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Theorem islbs 16148
Description: The predicate " B is a basis for the left module or vector space  W". A subset of the base set is a basis if zero is not in the set, it spans the set, and no nonzero multiple of an element of the basis is in the span of the rest of the family. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islbs.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
islbs.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
islbs.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
islbs.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
islbs.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
islbs.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
islbs.z  |-  .0.  =  ( 0g `  F )
Assertion
Ref Expression
islbs  |-  ( W  e.  X  ->  ( B  e.  J  <->  ( B  C_  V  /\  ( N `
 B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    y, K    x, N, y    x, W, y    x, F, y    y,  .0.
Allowed substitution hints:    .x. ( x, y)    J( x, y)    K( x)    V( x, y)    X( x, y)    .0. ( x)

Proof of Theorem islbs
Dummy variables  b 
f  n  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2964 . . . 4  |-  ( W  e.  X  ->  W  e.  _V )
2 islbs.j . . . . 5  |-  J  =  (LBasis `  W )
3 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  w )  =  ( Base `  W
) )
4 islbs.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
53, 4syl6eqr 2486 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  w )  =  V )
65pweqd 3804 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ~P ( Base `  w )  =  ~P V )
7 fvex 5742 . . . . . . . . 9  |-  ( LSpan `  w )  e.  _V
87a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  ( LSpan `  w )  e. 
_V )
9 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  ( LSpan `  w )  =  ( LSpan `  W )
)
10 islbs.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LSpan `  W )
119, 10syl6eqr 2486 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  ( LSpan `  w )  =  N )
12 fvex 5742 . . . . . . . . . 10  |-  (Scalar `  w )  e.  _V
1312a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  ->  (Scalar `  w )  e.  _V )
14 fveq2 5728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  W  ->  (Scalar `  w )  =  (Scalar `  W ) )
1514adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  ->  (Scalar `  w )  =  (Scalar `  W )
)
16 islbs.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  (Scalar `  W )
1715, 16syl6eqr 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  ->  (Scalar `  w )  =  F )
18 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  n  =  N )
1918fveq1d 5730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
n `  b )  =  ( N `  b ) )
205ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( Base `  w )  =  V )
2119, 20eqeq12d 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
( n `  b
)  =  ( Base `  w )  <->  ( N `  b )  =  V ) )
22 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  f  =  F )
2322fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( Base `  f )  =  ( Base `  F
) )
24 islbs.k . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  ( Base `  F
)
2523, 24syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( Base `  f )  =  K )
2622fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( 0g `  f )  =  ( 0g `  F
) )
27 islbs.z . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .0.  =  ( 0g `  F )
2826, 27syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( 0g `  f )  =  .0.  )
2928sneqd 3827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  { ( 0g `  f ) }  =  {  .0.  } )
3025, 29difeq12d 3466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
( Base `  f )  \  { ( 0g `  f ) } )  =  ( K  \  {  .0.  } ) )
31 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  W  ->  ( .s `  w )  =  ( .s `  W
) )
32 islbs.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .x.  =  ( .s `  W )
3331, 32syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  W  ->  ( .s `  w )  = 
.x.  )
3433ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( .s `  w )  = 
.x.  )
3534oveqd 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
y ( .s `  w ) x )  =  ( y  .x.  x ) )
3618fveq1d 5730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
n `  ( b  \  { x } ) )  =  ( N `
 ( b  \  { x } ) ) )
3735, 36eleq12d 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
( y ( .s
`  w ) x )  e.  ( n `
 ( b  \  { x } ) )  <->  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( b 
\  { x }
) ) ) )
3837notbid 286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( -.  ( y ( .s
`  w ) x )  e.  ( n `
 ( b  \  { x } ) )  <->  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( b 
\  { x }
) ) ) )
3930, 38raleqbidv 2916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( A. y  e.  (
( Base `  f )  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w ) x )  e.  ( n `  ( b 
\  { x }
) )  <->  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) )
4039ralbidv 2725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  (
( Base `  f )  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w ) x )  e.  ( n `  ( b 
\  { x }
) )  <->  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) )
4121, 40anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
( ( n `  b )  =  (
Base `  w )  /\  A. x  e.  b 
A. y  e.  ( ( Base `  f
)  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w
) x )  e.  ( n `  (
b  \  { x } ) ) )  <-> 
( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) ) )
4213, 17, 41sbcied2 3198 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  ->  ( [. (Scalar `  w )  /  f ]. ( ( n `  b )  =  (
Base `  w )  /\  A. x  e.  b 
A. y  e.  ( ( Base `  f
)  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w
) x )  e.  ( n `  (
b  \  { x } ) ) )  <-> 
( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) ) )
438, 11, 42sbcied2 3198 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ( [. ( LSpan `  w )  /  n ]. [. (Scalar `  w )  /  f ]. ( ( n `  b )  =  (
Base `  w )  /\  A. x  e.  b 
A. y  e.  ( ( Base `  f
)  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w
) x )  e.  ( n `  (
b  \  { x } ) ) )  <-> 
( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) ) )
446, 43rabeqbidv 2951 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  { b  e.  ~P ( Base `  w )  |  [. ( LSpan `  w )  /  n ]. [. (Scalar `  w )  /  f ]. ( ( n `  b )  =  (
Base `  w )  /\  A. x  e.  b 
A. y  e.  ( ( Base `  f
)  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w
) x )  e.  ( n `  (
b  \  { x } ) ) ) }  =  { b  e.  ~P V  | 
( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) } )
45 df-lbs 16147 . . . . . 6  |- LBasis  =  ( w  e.  _V  |->  { b  e.  ~P ( Base `  w )  | 
[. ( LSpan `  w
)  /  n ]. [. (Scalar `  w )  /  f ]. (
( n `  b
)  =  ( Base `  w )  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( ( Base `  f )  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w ) x )  e.  ( n `  ( b 
\  { x }
) ) ) } )
46 fvex 5742 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  W )  e.  _V
474, 46eqeltri 2506 . . . . . . . 8  |-  V  e. 
_V
4847pwex 4382 . . . . . . 7  |-  ~P V  e.  _V
4948rabex 4354 . . . . . 6  |-  { b  e.  ~P V  | 
( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) }  e.  _V
5044, 45, 49fvmpt 5806 . . . . 5  |-  ( W  e.  _V  ->  (LBasis `  W )  =  {
b  e.  ~P V  |  ( ( N `
 b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) } )
512, 50syl5eq 2480 . . . 4  |-  ( W  e.  _V  ->  J  =  { b  e.  ~P V  |  ( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) } )
521, 51syl 16 . . 3  |-  ( W  e.  X  ->  J  =  { b  e.  ~P V  |  ( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) } )
5352eleq2d 2503 . 2  |-  ( W  e.  X  ->  ( B  e.  J  <->  B  e.  { b  e.  ~P V  |  ( ( N `
 b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) } ) )
5447elpw2 4364 . . . 4  |-  ( B  e.  ~P V  <->  B  C_  V
)
5554anbi1i 677 . . 3  |-  ( ( B  e.  ~P V  /\  ( ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )  <-> 
( B  C_  V  /\  ( ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
56 fveq2 5728 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( N `  b )  =  ( N `  B ) )
5756eqeq1d 2444 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  (
( N `  b
)  =  V  <->  ( N `  B )  =  V ) )
58 difeq1 3458 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  (
b  \  { x } )  =  ( B  \  { x } ) )
5958fveq2d 5732 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  ( N `  ( b  \  { x } ) )  =  ( N `
 ( B  \  { x } ) ) )
6059eleq2d 2503 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  (
( y  .x.  x
)  e.  ( N `
 ( b  \  { x } ) )  <->  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) ) )
6160notbid 286 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( -.  ( y  .x.  x
)  e.  ( N `
 ( b  \  { x } ) )  <->  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) ) )
6261ralbidv 2725 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( A. y  e.  ( K  \  {  .0.  }
)  -.  ( y 
.x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) )  <->  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )
6362raleqbi1dv 2912 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  }
)  -.  ( y 
.x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )
6457, 63anbi12d 692 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  (
( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) )  <-> 
( ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
6564elrab 3092 . . 3  |-  ( B  e.  { b  e. 
~P V  |  ( ( N `  b
)  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( b 
\  { x }
) ) ) }  <-> 
( B  e.  ~P V  /\  ( ( N `
 B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
66 3anass 940 . . 3  |-  ( ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) )  <->  ( B  C_  V  /\  ( ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) ) ) )
6755, 65, 663bitr4i 269 . 2  |-  ( B  e.  { b  e. 
~P V  |  ( ( N `  b
)  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( b 
\  { x }
) ) ) }  <-> 
( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) ) )
6853, 67syl6bb 253 1  |-  ( W  e.  X  ->  ( B  e.  J  <->  ( B  C_  V  /\  ( N `
 B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   {crab 2709   _Vcvv 2956   [.wsbc 3161    \ cdif 3317    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799   {csn 3814   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469  Scalarcsca 13532   .scvsca 13533   0gc0g 13723   LSpanclspn 16047  LBasisclbs 16146
This theorem is referenced by:  lbsss  16149  lbssp  16151  lbsind  16152  lbspropd  16171  islbs2  16226  frlmlbs  27226  islbs4  27279
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-ov 6084  df-lbs 16147
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