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Theorem islimrs 25683
Description: The limits of  F at point  P when one only considers the traces of the neighborhoods of  P over  A.  F is a function whose domain is  A. The point  P must belong to  ( ( cls `  K ) `  A
) (see also the comments under df-flimfrs 25682) . (Contributed by FL, 15-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
islimrs.1  |-  L  =  ( ( ( nei `  K ) `  { P } )t  A )
islimrs.2  |-  X  = 
U. J
islimrs.3  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
islimrs  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  (
( cls `  K
) `  A )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  ( (
( J  fLimfrs  K ) `
 A ) `  <. P ,  F >. )  =  ( ( J 
fLimf  L ) `  F
) )

Proof of Theorem islimrs
Dummy variables  f 
a  p  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1l 979 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  (
( cls `  K
) `  A )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  J  e.  Top )
2 simp1r 980 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  (
( cls `  K
) `  A )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  K  e.  Top )
3 uniexg 4533 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Top  ->  U. K  e.  _V )
4 pwexg 4210 . . . . . . . . 9  |-  ( U. K  e.  _V  ->  ~P
U. K  e.  _V )
53, 4syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Top  ->  ~P U. K  e.  _V )
65adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ~P U. K  e. 
_V )
763ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  (
( cls `  K
) `  A )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  ~P U. K  e.  _V )
8 mptexg 5761 . . . . . 6  |-  ( ~P
U. K  e.  _V  ->  ( a  e.  ~P U. K  |->  ( p  e.  ( ( cls `  K
) `  a ) ,  f  e.  ( U. J  ^m  a
)  |->  ( ( J 
fLimf  ( ( ( nei `  K ) `  {
p } )t  a ) ) `  f ) ) )  e.  _V )
97, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  (
( cls `  K
) `  A )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  ( a  e.  ~P U. K  |->  ( p  e.  ( ( cls `  K ) `
 a ) ,  f  e.  ( U. J  ^m  a )  |->  ( ( J  fLimf  ( ( ( nei `  K
) `  { p } )t  a ) ) `
 f ) ) )  e.  _V )
10 eqidd 2297 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  (
( cls `  k
) `  a )  =  ( ( cls `  k ) `  a
) )
11 unieq 3852 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  U. j  =  U. J )
1211oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  ( U. j  ^m  a
)  =  ( U. J  ^m  a ) )
13 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  (
j  fLimf  ( ( ( nei `  k ) `
 { p }
)t  a ) )  =  ( J  fLimf  ( ( ( nei `  k
) `  { p } )t  a ) ) )
1413fveq1d 5543 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  (
( j  fLimf  ( ( ( nei `  k
) `  { p } )t  a ) ) `
 f )  =  ( ( J  fLimf  ( ( ( nei `  k
) `  { p } )t  a ) ) `
 f ) )
1510, 12, 14mpt2eq123dv 5926 . . . . . . 7  |-  ( j  =  J  ->  (
p  e.  ( ( cls `  k ) `
 a ) ,  f  e.  ( U. j  ^m  a )  |->  ( ( j  fLimf  ( ( ( nei `  k
) `  { p } )t  a ) ) `
 f ) )  =  ( p  e.  ( ( cls `  k
) `  a ) ,  f  e.  ( U. J  ^m  a
)  |->  ( ( J 
fLimf  ( ( ( nei `  k ) `  {
p } )t  a ) ) `  f ) ) )
1615mpteq2dv 4123 . . . . . 6  |-  ( j  =  J  ->  (
a  e.  ~P U. k  |->  ( p  e.  ( ( cls `  k
) `  a ) ,  f  e.  ( U. j  ^m  a
)  |->  ( ( j 
fLimf  ( ( ( nei `  k ) `  {
p } )t  a ) ) `  f ) ) )  =  ( a  e.  ~P U. k  |->  ( p  e.  ( ( cls `  k
) `  a ) ,  f  e.  ( U. J  ^m  a
)  |->  ( ( J 
fLimf  ( ( ( nei `  k ) `  {
p } )t  a ) ) `  f ) ) ) )
17 unieq 3852 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  U. k  =  U. K )
1817pweqd 3643 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ~P U. k  =  ~P U. K )
19 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  ( cls `  k )  =  ( cls `  K
) )
2019fveq1d 5543 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( cls `  k
) `  a )  =  ( ( cls `  K ) `  a
) )
21 eqidd 2297 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( U. J  ^m  a
)  =  ( U. J  ^m  a ) )
22 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  K  ->  ( nei `  k )  =  ( nei `  K
) )
2322fveq1d 5543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  K  ->  (
( nei `  k
) `  { p } )  =  ( ( nei `  K
) `  { p } ) )
2423oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  K  ->  (
( ( nei `  k
) `  { p } )t  a )  =  ( ( ( nei `  K ) `  {
p } )t  a ) )
2524oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  ( J  fLimf  ( ( ( nei `  k ) `
 { p }
)t  a ) )  =  ( J  fLimf  ( ( ( nei `  K
) `  { p } )t  a ) ) )
2625fveq1d 5543 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  (
( J  fLimf  ( ( ( nei `  k
) `  { p } )t  a ) ) `
 f )  =  ( ( J  fLimf  ( ( ( nei `  K
) `  { p } )t  a ) ) `
 f ) )
2720, 21, 26mpt2eq123dv 5926 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
p  e.  ( ( cls `  k ) `
 a ) ,  f  e.  ( U. J  ^m  a )  |->  ( ( J  fLimf  ( ( ( nei `  k
) `  { p } )t  a ) ) `
 f ) )  =  ( p  e.  ( ( cls `  K
) `  a ) ,  f  e.  ( U. J  ^m  a
)  |->  ( ( J 
fLimf  ( ( ( nei `  K ) `  {
p } )t  a ) ) `  f ) ) )
2818, 27mpteq12dv 4114 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
a  e.  ~P U. k  |->  ( p  e.  ( ( cls `  k
) `  a ) ,  f  e.  ( U. J  ^m  a
)  |->  ( ( J 
fLimf  ( ( ( nei `  k ) `  {
p } )t  a ) ) `  f ) ) )  =  ( a  e.  ~P U. K  |->  ( p  e.  ( ( cls `  K
) `  a ) ,  f  e.  ( U. J  ^m  a
)  |->  ( ( J 
fLimf  ( ( ( nei `  K ) `  {
p } )t  a ) ) `  f ) ) ) )
29 df-flimfrs 25682 . . . . . 6  |-  fLimfrs  =  ( j  e.  Top , 
k  e.  Top  |->  ( a  e.  ~P U. k  |->  ( p  e.  ( ( cls `  k
) `  a ) ,  f  e.  ( U. j  ^m  a
)  |->  ( ( j 
fLimf  ( ( ( nei `  k ) `  {
p } )t  a ) ) `  f ) ) ) )
3016, 28, 29ovmpt2g 5998 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  (
a  e.  ~P U. K  |->  ( p  e.  ( ( cls `  K
) `  a ) ,  f  e.  ( U. J  ^m  a
)  |->  ( ( J 
fLimf  ( ( ( nei `  K ) `  {
p } )t  a ) ) `  f ) ) )  e.  _V )  ->  ( J  fLimfrs  K )  =  ( a  e.  ~P U. K  |->  ( p  e.  ( ( cls `  K
) `  a ) ,  f  e.  ( U. J  ^m  a
)  |->  ( ( J 
fLimf  ( ( ( nei `  K ) `  {
p } )t  a ) ) `  f ) ) ) )
311, 2, 9, 30syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  (
( cls `  K
) `  A )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  ( J  fLimfrs  K )  =  ( a  e.  ~P U. K  |->  ( p  e.  ( ( cls `  K
) `  a ) ,  f  e.  ( U. J  ^m  a
)  |->  ( ( J 
fLimf  ( ( ( nei `  K ) `  {
p } )t  a ) ) `  f ) ) ) )
3231fveq1d 5543 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  (
( cls `  K
) `  A )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  ( ( J  fLimfrs  K ) `  A )  =  ( ( a  e.  ~P U. K  |->  ( p  e.  ( ( cls `  K
) `  a ) ,  f  e.  ( U. J  ^m  a
)  |->  ( ( J 
fLimf  ( ( ( nei `  K ) `  {
p } )t  a ) ) `  f ) ) ) `  A
) )
3332fveq1d 5543 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  (
( cls `  K
) `  A )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  ( (
( J  fLimfrs  K ) `
 A ) `  <. P ,  F >. )  =  ( ( ( a  e.  ~P U. K  |->  ( p  e.  ( ( cls `  K
) `  a ) ,  f  e.  ( U. J  ^m  a
)  |->  ( ( J 
fLimf  ( ( ( nei `  K ) `  {
p } )t  a ) ) `  f ) ) ) `  A
) `  <. P ,  F >. ) )
34 islimrs.3 . . . . . . . . . 10  |-  Y  = 
U. K
35 sseq2 3213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  =  U. K  -> 
( A  C_  Y  <->  A 
C_  U. K ) )
36 elpw2g 4190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. K  e.  _V  ->  ( A  e.  ~P U. K 
<->  A  C_  U. K ) )
373, 36syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  Top  ->  ( A  e.  ~P U. K  <->  A 
C_  U. K ) )
3837biimprcd 216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  U. K  ->  ( K  e.  Top  ->  A  e.  ~P U. K ) )
3935, 38syl6bi 219 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  =  U. K  -> 
( A  C_  Y  ->  ( K  e.  Top  ->  A  e.  ~P U. K ) ) )
4034, 39ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  Y  ->  ( K  e.  Top  ->  A  e.  ~P U. K ) )
4140adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  A ) )  -> 
( K  e.  Top  ->  A  e.  ~P U. K ) )
4241com12 27 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  ->  (
( A  C_  Y  /\  P  e.  (
( cls `  K
) `  A )
)  ->  A  e.  ~P U. K ) )
4342adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K
) `  A )
)  ->  A  e.  ~P U. K ) )
4443imp 418 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  (
( cls `  K
) `  A )
) )  ->  A  e.  ~P U. K )
45443adant3 975 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  (
( cls `  K
) `  A )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  A  e.  ~P U. K )
46 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( ( cls `  K ) `
 A )  e. 
_V
47 ovex 5899 . . . . . 6  |-  ( U. J  ^m  A )  e. 
_V
4847a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  (
( cls `  K
) `  A )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  ( U. J  ^m  A )  e. 
_V )
49 mpt2exga 6213 . . . . 5  |-  ( ( ( ( cls `  K
) `  A )  e.  _V  /\  ( U. J  ^m  A )  e. 
_V )  ->  (
p  e.  ( ( cls `  K ) `
 A ) ,  f  e.  ( U. J  ^m  A )  |->  ( ( J  fLimf  ( ( ( nei `  K
) `  { p } )t  A ) ) `  f ) )  e. 
_V )
5046, 48, 49sylancr 644 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  (
( cls `  K
) `  A )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  ( p  e.  ( ( cls `  K
) `  A ) ,  f  e.  ( U. J  ^m  A ) 
|->  ( ( J  fLimf  ( ( ( nei `  K
) `  { p } )t  A ) ) `  f ) )  e. 
_V )
51 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( cls `  K
) `  a )  =  ( ( cls `  K ) `  A
) )
52 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  ( U. J  ^m  a
)  =  ( U. J  ^m  A ) )
53 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( nei `  K
) `  { p } )t  a )  =  ( ( ( nei `  K ) `  {
p } )t  A ) )
5453oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  ( J  fLimf  ( ( ( nei `  K ) `
 { p }
)t  a ) )  =  ( J  fLimf  ( ( ( nei `  K
) `  { p } )t  A ) ) )
5554fveq1d 5543 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( J  fLimf  ( ( ( nei `  K
) `  { p } )t  a ) ) `
 f )  =  ( ( J  fLimf  ( ( ( nei `  K
) `  { p } )t  A ) ) `  f ) )
5651, 52, 55mpt2eq123dv 5926 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
p  e.  ( ( cls `  K ) `
 a ) ,  f  e.  ( U. J  ^m  a )  |->  ( ( J  fLimf  ( ( ( nei `  K
) `  { p } )t  a ) ) `
 f ) )  =  ( p  e.  ( ( cls `  K
) `  A ) ,  f  e.  ( U. J  ^m  A ) 
|->  ( ( J  fLimf  ( ( ( nei `  K
) `  { p } )t  A ) ) `  f ) ) )
57 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( a  e.  ~P U. K  |->  ( p  e.  ( ( cls `  K
) `  a ) ,  f  e.  ( U. J  ^m  a
)  |->  ( ( J 
fLimf  ( ( ( nei `  K ) `  {
p } )t  a ) ) `  f ) ) )  =  ( a  e.  ~P U. K  |->  ( p  e.  ( ( cls `  K
) `  a ) ,  f  e.  ( U. J  ^m  a
)  |->  ( ( J 
fLimf  ( ( ( nei `  K ) `  {
p } )t  a ) ) `  f ) ) )
5856, 57fvmptg 5616 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~P U. K  /\  ( p  e.  ( ( cls `  K
) `  A ) ,  f  e.  ( U. J  ^m  A ) 
|->  ( ( J  fLimf  ( ( ( nei `  K
) `  { p } )t  A ) ) `  f ) )  e. 
_V )  ->  (
( a  e.  ~P U. K  |->  ( p  e.  ( ( cls `  K
) `  a ) ,  f  e.  ( U. J  ^m  a
)  |->  ( ( J 
fLimf  ( ( ( nei `  K ) `  {
p } )t  a ) ) `  f ) ) ) `  A
)  =  ( p  e.  ( ( cls `  K ) `  A
) ,  f  e.  ( U. J  ^m  A )  |->  ( ( J  fLimf  ( (
( nei `  K
) `  { p } )t  A ) ) `  f ) ) )
5945, 50, 58syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  (
( cls `  K
) `  A )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  ( (
a  e.  ~P U. K  |->  ( p  e.  ( ( cls `  K
) `  a ) ,  f  e.  ( U. J  ^m  a
)  |->  ( ( J 
fLimf  ( ( ( nei `  K ) `  {
p } )t  a ) ) `  f ) ) ) `  A
)  =  ( p  e.  ( ( cls `  K ) `  A
) ,  f  e.  ( U. J  ^m  A )  |->  ( ( J  fLimf  ( (
( nei `  K
) `  { p } )t  A ) ) `  f ) ) )
6059fveq1d 5543 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  (
( cls `  K
) `  A )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  ( (
( a  e.  ~P U. K  |->  ( p  e.  ( ( cls `  K
) `  a ) ,  f  e.  ( U. J  ^m  a
)  |->  ( ( J 
fLimf  ( ( ( nei `  K ) `  {
p } )t  a ) ) `  f ) ) ) `  A
) `  <. P ,  F >. )  =  ( ( p  e.  ( ( cls `  K
) `  A ) ,  f  e.  ( U. J  ^m  A ) 
|->  ( ( J  fLimf  ( ( ( nei `  K
) `  { p } )t  A ) ) `  f ) ) `  <. P ,  F >. ) )
61 df-ov 5877 . . 3  |-  ( P ( p  e.  ( ( cls `  K
) `  A ) ,  f  e.  ( U. J  ^m  A ) 
|->  ( ( J  fLimf  ( ( ( nei `  K
) `  { p } )t  A ) ) `  f ) ) F )  =  ( ( p  e.  ( ( cls `  K ) `
 A ) ,  f  e.  ( U. J  ^m  A )  |->  ( ( J  fLimf  ( ( ( nei `  K
) `  { p } )t  A ) ) `  f ) ) `  <. P ,  F >. )
62 simp2r 982 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  (
( cls `  K
) `  A )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  P  e.  ( ( cls `  K
) `  A )
)
63 islimrs.2 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
6463oveq1i 5884 . . . . . . 7  |-  ( X  ^m  A )  =  ( U. J  ^m  A )
6564eleq2i 2360 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( X  ^m  A )  <->  F  e.  ( U. J  ^m  A
) )
6665biimpi 186 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( X  ^m  A )  ->  F  e.  ( U. J  ^m  A ) )
67663ad2ant3 978 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  (
( cls `  K
) `  A )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  F  e.  ( U. J  ^m  A
) )
68 fvex 5555 . . . . 5  |-  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  e.  _V
6968a1i 10 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  (
( cls `  K
) `  A )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  e.  _V )
70 sneq 3664 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  P  ->  { p }  =  { P } )
7170fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  P  ->  (
( nei `  K
) `  { p } )  =  ( ( nei `  K
) `  { P } ) )
7271oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  P  ->  (
( ( nei `  K
) `  { p } )t  A )  =  ( ( ( nei `  K
) `  { P } )t  A ) )
73 islimrs.1 . . . . . . . 8  |-  L  =  ( ( ( nei `  K ) `  { P } )t  A )
7472, 73syl6eqr 2346 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  (
( ( nei `  K
) `  { p } )t  A )  =  L )
7574oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  ( J  fLimf  ( ( ( nei `  K ) `
 { p }
)t 
A ) )  =  ( J  fLimf  L ) )
7675fveq1d 5543 . . . . 5  |-  ( p  =  P  ->  (
( J  fLimf  ( ( ( nei `  K
) `  { p } )t  A ) ) `  f )  =  ( ( J  fLimf  L ) `
 f ) )
77 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( J  fLimf  L ) `
 f )  =  ( ( J  fLimf  L ) `  F ) )
78 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( p  e.  ( ( cls `  K ) `  A
) ,  f  e.  ( U. J  ^m  A )  |->  ( ( J  fLimf  ( (
( nei `  K
) `  { p } )t  A ) ) `  f ) )  =  ( p  e.  ( ( cls `  K
) `  A ) ,  f  e.  ( U. J  ^m  A ) 
|->  ( ( J  fLimf  ( ( ( nei `  K
) `  { p } )t  A ) ) `  f ) )
7976, 77, 78ovmpt2g 5998 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ( cls `  K ) `
 A )  /\  F  e.  ( U. J  ^m  A )  /\  ( ( J  fLimf  L ) `  F )  e.  _V )  -> 
( P ( p  e.  ( ( cls `  K ) `  A
) ,  f  e.  ( U. J  ^m  A )  |->  ( ( J  fLimf  ( (
( nei `  K
) `  { p } )t  A ) ) `  f ) ) F )  =  ( ( J  fLimf  L ) `  F ) )
8062, 67, 69, 79syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  (
( cls `  K
) `  A )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  ( P
( p  e.  ( ( cls `  K
) `  A ) ,  f  e.  ( U. J  ^m  A ) 
|->  ( ( J  fLimf  ( ( ( nei `  K
) `  { p } )t  A ) ) `  f ) ) F )  =  ( ( J  fLimf  L ) `  F ) )
8161, 80syl5eqr 2342 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  (
( cls `  K
) `  A )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  ( (
p  e.  ( ( cls `  K ) `
 A ) ,  f  e.  ( U. J  ^m  A )  |->  ( ( J  fLimf  ( ( ( nei `  K
) `  { p } )t  A ) ) `  f ) ) `  <. P ,  F >. )  =  ( ( J 
fLimf  L ) `  F
) )
8233, 60, 813eqtrd 2332 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  (
( cls `  K
) `  A )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  ( (
( J  fLimfrs  K ) `
 A ) `  <. P ,  F >. )  =  ( ( J 
fLimf  L ) `  F
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   {csn 3653   <.cop 3656   U.cuni 3843    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876    ^m cmap 6788   ↾t crest 13341   Topctop 16647   clsccl 16771   neicnei 16850    fLimf cflf 17646    fLimfrs cflimfrs 25681
This theorem is referenced by:  islimrs3  25684  islimrs4  25685
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-flimfrs 25682
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