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Theorem islfl 29543
Description: The predicate "is a linear functional". (Contributed by NM, 15-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflset.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lflset.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lflset.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lflset.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lflset.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lflset.p  |-  .+^  =  ( +g  `  D )
lflset.t  |-  .X.  =  ( .r `  D )
lflset.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
Assertion
Ref Expression
islfl  |-  ( W  e.  X  ->  ( G  e.  F  <->  ( G : V --> K  /\  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( (
r  .x.  x )  .+  y ) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x ) )  .+^  ( G `  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    K, r    x, y, V    x, r,
y, W    G, r, x, y
Allowed substitution hints:    D( x, y, r)    .+ ( x, y, r)    .+^ (
x, y, r)    .x. ( x, y, r)    .X. ( x, y, r)    F( x, y, r)    K( x, y)    V( r)    X( x, y, r)

Proof of Theorem islfl
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflset.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lflset.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
3 lflset.d . . . 4  |-  D  =  (Scalar `  W )
4 lflset.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
5 lflset.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  D
)
6 lflset.p . . . 4  |-  .+^  =  ( +g  `  D )
7 lflset.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  D )
8 lflset.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lflset 29542 . . 3  |-  ( W  e.  X  ->  F  =  { f  e.  ( K  ^m  V )  |  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( f `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  (
f `  x )
)  .+^  ( f `  y ) ) } )
109eleq2d 2471 . 2  |-  ( W  e.  X  ->  ( G  e.  F  <->  G  e.  { f  e.  ( K  ^m  V )  | 
A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( f `  (
( r  .x.  x
)  .+  y )
)  =  ( ( r  .X.  ( f `  x ) )  .+^  ( f `  y
) ) } ) )
11 fveq1 5686 . . . . . . 7  |-  ( f  =  G  ->  (
f `  ( (
r  .x.  x )  .+  y ) )  =  ( G `  (
( r  .x.  x
)  .+  y )
) )
12 fveq1 5686 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  G  ->  (
f `  x )  =  ( G `  x ) )
1312oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  G  ->  (
r  .X.  ( f `  x ) )  =  ( r  .X.  ( G `  x )
) )
14 fveq1 5686 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  G  ->  (
f `  y )  =  ( G `  y ) )
1513, 14oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( f  =  G  ->  (
( r  .X.  (
f `  x )
)  .+^  ( f `  y ) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x ) )  .+^  ( G `  y ) ) )
1611, 15eqeq12d 2418 . . . . . 6  |-  ( f  =  G  ->  (
( f `  (
( r  .x.  x
)  .+  y )
)  =  ( ( r  .X.  ( f `  x ) )  .+^  ( f `  y
) )  <->  ( G `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x )
)  .+^  ( G `  y ) ) ) )
17162ralbidv 2708 . . . . 5  |-  ( f  =  G  ->  ( A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( f `  (
( r  .x.  x
)  .+  y )
)  =  ( ( r  .X.  ( f `  x ) )  .+^  ( f `  y
) )  <->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x )
)  .+^  ( G `  y ) ) ) )
1817ralbidv 2686 . . . 4  |-  ( f  =  G  ->  ( A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( f `  (
( r  .x.  x
)  .+  y )
)  =  ( ( r  .X.  ( f `  x ) )  .+^  ( f `  y
) )  <->  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x )
)  .+^  ( G `  y ) ) ) )
1918elrab 3052 . . 3  |-  ( G  e.  { f  e.  ( K  ^m  V
)  |  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( f `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  (
f `  x )
)  .+^  ( f `  y ) ) }  <-> 
( G  e.  ( K  ^m  V )  /\  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x )
)  .+^  ( G `  y ) ) ) )
20 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( Base `  D )  e.  _V
215, 20eqeltri 2474 . . . . 5  |-  K  e. 
_V
22 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  e.  _V
231, 22eqeltri 2474 . . . . 5  |-  V  e. 
_V
2421, 23elmap 7001 . . . 4  |-  ( G  e.  ( K  ^m  V )  <->  G : V
--> K )
2524anbi1i 677 . . 3  |-  ( ( G  e.  ( K  ^m  V )  /\  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( (
r  .x.  x )  .+  y ) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x ) )  .+^  ( G `  y ) ) )  <-> 
( G : V --> K  /\  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x )
)  .+^  ( G `  y ) ) ) )
2619, 25bitri 241 . 2  |-  ( G  e.  { f  e.  ( K  ^m  V
)  |  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( f `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  (
f `  x )
)  .+^  ( f `  y ) ) }  <-> 
( G : V --> K  /\  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x )
)  .+^  ( G `  y ) ) ) )
2710, 26syl6bb 253 1  |-  ( W  e.  X  ->  ( G  e.  F  <->  ( G : V --> K  /\  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( (
r  .x.  x )  .+  y ) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x ) )  .+^  ( G `  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   {crab 2670   _Vcvv 2916   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   .rcmulr 13485  Scalarcsca 13487   .scvsca 13488  LFnlclfn 29540
This theorem is referenced by:  lfli  29544  islfld  29545  lflf  29546  lfl0f  29552  lfladdcl  29554  lflnegcl  29558  lshpkrcl  29599
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-map 6979  df-lfl 29541
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