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Theorem islfl 29321
Description: The predicate "is a linear functional". (Contributed by NM, 15-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflset.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lflset.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lflset.d  |-  D  =  (Scalar `  W )
lflset.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lflset.k  |-  K  =  ( Base `  D
)
lflset.p  |-  .+^  =  ( +g  `  D )
lflset.t  |-  .X.  =  ( .r `  D )
lflset.f  |-  F  =  (LFnl `  W )
Assertion
Ref Expression
islfl  |-  ( W  e.  X  ->  ( G  e.  F  <->  ( G : V --> K  /\  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( (
r  .x.  x )  .+  y ) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x ) )  .+^  ( G `  y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    K, r    x, y, V    x, r,
y, W    G, r, x, y
Allowed substitution hints:    D( x, y, r)    .+ ( x, y, r)    .+^ (
x, y, r)    .x. ( x, y, r)    .X. ( x, y, r)    F( x, y, r)    K( x, y)    V( r)    X( x, y, r)

Proof of Theorem islfl
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflset.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lflset.a . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
3 lflset.d . . . 4  |-  D  =  (Scalar `  W )
4 lflset.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
5 lflset.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  D
)
6 lflset.p . . . 4  |-  .+^  =  ( +g  `  D )
7 lflset.t . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  D )
8 lflset.f . . . 4  |-  F  =  (LFnl `  W )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lflset 29320 . . 3  |-  ( W  e.  X  ->  F  =  { f  e.  ( K  ^m  V )  |  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( f `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  (
f `  x )
)  .+^  ( f `  y ) ) } )
109eleq2d 2433 . 2  |-  ( W  e.  X  ->  ( G  e.  F  <->  G  e.  { f  e.  ( K  ^m  V )  | 
A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( f `  (
( r  .x.  x
)  .+  y )
)  =  ( ( r  .X.  ( f `  x ) )  .+^  ( f `  y
) ) } ) )
11 fveq1 5631 . . . . . . 7  |-  ( f  =  G  ->  (
f `  ( (
r  .x.  x )  .+  y ) )  =  ( G `  (
( r  .x.  x
)  .+  y )
) )
12 fveq1 5631 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  G  ->  (
f `  x )  =  ( G `  x ) )
1312oveq2d 5997 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  G  ->  (
r  .X.  ( f `  x ) )  =  ( r  .X.  ( G `  x )
) )
14 fveq1 5631 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  G  ->  (
f `  y )  =  ( G `  y ) )
1513, 14oveq12d 5999 . . . . . . 7  |-  ( f  =  G  ->  (
( r  .X.  (
f `  x )
)  .+^  ( f `  y ) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x ) )  .+^  ( G `  y ) ) )
1611, 15eqeq12d 2380 . . . . . 6  |-  ( f  =  G  ->  (
( f `  (
( r  .x.  x
)  .+  y )
)  =  ( ( r  .X.  ( f `  x ) )  .+^  ( f `  y
) )  <->  ( G `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x )
)  .+^  ( G `  y ) ) ) )
17162ralbidv 2670 . . . . 5  |-  ( f  =  G  ->  ( A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( f `  (
( r  .x.  x
)  .+  y )
)  =  ( ( r  .X.  ( f `  x ) )  .+^  ( f `  y
) )  <->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x )
)  .+^  ( G `  y ) ) ) )
1817ralbidv 2648 . . . 4  |-  ( f  =  G  ->  ( A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( f `  (
( r  .x.  x
)  .+  y )
)  =  ( ( r  .X.  ( f `  x ) )  .+^  ( f `  y
) )  <->  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x )
)  .+^  ( G `  y ) ) ) )
1918elrab 3009 . . 3  |-  ( G  e.  { f  e.  ( K  ^m  V
)  |  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( f `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  (
f `  x )
)  .+^  ( f `  y ) ) }  <-> 
( G  e.  ( K  ^m  V )  /\  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x )
)  .+^  ( G `  y ) ) ) )
20 fvex 5646 . . . . . 6  |-  ( Base `  D )  e.  _V
215, 20eqeltri 2436 . . . . 5  |-  K  e. 
_V
22 fvex 5646 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  e.  _V
231, 22eqeltri 2436 . . . . 5  |-  V  e. 
_V
2421, 23elmap 6939 . . . 4  |-  ( G  e.  ( K  ^m  V )  <->  G : V
--> K )
2524anbi1i 676 . . 3  |-  ( ( G  e.  ( K  ^m  V )  /\  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( (
r  .x.  x )  .+  y ) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x ) )  .+^  ( G `  y ) ) )  <-> 
( G : V --> K  /\  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x )
)  .+^  ( G `  y ) ) ) )
2619, 25bitri 240 . 2  |-  ( G  e.  { f  e.  ( K  ^m  V
)  |  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( f `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  (
f `  x )
)  .+^  ( f `  y ) ) }  <-> 
( G : V --> K  /\  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( ( r  .x.  x )  .+  y
) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x )
)  .+^  ( G `  y ) ) ) )
2710, 26syl6bb 252 1  |-  ( W  e.  X  ->  ( G  e.  F  <->  ( G : V --> K  /\  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( G `  ( (
r  .x.  x )  .+  y ) )  =  ( ( r  .X.  ( G `  x ) )  .+^  ( G `  y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   {crab 2632   _Vcvv 2873   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    ^m cmap 6915   Basecbs 13356   +g cplusg 13416   .rcmulr 13417  Scalarcsca 13419   .scvsca 13420  LFnlclfn 29318
This theorem is referenced by:  lfli  29322  islfld  29323  lflf  29324  lfl0f  29330  lfladdcl  29332  lflnegcl  29336  lshpkrcl  29377
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-map 6917  df-lfl 29319
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