Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islbs2 Unicode version

Theorem islbs2 15923
 Description: An equivalent formulation of the basis predicate in a vector space: a subset is a basis iff no element is in the span of the rest of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islbs2.v
islbs2.j LBasis
islbs2.n
Assertion
Ref Expression
islbs2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem islbs2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islbs2.v . . . . 5
2 islbs2.j . . . . 5 LBasis
31, 2lbsss 15846 . . . 4
43adantl 452 . . 3
5 islbs2.n . . . . 5
61, 2, 5lbssp 15848 . . . 4
76adantl 452 . . 3
8 lveclmod 15875 . . . . . . 7
9 eqid 2296 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
109lvecdrng 15874 . . . . . . . 8 Scalar
11 eqid 2296 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
12 eqid 2296 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
1311, 12drngunz 15543 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar
1410, 13syl 15 . . . . . . 7 Scalar Scalar
158, 14jca 518 . . . . . 6 Scalar Scalar
162, 5, 9, 12, 11lbsind2 15850 . . . . . 6 Scalar Scalar
1715, 16syl3an1 1215 . . . . 5
18173expa 1151 . . . 4
1918ralrimiva 2639 . . 3
204, 7, 193jca 1132 . 2
21 simpr1 961 . . 3
22 simpr2 962 . . 3
23 simprl 732 . . . . . 6 Scalar Scalar
24 simplr3 999 . . . . . 6 Scalar Scalar
25 id 19 . . . . . . . . 9
26 sneq 3664 . . . . . . . . . . 11
2726difeq2d 3307 . . . . . . . . . 10
2827fveq2d 5545 . . . . . . . . 9
2925, 28eleq12d 2364 . . . . . . . 8
3029notbid 285 . . . . . . 7
3130rspcv 2893 . . . . . 6
3223, 24, 31sylc 56 . . . . 5 Scalar Scalar
33 simpll 730 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
34 simprr 733 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar Scalar Scalar
35 eldifsn 3762 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar Scalar Scalar
3634, 35sylib 188 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar Scalar
3721adantr 451 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
3837, 23sseldd 3194 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
39 eqid 2296 . . . . . . . . 9
40 eqid 2296 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
411, 9, 39, 40, 11, 5lspsnvs 15883 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
4233, 36, 38, 41syl3anc 1182 . . . . . . 7 Scalar Scalar
4342sseq1d 3218 . . . . . 6 Scalar Scalar
44 eqid 2296 . . . . . . 7
458adantr 451 . . . . . . . 8
4645adantr 451 . . . . . . 7 Scalar Scalar
47 difss 3316 . . . . . . . . 9
4847, 37syl5ss 3203 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
491, 44, 5lspcl 15749 . . . . . . . 8
5046, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . 7 Scalar Scalar
5136simpld 445 . . . . . . . 8 Scalar Scalar Scalar
521, 9, 39, 40lmodvscl 15660 . . . . . . . 8 Scalar
5346, 51, 38, 52syl3anc 1182 . . . . . . 7 Scalar Scalar
541, 44, 5, 46, 50, 53lspsnel5 15768 . . . . . 6 Scalar Scalar
551, 44, 5, 46, 50, 38lspsnel5 15768 . . . . . 6 Scalar Scalar
5643, 54, 553bitr4d 276 . . . . 5 Scalar Scalar
5732, 56mtbird 292 . . . 4 Scalar Scalar
5857ralrimivva 2648 . . 3 Scalar Scalar
591, 9, 39, 40, 2, 5, 11islbs 15845 . . . 4 Scalar Scalar
6059adantr 451 . . 3 Scalar Scalar
6121, 22, 58, 60mpbir3and 1135 . 2
6220, 61impbida 805 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556   cdif 3162   wss 3165  csn 3653  cfv 5271  (class class class)co 5874  cbs 13164  Scalarcsca 13227  cvsca 13228  c0g 13416  cur 15355  cdr 15528  clmod 15643  clss 15705  clspn 15744  LBasisclbs 15843  clvec 15871 This theorem is referenced by:  islbs3  15924  lbsacsbs  15925  lbsextlem4  15930 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lbs 15844  df-lvec 15872
 Copyright terms: Public domain W3C validator