-onto-> B  ->  F : B
--> B )
7 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  e.  _V
81, 7eqeltri 2353 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
9 fex 5749 . . . . 5  |-  ( ( F : B --> B  /\  B  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
106, 8, 9sylancl 643 . . . 4  |-  ( F : B -1-1-onto-> B  ->  F  e.  _V )
1110adantr 451 . . 3  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  <->  ( F `  x )  .<_  ( F `
 y ) ) )  ->  F  e.  _V )
12 f1oeq1 5463 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
f : B -1-1-onto-> B  <->  F : B
-1-1-onto-> B ) )
13 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  x )  =  ( F `  x ) )
14 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  y )  =  ( F `  y ) )
1513, 14breq12d 4036 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  x
)  .<_  ( f `  y )  <->  ( F `  x )  .<_  ( F `
 y ) ) )
1615bibi2d 309 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) )  <-> 
( x  .<_  y  <->  ( F `  x )  .<_  ( F `
 y ) ) ) )
17162ralbidv 2585 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( F `  x )  .<_  ( F `
 y ) ) ) )
1812, 17anbi12d 691 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) )  <->  ( F : B
-1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <-> 
( F `  x
)  .<_  ( F `  y ) ) ) ) )
1911, 18elab3 2921 . 2  |-  ( F  e.  { f  |  ( f : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( f `  x )  .<_  ( f `
 y ) ) ) }  <->  ( F : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( F `  x )  .<_  ( F `
 y ) ) ) )
205, 19syl6bb 252 1  |-  ( K  e.  A  ->  ( F  e.  I  <->  ( F : B -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  <->  ( F `  x )  .<_  ( F `
 y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255   Basecbs 13148   lecple 13215   LAutclaut 30174
This theorem is referenced by:  lautle  30273  laut1o  30274  lautcnv  30279  idlaut  30285  lautco  30286  cdleme50laut  30736
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-laut 30178
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