MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islidl Unicode version

Theorem islidl 16245
Description: Predicate of being a (left) ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islidl.s  |-  U  =  (LIdeal `  R )
islidl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
islidl.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
islidl.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
islidl  |-  ( I  e.  U  <->  ( I  C_  B  /\  I  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  I  A. b  e.  I  ( ( x 
.x.  a )  .+  b )  e.  I
) )
Distinct variable groups:    x, B    I, a, b, x    R, a, b, x
Allowed substitution hints:    B( a, b)    .+ ( x, a, b)    .x. ( x, a, b)    U( x, a, b)

Proof of Theorem islidl
StepHypRef Expression
1 rlmsca2 16235 . 2  |-  (  _I 
`  R )  =  (Scalar `  (ringLMod `  R
) )
2 baseid 13474 . . 3  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
3 islidl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
42, 3strfvi 13470 . 2  |-  B  =  ( Base `  (  _I  `  R ) )
5 rlmbas 16230 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (ringLMod `  R
) )
63, 5eqtri 2432 . 2  |-  B  =  ( Base `  (ringLMod `  R ) )
7 islidl.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  R )
8 rlmplusg 16231 . . 3  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  (ringLMod `  R
) )
97, 8eqtri 2432 . 2  |-  .+  =  ( +g  `  (ringLMod `  R
) )
10 islidl.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
11 rlmvsca 16236 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .s `  (ringLMod `  R ) )
1210, 11eqtri 2432 . 2  |-  .x.  =  ( .s `  (ringLMod `  R
) )
13 islidl.s . . 3  |-  U  =  (LIdeal `  R )
14 lidlval 16228 . . 3  |-  (LIdeal `  R )  =  (
LSubSp `  (ringLMod `  R
) )
1513, 14eqtri 2432 . 2  |-  U  =  ( LSubSp `  (ringLMod `  R
) )
161, 4, 6, 9, 12, 15islss 15974 1  |-  ( I  e.  U  <->  ( I  C_  B  /\  I  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  I  A. b  e.  I  ( ( x 
.x.  a )  .+  b )  e.  I
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   A.wral 2674    C_ wss 3288   (/)c0 3596    _I cid 4461   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   ndxcnx 13429   Basecbs 13432   +g cplusg 13492   .rcmulr 13493   .scvsca 13496   LSubSpclss 15971  ringLModcrglmod 16204  LIdealclidl 16205
This theorem is referenced by:  hbtlem2  27204
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-lss 15972  df-sra 16207  df-rgmod 16208  df-lidl 16209
  Copyright terms: Public domain W3C validator