MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islbs3 Unicode version

Theorem islbs3 15908
Description: An equivalent formulation of the basis predicate: a subset is a basis iff it is a minimal spanning set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
islbs2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
islbs2.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
islbs2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
islbs3  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( B  e.  J  <->  ( B  C_  V  /\  ( N `
 B )  =  V  /\  A. s
( s  C.  B  ->  ( N `  s
)  C.  V )
) ) )
Distinct variable groups:    B, s    N, s    V, s    W, s    J, s

Proof of Theorem islbs3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islbs2.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 islbs2.j . . . . 5  |-  J  =  (LBasis `  W )
31, 2lbsss 15830 . . . 4  |-  ( B  e.  J  ->  B  C_  V )
43adantl 452 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J )  ->  B  C_  V )
5 islbs2.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
61, 2, 5lbssp 15832 . . . 4  |-  ( B  e.  J  ->  ( N `  B )  =  V )
76adantl 452 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J )  ->  ( N `  B )  =  V )
8 lveclmod 15859 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
983ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J  /\  s  C.  B )  ->  W  e.  LMod )
10 pssss 3271 . . . . . . . . 9  |-  ( s 
C.  B  ->  s  C_  B )
1110, 3sylan9ssr 3193 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  J  /\  s  C.  B )  -> 
s  C_  V )
12113adant1 973 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J  /\  s  C.  B )  ->  s  C_  V )
131, 5lspssv 15740 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  s  C_  V )  ->  ( N `  s )  C_  V )
149, 12, 13syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J  /\  s  C.  B )  ->  ( N `  s )  C_  V )
15 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
1615lvecdrng 15858 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LVec  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
17 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
18 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
1917, 18drngunz 15527 . . . . . . . . 9  |-  ( (Scalar `  W )  e.  DivRing  -> 
( 1r `  (Scalar `  W ) )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
2016, 19syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =/=  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
218, 20jca 518 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( W  e.  LMod  /\  ( 1r `  (Scalar `  W
) )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W
) ) ) )
222, 5, 15, 18, 17, 1lbspss 15835 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  ( 1r `  (Scalar `  W ) )  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  /\  B  e.  J  /\  s  C.  B )  ->  ( N `  s )  =/=  V
)
2321, 22syl3an1 1215 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J  /\  s  C.  B )  ->  ( N `  s )  =/=  V )
24 df-pss 3168 . . . . . 6  |-  ( ( N `  s ) 
C.  V  <->  ( ( N `  s )  C_  V  /\  ( N `
 s )  =/= 
V ) )
2514, 23, 24sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J  /\  s  C.  B )  ->  ( N `  s )  C.  V )
26253expia 1153 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J )  ->  (
s  C.  B  ->  ( N `  s ) 
C.  V ) )
2726alrimiv 1617 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J )  ->  A. s
( s  C.  B  ->  ( N `  s
)  C.  V )
)
284, 7, 273jca 1132 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  B  e.  J )  ->  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. s
( s  C.  B  ->  ( N `  s
)  C.  V )
) )
29 simpr1 961 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. s
( s  C.  B  ->  ( N `  s
)  C.  V )
) )  ->  B  C_  V )
30 simpr2 962 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. s
( s  C.  B  ->  ( N `  s
)  C.  V )
) )  ->  ( N `  B )  =  V )
31 difss 3303 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
\  { x }
)  C_  B
32 simplr1 997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  B  C_  V )
3331, 32syl5ss 3190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( B  \  {
x } )  C_  V )
34 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  W )  e.  _V
351, 34eqeltri 2353 . . . . . . . 8  |-  V  e. 
_V
36 ssexg 4160 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  \  {
x } )  C_  V  /\  V  e.  _V )  ->  ( B  \  { x } )  e.  _V )
3733, 35, 36sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( B  \  {
x } )  e. 
_V )
38 simplr3 999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  A. s ( s 
C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V ) )
3931a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( B  \  {
x } )  C_  B )
40 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
41 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
4241snid 3667 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
{ x }
43 eldifn 3299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( B  \  { x } )  ->  -.  x  e.  { x } )
4442, 43mt2 170 . . . . . . . . . 10  |-  -.  x  e.  ( B  \  {
x } )
45 nelne1 2535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  ( B  \  { x }
) )  ->  B  =/=  ( B  \  {
x } ) )
4640, 44, 45sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  B  =/=  ( B 
\  { x }
) )
4746necomd 2529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( B  \  {
x } )  =/= 
B )
48 df-pss 3168 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  \  { x } )  C.  B  <->  ( ( B  \  {
x } )  C_  B  /\  ( B  \  { x } )  =/=  B ) )
4939, 47, 48sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( B  \  {
x } )  C.  B )
50 psseq1 3263 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( B  \  { x } )  ->  ( s  C.  B 
<->  ( B  \  {
x } )  C.  B ) )
51 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( B  \  { x } )  ->  ( N `  s )  =  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) )
5251psseq1d 3268 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( B  \  { x } )  ->  ( ( N `
 s )  C.  V 
<->  ( N `  ( B  \  { x }
) )  C.  V
) )
5350, 52imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( B  \  { x } )  ->  ( ( s 
C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V )  <->  ( ( B  \  { x }
)  C.  B  ->  ( N `  ( B 
\  { x }
) )  C.  V
) ) )
5453spcgv 2868 . . . . . . 7  |-  ( ( B  \  { x } )  e.  _V  ->  ( A. s ( s  C.  B  -> 
( N `  s
)  C.  V )  ->  ( ( B  \  { x } ) 
C.  B  ->  ( N `  ( B  \  { x } ) )  C.  V ) ) )
5537, 38, 49, 54syl3c 57 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( N `  ( B  \  { x }
) )  C.  V
)
56 dfpss3 3262 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  ( B 
\  { x }
) )  C.  V  <->  ( ( N `  ( B  \  { x }
) )  C_  V  /\  -.  V  C_  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )
5756simprbi 450 . . . . . 6  |-  ( ( N `  ( B 
\  { x }
) )  C.  V  ->  -.  V  C_  ( N `  ( B  \  { x } ) ) )
5855, 57syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  -.  V  C_  ( N `  ( B  \  { x } ) ) )
59 simplr2 998 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  -> 
( N `  B
)  =  V )
608ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  ->  W  e.  LMod )
6133adantrr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  -> 
( B  \  {
x } )  C_  V )
62 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
631, 62, 5lspcl 15733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( B  \  { x }
)  C_  V )  ->  ( N `  ( B  \  { x }
) )  e.  (
LSubSp `  W ) )
6460, 61, 63syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  -> 
( N `  ( B  \  { x }
) )  e.  (
LSubSp `  W ) )
65 ssun1 3338 . . . . . . . . . 10  |-  B  C_  ( B  u.  { x } )
66 undif1 3529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  \  { x } )  u.  {
x } )  =  ( B  u.  {
x } )
6765, 66sseqtr4i 3211 . . . . . . . . 9  |-  B  C_  ( ( B  \  { x } )  u.  { x }
)
681, 5lspssid 15742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( B  \  { x }
)  C_  V )  ->  ( B  \  {
x } )  C_  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) )
6960, 61, 68syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  -> 
( B  \  {
x } )  C_  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) )
70 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  ->  x  e.  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) )
7170snssd 3760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  ->  { x }  C_  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) )
7269, 71unssd 3351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  -> 
( ( B  \  { x } )  u.  { x }
)  C_  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) )
7367, 72syl5ss 3190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  ->  B  C_  ( N `  ( B  \  { x } ) ) )
7462, 5lspssp 15745 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  ( B  \  { x } ) )  e.  ( LSubSp `  W )  /\  B  C_  ( N `  ( B  \  { x }
) ) )  -> 
( N `  B
)  C_  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) )
7560, 64, 73, 74syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  -> 
( N `  B
)  C_  ( N `  ( B  \  {
x } ) ) )
7659, 75eqsstr3d 3213 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  ( x  e.  B  /\  x  e.  ( N `  ( B  \  { x } ) ) ) )  ->  V  C_  ( N `  ( B  \  { x } ) ) )
7776expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( x  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) )  ->  V  C_  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) )
7858, 77mtod 168 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B
)  =  V  /\  A. s ( s  C.  B  ->  ( N `  s )  C.  V
) ) )  /\  x  e.  B )  ->  -.  x  e.  ( N `  ( B 
\  { x }
) ) )
7978ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. s
( s  C.  B  ->  ( N `  s
)  C.  V )
) )  ->  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) )
801, 2, 5islbs2 15907 . . . 4  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( B  e.  J  <->  ( B  C_  V  /\  ( N `
 B )  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
8180adantr 451 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. s
( s  C.  B  ->  ( N `  s
)  C.  V )
) )  ->  ( B  e.  J  <->  ( B  C_  V  /\  ( N `
 B )  =  V  /\  A. x  e.  B  -.  x  e.  ( N `  ( B  \  { x }
) ) ) ) )
8229, 30, 79, 81mpbir3and 1135 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( B  C_  V  /\  ( N `  B )  =  V  /\  A. s
( s  C.  B  ->  ( N `  s
)  C.  V )
) )  ->  B  e.  J )
8328, 82impbida 805 1  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( B  e.  J  <->  ( B  C_  V  /\  ( N `
 B )  =  V  /\  A. s
( s  C.  B  ->  ( N `  s
)  C.  V )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    C_ wss 3152    C. wpss 3153   {csn 3640   ` cfv 5255   Basecbs 13148  Scalarcsca 13211   0gc0g 13400   1rcur 15339   DivRingcdr 15512   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689   LSpanclspn 15728  LBasisclbs 15827   LVecclvec 15855
This theorem is referenced by:  obslbs  16630
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lbs 15828  df-lvec 15856
  Copyright terms: Public domain W3C validator