MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islidl Unicode version

Theorem islidl 16062
Description: Predicate of being a (left) ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islidl.s  |-  U  =  (LIdeal `  R )
islidl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
islidl.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
islidl.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
islidl  |-  ( I  e.  U  <->  ( I  C_  B  /\  I  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  I  A. b  e.  I  ( ( x 
.x.  a )  .+  b )  e.  I
) )
Distinct variable groups:    x, B    I, a, b, x    R, a, b, x
Allowed substitution hints:    B( a, b)    .+ ( x, a, b)    .x. ( x, a, b)    U( x, a, b)

Proof of Theorem islidl
StepHypRef Expression
1 rlmsca2 16052 . 2  |-  (  _I 
`  R )  =  (Scalar `  (ringLMod `  R
) )
2 baseid 13287 . . 3  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
3 islidl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
42, 3strfvi 13283 . 2  |-  B  =  ( Base `  (  _I  `  R ) )
5 rlmbas 16047 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (ringLMod `  R
) )
63, 5eqtri 2378 . 2  |-  B  =  ( Base `  (ringLMod `  R ) )
7 islidl.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  R )
8 rlmplusg 16048 . . 3  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  (ringLMod `  R
) )
97, 8eqtri 2378 . 2  |-  .+  =  ( +g  `  (ringLMod `  R
) )
10 islidl.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
11 rlmvsca 16053 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .s `  (ringLMod `  R ) )
1210, 11eqtri 2378 . 2  |-  .x.  =  ( .s `  (ringLMod `  R
) )
13 islidl.s . . 3  |-  U  =  (LIdeal `  R )
14 lidlval 16045 . . 3  |-  (LIdeal `  R )  =  (
LSubSp `  (ringLMod `  R
) )
1513, 14eqtri 2378 . 2  |-  U  =  ( LSubSp `  (ringLMod `  R
) )
161, 4, 6, 9, 12, 15islss 15791 1  |-  ( I  e.  U  <->  ( I  C_  B  /\  I  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  I  A. b  e.  I  ( ( x 
.x.  a )  .+  b )  e.  I
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619    C_ wss 3228   (/)c0 3531    _I cid 4386   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   ndxcnx 13242   Basecbs 13245   +g cplusg 13305   .rcmulr 13306   .scvsca 13309   LSubSpclss 15788  ringLModcrglmod 16021  LIdealclidl 16022
This theorem is referenced by:  hbtlem2  26651
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-lss 15789  df-sra 16024  df-rgmod 16025  df-lidl 16026
  Copyright terms: Public domain W3C validator