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Theorem islimcat 25979
Description: The predicate "is a limit of a diagram." (Contributed by FL, 27-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
islimcat.1  |-  O1  =  dom  ( id_ `  I
)
islimcat.2  |-  M 2  =  dom  ( dom_ `  T
)
islimcat.3  |-  Ro 2  =  ( o_ `  T )
Assertion
Ref Expression
islimcat  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. ) )  -> 
( L  e.  ( ( I  LimCat  T ) `
 D )  <->  ( L  e.  ( ( I  Natural  T ) `  D )  /\  A. f  e.  ( ( I  Natural  T ) `  D ) E! m  e.  M 2  A. x  e.  O1  ( f `  x
)  =  ( ( L `  x ) Ro 2 m ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, m, x    D, f    f, I, x, m    T, f, x, m    f, L, x, m    m, M 2
Allowed substitution hints:    D( x, m)    O1( x, f, m)    M 2( x, f)    Ro 2( x, f, m)

Proof of Theorem islimcat
Dummy variables  d 
i  l  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5555 . . . 4  |-  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. )  e.  _V
2 mptexg 5761 . . . 4  |-  ( (
Func OLD `  <. I ,  T >. )  e.  _V  ->  ( d  e.  (
Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { l  e.  ( ( I 
Natural  T ) `  d
)  |  A. f  e.  ( ( I  Natural  T ) `  d ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. x  e.  dom  ( id_ `  I ) ( f `  x
)  =  ( ( l `  x ) ( o_ `  T
) m ) } )  e.  _V )
31, 2mp1i 11 . . 3  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. ) )  -> 
( d  e.  (
Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { l  e.  ( ( I 
Natural  T ) `  d
)  |  A. f  e.  ( ( I  Natural  T ) `  d ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. x  e.  dom  ( id_ `  I ) ( f `  x
)  =  ( ( l `  x ) ( o_ `  T
) m ) } )  e.  _V )
4 opeq12 3814 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  -> 
<. i ,  t >.  =  <. I ,  T >. )
54fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( Func OLD `  <. i ,  t >. )  =  ( Func OLD ` 
<. I ,  T >. ) )
6 oveq12 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( i  Natural  t )  =  ( I  Natural  T ) )
76fveq1d 5543 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( ( i  Natural  t ) `  d )  =  ( ( I 
Natural  T ) `  d
) )
8 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  I  ->  ( id_ `  i )  =  ( id_ `  I
) )
98adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( id_ `  i
)  =  ( id_ `  I ) )
109dmeqd 4897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  dom  ( id_ `  i
)  =  dom  ( id_ `  I ) )
11 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  T  ->  (
o_ `  t )  =  ( o_ `  T ) )
1211adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( o_ `  t
)  =  ( o_
`  T ) )
1312oveqd 5891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( ( l `  x ) ( o_
`  t ) m )  =  ( ( l `  x ) ( o_ `  T
) m ) )
1413eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( ( f `  x )  =  ( ( l `  x
) ( o_ `  t ) m )  <-> 
( f `  x
)  =  ( ( l `  x ) ( o_ `  T
) m ) ) )
1510, 14raleqbidv 2761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( A. x  e. 
dom  ( id_ `  i
) ( f `  x )  =  ( ( l `  x
) ( o_ `  t ) m )  <->  A. x  e.  dom  ( id_ `  I ) ( f `  x
)  =  ( ( l `  x ) ( o_ `  T
) m ) ) )
16 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  T  ->  ( dom_ `  t )  =  ( dom_ `  T
) )
1716adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( dom_ `  t
)  =  ( dom_ `  T ) )
1817dmeqd 4897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  dom  ( dom_ `  t
)  =  dom  ( dom_ `  T ) )
1915, 18reubidvag 25038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( E! m  e. 
dom  ( dom_ `  t
) A. x  e. 
dom  ( id_ `  i
) ( f `  x )  =  ( ( l `  x
) ( o_ `  t ) m )  <-> 
E! m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. x  e.  dom  ( id_ `  I ) ( f `  x
)  =  ( ( l `  x ) ( o_ `  T
) m ) ) )
207, 19raleqbidv 2761 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( A. f  e.  ( ( i  Natural  t ) `  d ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  t ) A. x  e.  dom  ( id_ `  i ) ( f `  x
)  =  ( ( l `  x ) ( o_ `  t
) m )  <->  A. f  e.  ( ( I  Natural  T ) `  d ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. x  e.  dom  ( id_ `  I ) ( f `  x
)  =  ( ( l `  x ) ( o_ `  T
) m ) ) )
217, 20rabeqbidv 2796 . . . . . . 7  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  { l  e.  ( ( i  Natural  t ) `
 d )  | 
A. f  e.  ( ( i  Natural  t ) `
 d ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  t ) A. x  e.  dom  ( id_ `  i ) ( f `
 x )  =  ( ( l `  x ) ( o_
`  t ) m ) }  =  {
l  e.  ( ( I  Natural  T ) `  d )  |  A. f  e.  ( (
I  Natural  T ) `  d ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T
) A. x  e. 
dom  ( id_ `  I
) ( f `  x )  =  ( ( l `  x
) ( o_ `  T ) m ) } )
225, 21mpteq12dv 4114 . . . . . 6  |-  ( ( i  =  I  /\  t  =  T )  ->  ( d  e.  (
Func OLD `  <. i ,  t >. )  |->  { l  e.  ( ( i  Natural  t ) `
 d )  | 
A. f  e.  ( ( i  Natural  t ) `
 d ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  t ) A. x  e.  dom  ( id_ `  i ) ( f `
 x )  =  ( ( l `  x ) ( o_
`  t ) m ) } )  =  ( d  e.  (
Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { l  e.  ( ( I 
Natural  T ) `  d
)  |  A. f  e.  ( ( I  Natural  T ) `  d ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. x  e.  dom  ( id_ `  I ) ( f `  x
)  =  ( ( l `  x ) ( o_ `  T
) m ) } ) )
23 df-limcat 25978 . . . . . 6  |-  LimCat  =  ( i  e.  Cat OLD  ,  t  e.  Cat OLD  |->  ( d  e.  (
Func OLD `  <. i ,  t >. )  |->  { l  e.  ( ( i  Natural  t ) `
 d )  | 
A. f  e.  ( ( i  Natural  t ) `
 d ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  t ) A. x  e.  dom  ( id_ `  i ) ( f `
 x )  =  ( ( l `  x ) ( o_
`  t ) m ) } ) )
2422, 23ovmpt2ga 5993 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  ( d  e.  (
Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { l  e.  ( ( I 
Natural  T ) `  d
)  |  A. f  e.  ( ( I  Natural  T ) `  d ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. x  e.  dom  ( id_ `  I ) ( f `  x
)  =  ( ( l `  x ) ( o_ `  T
) m ) } )  e.  _V )  ->  ( I  LimCat  T )  =  ( d  e.  ( Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { l  e.  ( ( I  Natural  T ) `
 d )  | 
A. f  e.  ( ( I  Natural  T ) `
 d ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. x  e.  dom  ( id_ `  I ) ( f `
 x )  =  ( ( l `  x ) ( o_
`  T ) m ) } ) )
2524fveq1d 5543 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  ( d  e.  (
Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { l  e.  ( ( I 
Natural  T ) `  d
)  |  A. f  e.  ( ( I  Natural  T ) `  d ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. x  e.  dom  ( id_ `  I ) ( f `  x
)  =  ( ( l `  x ) ( o_ `  T
) m ) } )  e.  _V )  ->  ( ( I  LimCat  T ) `  D )  =  ( ( d  e.  ( Func OLD ` 
<. I ,  T >. ) 
|->  { l  e.  ( ( I  Natural  T ) `
 d )  | 
A. f  e.  ( ( I  Natural  T ) `
 d ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. x  e.  dom  ( id_ `  I ) ( f `
 x )  =  ( ( l `  x ) ( o_
`  T ) m ) } ) `  D ) )
2625eleq2d 2363 . . 3  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  ( d  e.  (
Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { l  e.  ( ( I 
Natural  T ) `  d
)  |  A. f  e.  ( ( I  Natural  T ) `  d ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. x  e.  dom  ( id_ `  I ) ( f `  x
)  =  ( ( l `  x ) ( o_ `  T
) m ) } )  e.  _V )  ->  ( L  e.  ( ( I  LimCat  T ) `
 D )  <->  L  e.  ( ( d  e.  ( Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { l  e.  ( ( I  Natural  T ) `
 d )  | 
A. f  e.  ( ( I  Natural  T ) `
 d ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. x  e.  dom  ( id_ `  I ) ( f `
 x )  =  ( ( l `  x ) ( o_
`  T ) m ) } ) `  D ) ) )
273, 26syld3an3 1227 . 2  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. ) )  -> 
( L  e.  ( ( I  LimCat  T ) `
 D )  <->  L  e.  ( ( d  e.  ( Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { l  e.  ( ( I  Natural  T ) `
 d )  | 
A. f  e.  ( ( I  Natural  T ) `
 d ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. x  e.  dom  ( id_ `  I ) ( f `
 x )  =  ( ( l `  x ) ( o_
`  T ) m ) } ) `  D ) ) )
28 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. ) )  ->  D  e.  ( Func OLD `  <. I ,  T >. ) )
29 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( ( I  Natural  T ) `  D )  e.  _V
3029rabex 4181 . . . 4  |-  { l  e.  ( ( I 
Natural  T ) `  D
)  |  A. f  e.  ( ( I  Natural  T ) `  D ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. x  e.  dom  ( id_ `  I ) ( f `  x
)  =  ( ( l `  x ) ( o_ `  T
) m ) }  e.  _V
31 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (
( I  Natural  T ) `
 d )  =  ( ( I  Natural  T ) `  D ) )
3231raleqdv 2755 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  ( A. f  e.  (
( I  Natural  T ) `
 d ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. x  e.  dom  ( id_ `  I ) ( f `
 x )  =  ( ( l `  x ) ( o_
`  T ) m )  <->  A. f  e.  ( ( I  Natural  T ) `
 D ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. x  e.  dom  ( id_ `  I ) ( f `
 x )  =  ( ( l `  x ) ( o_
`  T ) m ) ) )
3331, 32rabeqbidv 2796 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  { l  e.  ( ( I 
Natural  T ) `  d
)  |  A. f  e.  ( ( I  Natural  T ) `  d ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. x  e.  dom  ( id_ `  I ) ( f `  x
)  =  ( ( l `  x ) ( o_ `  T
) m ) }  =  { l  e.  ( ( I  Natural  T ) `  D )  |  A. f  e.  ( ( I  Natural  T ) `  D ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. x  e.  dom  ( id_ `  I ) ( f `  x
)  =  ( ( l `  x ) ( o_ `  T
) m ) } )
34 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( d  e.  ( Func OLD ` 
<. I ,  T >. ) 
|->  { l  e.  ( ( I  Natural  T ) `
 d )  | 
A. f  e.  ( ( I  Natural  T ) `
 d ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. x  e.  dom  ( id_ `  I ) ( f `
 x )  =  ( ( l `  x ) ( o_
`  T ) m ) } )  =  ( d  e.  (
Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { l  e.  ( ( I 
Natural  T ) `  d
)  |  A. f  e.  ( ( I  Natural  T ) `  d ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. x  e.  dom  ( id_ `  I ) ( f `  x
)  =  ( ( l `  x ) ( o_ `  T
) m ) } )
3533, 34fvmptg 5616 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. )  /\  {
l  e.  ( ( I  Natural  T ) `  D )  |  A. f  e.  ( (
I  Natural  T ) `  D ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T
) A. x  e. 
dom  ( id_ `  I
) ( f `  x )  =  ( ( l `  x
) ( o_ `  T ) m ) }  e.  _V )  ->  ( ( d  e.  ( Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { l  e.  ( ( I  Natural  T ) `
 d )  | 
A. f  e.  ( ( I  Natural  T ) `
 d ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. x  e.  dom  ( id_ `  I ) ( f `
 x )  =  ( ( l `  x ) ( o_
`  T ) m ) } ) `  D )  =  {
l  e.  ( ( I  Natural  T ) `  D )  |  A. f  e.  ( (
I  Natural  T ) `  D ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T
) A. x  e. 
dom  ( id_ `  I
) ( f `  x )  =  ( ( l `  x
) ( o_ `  T ) m ) } )
3635eleq2d 2363 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. )  /\  {
l  e.  ( ( I  Natural  T ) `  D )  |  A. f  e.  ( (
I  Natural  T ) `  D ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T
) A. x  e. 
dom  ( id_ `  I
) ( f `  x )  =  ( ( l `  x
) ( o_ `  T ) m ) }  e.  _V )  ->  ( L  e.  ( ( d  e.  (
Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { l  e.  ( ( I 
Natural  T ) `  d
)  |  A. f  e.  ( ( I  Natural  T ) `  d ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. x  e.  dom  ( id_ `  I ) ( f `  x
)  =  ( ( l `  x ) ( o_ `  T
) m ) } ) `  D )  <-> 
L  e.  { l  e.  ( ( I 
Natural  T ) `  D
)  |  A. f  e.  ( ( I  Natural  T ) `  D ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. x  e.  dom  ( id_ `  I ) ( f `  x
)  =  ( ( l `  x ) ( o_ `  T
) m ) } ) )
3728, 30, 36sylancl 643 . . 3  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. ) )  -> 
( L  e.  ( ( d  e.  (
Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { l  e.  ( ( I 
Natural  T ) `  d
)  |  A. f  e.  ( ( I  Natural  T ) `  d ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. x  e.  dom  ( id_ `  I ) ( f `  x
)  =  ( ( l `  x ) ( o_ `  T
) m ) } ) `  D )  <-> 
L  e.  { l  e.  ( ( I 
Natural  T ) `  D
)  |  A. f  e.  ( ( I  Natural  T ) `  D ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. x  e.  dom  ( id_ `  I ) ( f `  x
)  =  ( ( l `  x ) ( o_ `  T
) m ) } ) )
38 islimcat.1 . . . . . . . . . . 11  |-  O1  =  dom  ( id_ `  I
)
3938eqcomi 2300 . . . . . . . . . 10  |-  dom  ( id_ `  I )  = 
O1
4039eleq2i 2360 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  dom  ( id_ `  I )  <->  x  e.  O1 )
4140a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  L  ->  (
x  e.  dom  ( id_ `  I )  <->  x  e.  O1 ) )
42 islimcat.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  Ro 2  =  ( o_ `  T )
4342eqcomi 2300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( o_
`  T )  =  Ro 2
4443a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  L  ->  (
o_ `  T )  =  Ro 2 )
45 fveq1 5540 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  L  ->  (
l `  x )  =  ( L `  x ) )
46 eqidd 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  L  ->  m  =  m )
4744, 45, 46oveq123d 5895 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  L  ->  (
( l `  x
) ( o_ `  T ) m )  =  ( ( L `
 x ) Ro
2 m ) )
4847eqeq2d 2307 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  L  ->  (
( f `  x
)  =  ( ( l `  x ) ( o_ `  T
) m )  <->  ( f `  x )  =  ( ( L `  x
) Ro 2 m
) ) )
4941, 48imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( l  =  L  ->  (
( x  e.  dom  ( id_ `  I )  ->  ( f `  x )  =  ( ( l `  x
) ( o_ `  T ) m ) )  <->  ( x  e.  O1  ->  ( f `  x )  =  ( ( L `  x
) Ro 2 m
) ) ) )
5049ralbidv2 2578 . . . . . 6  |-  ( l  =  L  ->  ( A. x  e.  dom  ( id_ `  I ) ( f `  x
)  =  ( ( l `  x ) ( o_ `  T
) m )  <->  A. x  e.  O1  ( f `  x )  =  ( ( L `  x
) Ro 2 m
) ) )
51 islimcat.2 . . . . . . . 8  |-  M 2  =  dom  ( dom_ `  T
)
5251eqcomi 2300 . . . . . . 7  |-  dom  ( dom_ `  T )  =  M 2
5352a1i 10 . . . . . 6  |-  ( l  =  L  ->  dom  ( dom_ `  T )  =  M 2 )
5450, 53reubidvag 25038 . . . . 5  |-  ( l  =  L  ->  ( E! m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. x  e.  dom  ( id_ `  I ) ( f `  x
)  =  ( ( l `  x ) ( o_ `  T
) m )  <->  E! m  e.  M 2  A. x  e.  O1  ( f `  x )  =  ( ( L `  x
) Ro 2 m
) ) )
5554ralbidv 2576 . . . 4  |-  ( l  =  L  ->  ( A. f  e.  (
( I  Natural  T ) `
 D ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. x  e.  dom  ( id_ `  I ) ( f `
 x )  =  ( ( l `  x ) ( o_
`  T ) m )  <->  A. f  e.  ( ( I  Natural  T ) `
 D ) E! m  e.  M 2  A. x  e.  O1  (
f `  x )  =  ( ( L `
 x ) Ro
2 m ) ) )
5655elrab 2936 . . 3  |-  ( L  e.  { l  e.  ( ( I  Natural  T ) `  D )  |  A. f  e.  ( ( I  Natural  T ) `  D ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. x  e.  dom  ( id_ `  I ) ( f `  x
)  =  ( ( l `  x ) ( o_ `  T
) m ) }  <-> 
( L  e.  ( ( I  Natural  T ) `
 D )  /\  A. f  e.  ( ( I  Natural  T ) `  D ) E! m  e.  M 2  A. x  e.  O1  ( f `  x )  =  ( ( L `  x
) Ro 2 m
) ) )
5737, 56syl6bb 252 . 2  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. ) )  -> 
( L  e.  ( ( d  e.  (
Func OLD `  <. I ,  T >. )  |->  { l  e.  ( ( I 
Natural  T ) `  d
)  |  A. f  e.  ( ( I  Natural  T ) `  d ) E! m  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. x  e.  dom  ( id_ `  I ) ( f `  x
)  =  ( ( l `  x ) ( o_ `  T
) m ) } ) `  D )  <-> 
( L  e.  ( ( I  Natural  T ) `
 D )  /\  A. f  e.  ( ( I  Natural  T ) `  D ) E! m  e.  M 2  A. x  e.  O1  ( f `  x )  =  ( ( L `  x
) Ro 2 m
) ) ) )
5827, 57bitrd 244 1  |-  ( ( I  e.  Cat OLD  /\  T  e.  Cat OLD  /\  D  e.  ( Func
OLD `  <. I ,  T >. ) )  -> 
( L  e.  ( ( I  LimCat  T ) `
 D )  <->  ( L  e.  ( ( I  Natural  T ) `  D )  /\  A. f  e.  ( ( I  Natural  T ) `  D ) E! m  e.  M 2  A. x  e.  O1  ( f `  x
)  =  ( ( L `  x ) Ro 2 m ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E!wreu 2558   {crab 2560   _Vcvv 2801   <.cop 3656    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   dom_cdom_ 25815   id_cid_ 25817   o_co_ 25818    Cat
OLD ccatOLD 25855   Func
OLDcfuncOLD 25934    Natural cntrl 25974    LimCat clmct 25977
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-limcat 25978
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