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Theorem islbs 15829
Description: The predicate " B is a basis for the left module or vector space  W". A subset of the base set is a basis if zero is not in the set, it spans the set, and no nonzero multiple of an element of the basis is in the span of the rest of the family. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islbs.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
islbs.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
islbs.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
islbs.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
islbs.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
islbs.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
islbs.z  |-  .0.  =  ( 0g `  F )
Assertion
Ref Expression
islbs  |-  ( W  e.  X  ->  ( B  e.  J  <->  ( B  C_  V  /\  ( N `
 B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    y, K    x, N, y    x, W, y    x, F, y    y,  .0.
Allowed substitution hints:    .x. ( x, y)    J( x, y)    K( x)    V( x, y)    X( x, y)    .0. ( x)

Proof of Theorem islbs
Dummy variables  b 
f  n  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2796 . . . 4  |-  ( W  e.  X  ->  W  e.  _V )
2 islbs.j . . . . 5  |-  J  =  (LBasis `  W )
3 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  w )  =  ( Base `  W
) )
4 islbs.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
53, 4syl6eqr 2333 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  w )  =  V )
65pweqd 3630 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ~P ( Base `  w )  =  ~P V )
7 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( LSpan `  w )  e.  _V
87a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  ( LSpan `  w )  e. 
_V )
9 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  ( LSpan `  w )  =  ( LSpan `  W )
)
10 islbs.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LSpan `  W )
119, 10syl6eqr 2333 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  ( LSpan `  w )  =  N )
12 fvex 5539 . . . . . . . . . 10  |-  (Scalar `  w )  e.  _V
1312a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  ->  (Scalar `  w )  e.  _V )
14 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  W  ->  (Scalar `  w )  =  (Scalar `  W ) )
1514adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  ->  (Scalar `  w )  =  (Scalar `  W )
)
16 islbs.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  (Scalar `  W )
1715, 16syl6eqr 2333 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  ->  (Scalar `  w )  =  F )
18 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  n  =  N )
1918fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
n `  b )  =  ( N `  b ) )
205ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( Base `  w )  =  V )
2119, 20eqeq12d 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
( n `  b
)  =  ( Base `  w )  <->  ( N `  b )  =  V ) )
22 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  f  =  F )
2322fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( Base `  f )  =  ( Base `  F
) )
24 islbs.k . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  ( Base `  F
)
2523, 24syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( Base `  f )  =  K )
2622fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( 0g `  f )  =  ( 0g `  F
) )
27 islbs.z . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .0.  =  ( 0g `  F )
2826, 27syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( 0g `  f )  =  .0.  )
2928sneqd 3653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  { ( 0g `  f ) }  =  {  .0.  } )
3025, 29difeq12d 3295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
( Base `  f )  \  { ( 0g `  f ) } )  =  ( K  \  {  .0.  } ) )
31 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  W  ->  ( .s `  w )  =  ( .s `  W
) )
32 islbs.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .x.  =  ( .s `  W )
3331, 32syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  W  ->  ( .s `  w )  = 
.x.  )
3433ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( .s `  w )  = 
.x.  )
3534oveqd 5875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
y ( .s `  w ) x )  =  ( y  .x.  x ) )
3618fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
n `  ( b  \  { x } ) )  =  ( N `
 ( b  \  { x } ) ) )
3735, 36eleq12d 2351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
( y ( .s
`  w ) x )  e.  ( n `
 ( b  \  { x } ) )  <->  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( b 
\  { x }
) ) ) )
3837notbid 285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( -.  ( y ( .s
`  w ) x )  e.  ( n `
 ( b  \  { x } ) )  <->  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( b 
\  { x }
) ) ) )
3930, 38raleqbidv 2748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( A. y  e.  (
( Base `  f )  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w ) x )  e.  ( n `  ( b 
\  { x }
) )  <->  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) )
4039ralbidv 2563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  (
( Base `  f )  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w ) x )  e.  ( n `  ( b 
\  { x }
) )  <->  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) )
4121, 40anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
( ( n `  b )  =  (
Base `  w )  /\  A. x  e.  b 
A. y  e.  ( ( Base `  f
)  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w
) x )  e.  ( n `  (
b  \  { x } ) ) )  <-> 
( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) ) )
4213, 17, 41sbcied2 3028 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  ->  ( [. (Scalar `  w )  /  f ]. ( ( n `  b )  =  (
Base `  w )  /\  A. x  e.  b 
A. y  e.  ( ( Base `  f
)  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w
) x )  e.  ( n `  (
b  \  { x } ) ) )  <-> 
( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) ) )
438, 11, 42sbcied2 3028 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ( [. ( LSpan `  w )  /  n ]. [. (Scalar `  w )  /  f ]. ( ( n `  b )  =  (
Base `  w )  /\  A. x  e.  b 
A. y  e.  ( ( Base `  f
)  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w
) x )  e.  ( n `  (
b  \  { x } ) ) )  <-> 
( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) ) )
446, 43rabeqbidv 2783 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  { b  e.  ~P ( Base `  w )  |  [. ( LSpan `  w )  /  n ]. [. (Scalar `  w )  /  f ]. ( ( n `  b )  =  (
Base `  w )  /\  A. x  e.  b 
A. y  e.  ( ( Base `  f
)  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w
) x )  e.  ( n `  (
b  \  { x } ) ) ) }  =  { b  e.  ~P V  | 
( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) } )
45 df-lbs 15828 . . . . . 6  |- LBasis  =  ( w  e.  _V  |->  { b  e.  ~P ( Base `  w )  | 
[. ( LSpan `  w
)  /  n ]. [. (Scalar `  w )  /  f ]. (
( n `  b
)  =  ( Base `  w )  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( ( Base `  f )  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w ) x )  e.  ( n `  ( b 
\  { x }
) ) ) } )
46 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  W )  e.  _V
474, 46eqeltri 2353 . . . . . . . 8  |-  V  e. 
_V
4847pwex 4193 . . . . . . 7  |-  ~P V  e.  _V
4948rabex 4165 . . . . . 6  |-  { b  e.  ~P V  | 
( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) }  e.  _V
5044, 45, 49fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( W  e.  _V  ->  (LBasis `  W )  =  {
b  e.  ~P V  |  ( ( N `
 b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) } )
512, 50syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( W  e.  _V  ->  J  =  { b  e.  ~P V  |  ( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) } )
521, 51syl 15 . . 3  |-  ( W  e.  X  ->  J  =  { b  e.  ~P V  |  ( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) } )
5352eleq2d 2350 . 2  |-  ( W  e.  X  ->  ( B  e.  J  <->  B  e.  { b  e.  ~P V  |  ( ( N `
 b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) } ) )
5447elpw2 4175 . . . 4  |-  ( B  e.  ~P V  <->  B  C_  V
)
5554anbi1i 676 . . 3  |-  ( ( B  e.  ~P V  /\  ( ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )  <-> 
( B  C_  V  /\  ( ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
56 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( N `  b )  =  ( N `  B ) )
5756eqeq1d 2291 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  (
( N `  b
)  =  V  <->  ( N `  B )  =  V ) )
58 difeq1 3287 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  (
b  \  { x } )  =  ( B  \  { x } ) )
5958fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  ( N `  ( b  \  { x } ) )  =  ( N `
 ( B  \  { x } ) ) )
6059eleq2d 2350 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  (
( y  .x.  x
)  e.  ( N `
 ( b  \  { x } ) )  <->  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) ) )
6160notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( -.  ( y  .x.  x
)  e.  ( N `
 ( b  \  { x } ) )  <->  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) ) )
6261ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( A. y  e.  ( K  \  {  .0.  }
)  -.  ( y 
.x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) )  <->  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )
6362raleqbi1dv 2744 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  }
)  -.  ( y 
.x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )
6457, 63anbi12d 691 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  (
( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) )  <-> 
( ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
6564elrab 2923 . . 3  |-  ( B  e.  { b  e. 
~P V  |  ( ( N `  b
)  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( b 
\  { x }
) ) ) }  <-> 
( B  e.  ~P V  /\  ( ( N `
 B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
66 3anass 938 . . 3  |-  ( ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) )  <->  ( B  C_  V  /\  ( ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) ) ) )
6755, 65, 663bitr4i 268 . 2  |-  ( B  e.  { b  e. 
~P V  |  ( ( N `  b
)  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( b 
\  { x }
) ) ) }  <-> 
( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) ) )
6853, 67syl6bb 252 1  |-  ( W  e.  X  ->  ( B  e.  J  <->  ( B  C_  V  /\  ( N `
 B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788   [.wsbc 2991    \ cdif 3149    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {csn 3640   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   0gc0g 13400   LSpanclspn 15728  LBasisclbs 15827
This theorem is referenced by:  lbsss  15830  lbssp  15832  lbsind  15833  lbspropd  15852  islbs2  15907  frlmlbs  27249  islbs4  27302
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-lbs 15828
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