Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islfld Structured version   Unicode version

Theorem islfld 29797
 Description: Properties that determine a linear functional. TODO: use this in place of islfl 29795 when it shortens the proof. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
islfld.v
islfld.a
islfld.d Scalar
islfld.s
islfld.k
islfld.p
islfld.t
islfld.f LFnl
islfld.u
islfld.l
islfld.w
Assertion
Ref Expression
islfld
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   ()   (,,)

Proof of Theorem islfld
StepHypRef Expression
1 islfld.w . . 3
2 islfld.u . . . 4
3 islfld.v . . . . 5
4 islfld.k . . . . . 6
5 islfld.d . . . . . . 7 Scalar
65fveq2d 5724 . . . . . 6 Scalar
74, 6eqtrd 2467 . . . . 5 Scalar
83, 7feq23d 5580 . . . 4 Scalar
92, 8mpbid 202 . . 3 Scalar
10 islfld.l . . . . 5
1110ralrimivvva 2791 . . . 4
12 islfld.a . . . . . . . . . 10
13 islfld.s . . . . . . . . . . 11
1413oveqd 6090 . . . . . . . . . 10
15 eqidd 2436 . . . . . . . . . 10
1612, 14, 15oveq123d 6094 . . . . . . . . 9
1716fveq2d 5724 . . . . . . . 8
18 islfld.p . . . . . . . . . 10
195fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10 Scalar
2018, 19eqtrd 2467 . . . . . . . . 9 Scalar
21 islfld.t . . . . . . . . . . 11
225fveq2d 5724 . . . . . . . . . . 11 Scalar
2321, 22eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10 Scalar
2423oveqd 6090 . . . . . . . . 9 Scalar
25 eqidd 2436 . . . . . . . . 9
2620, 24, 25oveq123d 6094 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
2717, 26eqeq12d 2449 . . . . . . 7 Scalar Scalar
283, 27raleqbidv 2908 . . . . . 6 Scalar Scalar
293, 28raleqbidv 2908 . . . . 5 Scalar Scalar
307, 29raleqbidv 2908 . . . 4 Scalar Scalar Scalar
3111, 30mpbid 202 . . 3 Scalar Scalar Scalar
32 eqid 2435 . . . . 5
33 eqid 2435 . . . . 5
34 eqid 2435 . . . . 5 Scalar Scalar
35 eqid 2435 . . . . 5
36 eqid 2435 . . . . 5 Scalar Scalar
37 eqid 2435 . . . . 5 Scalar Scalar
38 eqid 2435 . . . . 5 Scalar Scalar
39 eqid 2435 . . . . 5 LFnl LFnl
4032, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39islfl 29795 . . . 4 LFnl Scalar Scalar Scalar Scalar
4140biimpar 472 . . 3 Scalar Scalar Scalar Scalar LFnl
421, 9, 31, 41syl12anc 1182 . 2 LFnl
43 islfld.f . 2 LFnl
4442, 43eleqtrrd 2512 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461   cplusg 13521  cmulr 13522  Scalarcsca 13524  cvsca 13525  LFnlclfn 29792 This theorem is referenced by:  lflvscl  29812 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-lfl 29793
 Copyright terms: Public domain W3C validator