MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islbs Unicode version

Theorem islbs 15845
Description: The predicate " B is a basis for the left module or vector space  W". A subset of the base set is a basis if zero is not in the set, it spans the set, and no nonzero multiple of an element of the basis is in the span of the rest of the family. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islbs.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
islbs.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
islbs.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
islbs.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
islbs.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
islbs.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
islbs.z  |-  .0.  =  ( 0g `  F )
Assertion
Ref Expression
islbs  |-  ( W  e.  X  ->  ( B  e.  J  <->  ( B  C_  V  /\  ( N `
 B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    y, K    x, N, y    x, W, y    x, F, y    y,  .0.
Allowed substitution hints:    .x. ( x, y)    J( x, y)    K( x)    V( x, y)    X( x, y)    .0. ( x)

Proof of Theorem islbs
Dummy variables  b 
f  n  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2809 . . . 4  |-  ( W  e.  X  ->  W  e.  _V )
2 islbs.j . . . . 5  |-  J  =  (LBasis `  W )
3 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  w )  =  ( Base `  W
) )
4 islbs.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
53, 4syl6eqr 2346 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  ( Base `  w )  =  V )
65pweqd 3643 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ~P ( Base `  w )  =  ~P V )
7 fvex 5555 . . . . . . . . 9  |-  ( LSpan `  w )  e.  _V
87a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  ( LSpan `  w )  e. 
_V )
9 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  W  ->  ( LSpan `  w )  =  ( LSpan `  W )
)
10 islbs.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LSpan `  W )
119, 10syl6eqr 2346 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  W  ->  ( LSpan `  w )  =  N )
12 fvex 5555 . . . . . . . . . 10  |-  (Scalar `  w )  e.  _V
1312a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  ->  (Scalar `  w )  e.  _V )
14 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  W  ->  (Scalar `  w )  =  (Scalar `  W ) )
1514adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  ->  (Scalar `  w )  =  (Scalar `  W )
)
16 islbs.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  (Scalar `  W )
1715, 16syl6eqr 2346 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  ->  (Scalar `  w )  =  F )
18 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  n  =  N )
1918fveq1d 5543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
n `  b )  =  ( N `  b ) )
205ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( Base `  w )  =  V )
2119, 20eqeq12d 2310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
( n `  b
)  =  ( Base `  w )  <->  ( N `  b )  =  V ) )
22 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  f  =  F )
2322fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( Base `  f )  =  ( Base `  F
) )
24 islbs.k . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  ( Base `  F
)
2523, 24syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( Base `  f )  =  K )
2622fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( 0g `  f )  =  ( 0g `  F
) )
27 islbs.z . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .0.  =  ( 0g `  F )
2826, 27syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( 0g `  f )  =  .0.  )
2928sneqd 3666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  { ( 0g `  f ) }  =  {  .0.  } )
3025, 29difeq12d 3308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
( Base `  f )  \  { ( 0g `  f ) } )  =  ( K  \  {  .0.  } ) )
31 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  W  ->  ( .s `  w )  =  ( .s `  W
) )
32 islbs.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .x.  =  ( .s `  W )
3331, 32syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  W  ->  ( .s `  w )  = 
.x.  )
3433ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( .s `  w )  = 
.x.  )
3534oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
y ( .s `  w ) x )  =  ( y  .x.  x ) )
3618fveq1d 5543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
n `  ( b  \  { x } ) )  =  ( N `
 ( b  \  { x } ) ) )
3735, 36eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
( y ( .s
`  w ) x )  e.  ( n `
 ( b  \  { x } ) )  <->  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( b 
\  { x }
) ) ) )
3837notbid 285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( -.  ( y ( .s
`  w ) x )  e.  ( n `
 ( b  \  { x } ) )  <->  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( b 
\  { x }
) ) ) )
3930, 38raleqbidv 2761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( A. y  e.  (
( Base `  f )  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w ) x )  e.  ( n `  ( b 
\  { x }
) )  <->  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) )
4039ralbidv 2576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  (
( Base `  f )  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w ) x )  e.  ( n `  ( b 
\  { x }
) )  <->  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) )
4121, 40anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  /\  f  =  F )  ->  (
( ( n `  b )  =  (
Base `  w )  /\  A. x  e.  b 
A. y  e.  ( ( Base `  f
)  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w
) x )  e.  ( n `  (
b  \  { x } ) ) )  <-> 
( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) ) )
4213, 17, 41sbcied2 3041 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  =  W  /\  n  =  N )  ->  ( [. (Scalar `  w )  /  f ]. ( ( n `  b )  =  (
Base `  w )  /\  A. x  e.  b 
A. y  e.  ( ( Base `  f
)  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w
) x )  e.  ( n `  (
b  \  { x } ) ) )  <-> 
( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) ) )
438, 11, 42sbcied2 3041 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ( [. ( LSpan `  w )  /  n ]. [. (Scalar `  w )  /  f ]. ( ( n `  b )  =  (
Base `  w )  /\  A. x  e.  b 
A. y  e.  ( ( Base `  f
)  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w
) x )  e.  ( n `  (
b  \  { x } ) ) )  <-> 
( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) ) )
446, 43rabeqbidv 2796 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  { b  e.  ~P ( Base `  w )  |  [. ( LSpan `  w )  /  n ]. [. (Scalar `  w )  /  f ]. ( ( n `  b )  =  (
Base `  w )  /\  A. x  e.  b 
A. y  e.  ( ( Base `  f
)  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w
) x )  e.  ( n `  (
b  \  { x } ) ) ) }  =  { b  e.  ~P V  | 
( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) } )
45 df-lbs 15844 . . . . . 6  |- LBasis  =  ( w  e.  _V  |->  { b  e.  ~P ( Base `  w )  | 
[. ( LSpan `  w
)  /  n ]. [. (Scalar `  w )  /  f ]. (
( n `  b
)  =  ( Base `  w )  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( ( Base `  f )  \  { ( 0g `  f ) } )  -.  ( y ( .s `  w ) x )  e.  ( n `  ( b 
\  { x }
) ) ) } )
46 fvex 5555 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  W )  e.  _V
474, 46eqeltri 2366 . . . . . . . 8  |-  V  e. 
_V
4847pwex 4209 . . . . . . 7  |-  ~P V  e.  _V
4948rabex 4181 . . . . . 6  |-  { b  e.  ~P V  | 
( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) }  e.  _V
5044, 45, 49fvmpt 5618 . . . . 5  |-  ( W  e.  _V  ->  (LBasis `  W )  =  {
b  e.  ~P V  |  ( ( N `
 b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) } )
512, 50syl5eq 2340 . . . 4  |-  ( W  e.  _V  ->  J  =  { b  e.  ~P V  |  ( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) } )
521, 51syl 15 . . 3  |-  ( W  e.  X  ->  J  =  { b  e.  ~P V  |  ( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) } )
5352eleq2d 2363 . 2  |-  ( W  e.  X  ->  ( B  e.  J  <->  B  e.  { b  e.  ~P V  |  ( ( N `
 b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) ) } ) )
5447elpw2 4191 . . . 4  |-  ( B  e.  ~P V  <->  B  C_  V
)
5554anbi1i 676 . . 3  |-  ( ( B  e.  ~P V  /\  ( ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )  <-> 
( B  C_  V  /\  ( ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
56 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( N `  b )  =  ( N `  B ) )
5756eqeq1d 2304 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  (
( N `  b
)  =  V  <->  ( N `  B )  =  V ) )
58 difeq1 3300 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  (
b  \  { x } )  =  ( B  \  { x } ) )
5958fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  ( N `  ( b  \  { x } ) )  =  ( N `
 ( B  \  { x } ) ) )
6059eleq2d 2363 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  (
( y  .x.  x
)  e.  ( N `
 ( b  \  { x } ) )  <->  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) ) )
6160notbid 285 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( -.  ( y  .x.  x
)  e.  ( N `
 ( b  \  { x } ) )  <->  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) ) )
6261ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( A. y  e.  ( K  \  {  .0.  }
)  -.  ( y 
.x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) )  <->  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )
6362raleqbi1dv 2757 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  }
)  -.  ( y 
.x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )
6457, 63anbi12d 691 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  (
( ( N `  b )  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  (
b  \  { x } ) ) )  <-> 
( ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
6564elrab 2936 . . 3  |-  ( B  e.  { b  e. 
~P V  |  ( ( N `  b
)  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( b 
\  { x }
) ) ) }  <-> 
( B  e.  ~P V  /\  ( ( N `
 B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
66 3anass 938 . . 3  |-  ( ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) )  <->  ( B  C_  V  /\  ( ( N `  B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) ) ) )
6755, 65, 663bitr4i 268 . 2  |-  ( B  e.  { b  e. 
~P V  |  ( ( N `  b
)  =  V  /\  A. x  e.  b  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( b 
\  { x }
) ) ) }  <-> 
( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  ( y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) ) )
6853, 67syl6bb 252 1  |-  ( W  e.  X  ->  ( B  e.  J  <->  ( B  C_  V  /\  ( N `
 B )  =  V  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  ( K  \  {  .0.  } )  -.  (
y  .x.  x )  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801   [.wsbc 3004    \ cdif 3162    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   {csn 3653   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   0gc0g 13416   LSpanclspn 15744  LBasisclbs 15843
This theorem is referenced by:  lbsss  15846  lbssp  15848  lbsind  15849  lbspropd  15868  islbs2  15923  frlmlbs  27352  islbs4  27405
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-lbs 15844
  Copyright terms: Public domain W3C validator