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Theorem islimrs3 25581
Description: The limits of  F at point  P relatively to  A is a limit of  F at point  P relatively to  B  C_  A. The opposite direction doesn't hold. (Contributed by FL, 13-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
islimrs.1  |-  L  =  ( ( ( nei `  K ) `  { P } )t  A )
islimrs.2  |-  X  = 
U. J
islimrs.3  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
islimrs3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  -> 
( ( ( J 
fLimfrs  K ) `  A
) `  <. P ,  F >. )  C_  (
( ( J  fLimfrs  K ) `  B ) `
 <. P ,  ( F  |`  B ) >. ) )

Proof of Theorem islimrs3
Dummy variables  v  u  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islimrs.1 . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( ( ( nei `  K ) `  { P } )t  A )
21eleq2i 2347 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F " u )  e.  L  <->  ( `' F " u )  e.  ( ( ( nei `  K ) `  { P } )t  A ) )
3 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( nei `  K ) `
 { P }
)  e.  _V
4 uniexg 4517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
5 uniexg 4517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  Top  ->  U. K  e.  _V )
6 islimrs.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  X  = 
U. J
7 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( U. J  =  X  ->  ( U. J  e.  _V  <->  X  e.  _V ) )
87eqcoms 2286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  =  U. J  -> 
( U. J  e. 
_V 
<->  X  e.  _V )
)
9 islimrs.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  Y  = 
U. K
10 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( U. K  =  Y  ->  ( U. K  e.  _V  <->  Y  e.  _V ) )
1110eqcoms 2286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Y  =  U. K  -> 
( U. K  e. 
_V 
<->  Y  e.  _V )
)
12 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  X  e.  _V  /\  A  C_  Y )  ->  X  e.  _V )
13 ssexg 4160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  C_  Y  /\  Y  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
1413ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  A  C_  Y )  ->  A  e.  _V )
15143adant2 974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  X  e.  _V  /\  A  C_  Y )  ->  A  e.  _V )
1612, 15jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Y  e.  _V  /\  X  e.  _V  /\  A  C_  Y )  ->  ( X  e.  _V  /\  A  e.  _V ) )
17163exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( X  e.  _V  ->  ( A  C_  Y  ->  ( X  e.  _V  /\  A  e.  _V )
) ) )
1811, 17syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Y  =  U. K  -> 
( U. K  e. 
_V  ->  ( X  e. 
_V  ->  ( A  C_  Y  ->  ( X  e. 
_V  /\  A  e.  _V ) ) ) ) )
199, 18ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( U. K  e.  _V  ->  ( X  e.  _V  ->  ( A  C_  Y  ->  ( X  e.  _V  /\  A  e.  _V )
) ) )
2019com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  e.  _V  ->  ( U. K  e.  _V  ->  ( A  C_  Y  ->  ( X  e.  _V  /\  A  e.  _V )
) ) )
218, 20syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( X  =  U. J  -> 
( U. J  e. 
_V  ->  ( U. K  e.  _V  ->  ( A  C_  Y  ->  ( X  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) ) ) ) )
226, 21ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U. J  e.  _V  ->  ( U. K  e.  _V  ->  ( A  C_  Y  ->  ( X  e.  _V  /\  A  e.  _V )
) ) )
2322imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U. J  e.  _V  /\ 
U. K  e.  _V )  ->  ( A  C_  Y  ->  ( X  e. 
_V  /\  A  e.  _V ) ) )
244, 5, 23syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( A  C_  Y  ->  ( X  e.  _V  /\  A  e.  _V )
) )
2524adantrd 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K
) `  B )
)  ->  ( X  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) ) )
26253adant3 975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  ->  (
( A  C_  Y  /\  P  e.  (
( cls `  K
) `  B )
)  ->  ( X  e.  _V  /\  A  e. 
_V ) ) )
2726imp 418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) ) )  ->  ( X  e. 
_V  /\  A  e.  _V ) )
28273adant3 975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  -> 
( X  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)
2928simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  A  e.  _V )
3029ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K
) `  B )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  /\  x  e.  X )  /\  u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )  ->  A  e.  _V )
31 elrest 13332 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( nei `  K
) `  { P } )  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( ( `' F " u )  e.  ( ( ( nei `  K
) `  { P } )t  A )  <->  E. v  e.  ( ( nei `  K
) `  { P } ) ( `' F " u )  =  ( v  i^i 
A ) ) )
323, 30, 31sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K
) `  B )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  /\  x  e.  X )  /\  u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )  -> 
( ( `' F " u )  e.  ( ( ( nei `  K
) `  { P } )t  A )  <->  E. v  e.  ( ( nei `  K
) `  { P } ) ( `' F " u )  =  ( v  i^i 
A ) ) )
332, 32syl5bb 248 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K
) `  B )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  /\  x  e.  X )  /\  u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )  -> 
( ( `' F " u )  e.  L  <->  E. v  e.  ( ( nei `  K ) `
 { P }
) ( `' F " u )  =  ( v  i^i  A ) ) )
34 simp13 987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  B  C_  A )
3534ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K
) `  B )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  /\  x  e.  X )  /\  u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )  /\  v  e.  ( ( nei `  K ) `  { P } ) )  ->  B  C_  A
)
36 dfss1 3373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B 
C_  A  <->  ( A  i^i  B )  =  B )
3735, 36sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K
) `  B )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  /\  x  e.  X )  /\  u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )  /\  v  e.  ( ( nei `  K ) `  { P } ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  B )
3837ineq2d 3370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K
) `  B )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  /\  x  e.  X )  /\  u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )  /\  v  e.  ( ( nei `  K ) `  { P } ) )  ->  ( v  i^i  ( A  i^i  B
) )  =  ( v  i^i  B ) )
393a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K
) `  B )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  /\  x  e.  X )  /\  u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )  /\  v  e.  ( ( nei `  K ) `  { P } ) )  ->  ( ( nei `  K ) `  { P } )  e.  _V )
4030adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K
) `  B )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  /\  x  e.  X )  /\  u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )  /\  v  e.  ( ( nei `  K ) `  { P } ) )  ->  A  e.  _V )
41 ssexg 4160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  _V )  ->  B  e.  _V )
4235, 40, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K
) `  B )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  /\  x  e.  X )  /\  u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )  /\  v  e.  ( ( nei `  K ) `  { P } ) )  ->  B  e.  _V )
43 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K
) `  B )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  /\  x  e.  X )  /\  u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )  /\  v  e.  ( ( nei `  K ) `  { P } ) )  ->  v  e.  ( ( nei `  K
) `  { P } ) )
44 elrestr 13333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( nei `  K
) `  { P } )  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  v  e.  ( ( nei `  K ) `  { P } ) )  ->  ( v  i^i 
B )  e.  ( ( ( nei `  K
) `  { P } )t  B ) )
4539, 42, 43, 44syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K
) `  B )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  /\  x  e.  X )  /\  u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )  /\  v  e.  ( ( nei `  K ) `  { P } ) )  ->  ( v  i^i 
B )  e.  ( ( ( nei `  K
) `  { P } )t  B ) )
4638, 45eqeltrd 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K
) `  B )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  /\  x  e.  X )  /\  u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )  /\  v  e.  ( ( nei `  K ) `  { P } ) )  ->  ( v  i^i  ( A  i^i  B
) )  e.  ( ( ( nei `  K
) `  { P } )t  B ) )
47 cnvresima 5162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( F  |`  B )
" u )  =  ( ( `' F " u )  i^i  B
)
48 ineq1 3363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F " u )  =  ( v  i^i 
A )  ->  (
( `' F "
u )  i^i  B
)  =  ( ( v  i^i  A )  i^i  B ) )
4947, 48syl5eq 2327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F " u )  =  ( v  i^i 
A )  ->  ( `' ( F  |`  B ) " u
)  =  ( ( v  i^i  A )  i^i  B ) )
50 inass 3379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  i^i  A )  i^i  B )  =  ( v  i^i  ( A  i^i  B ) )
5149, 50syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F " u )  =  ( v  i^i 
A )  ->  ( `' ( F  |`  B ) " u
)  =  ( v  i^i  ( A  i^i  B ) ) )
5251eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F " u )  =  ( v  i^i 
A )  ->  (
( `' ( F  |`  B ) " u
)  e.  ( ( ( nei `  K
) `  { P } )t  B )  <->  ( v  i^i  ( A  i^i  B
) )  e.  ( ( ( nei `  K
) `  { P } )t  B ) ) )
5346, 52syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K
) `  B )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  /\  x  e.  X )  /\  u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )  /\  v  e.  ( ( nei `  K ) `  { P } ) )  ->  ( ( `' F " u )  =  ( v  i^i 
A )  ->  ( `' ( F  |`  B ) " u
)  e.  ( ( ( nei `  K
) `  { P } )t  B ) ) )
5453rexlimdva 2667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K
) `  B )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  /\  x  e.  X )  /\  u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )  -> 
( E. v  e.  ( ( nei `  K
) `  { P } ) ( `' F " u )  =  ( v  i^i 
A )  ->  ( `' ( F  |`  B ) " u
)  e.  ( ( ( nei `  K
) `  { P } )t  B ) ) )
5533, 54sylbid 206 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K
) `  B )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  /\  x  e.  X )  /\  u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )  -> 
( ( `' F " u )  e.  L  ->  ( `' ( F  |`  B ) " u
)  e.  ( ( ( nei `  K
) `  { P } )t  B ) ) )
5655ralimdva 2621 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A
)  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K
) `  B )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. u  e.  (
( nei `  J
) `  { x } ) ( `' F " u )  e.  L  ->  A. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( `' ( F  |`  B )
" u )  e.  ( ( ( nei `  K ) `  { P } )t  B ) ) )
5756imdistanda 674 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  -> 
( ( x  e.  X  /\  A. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( `' F " u )  e.  L )  -> 
( x  e.  X  /\  A. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( `' ( F  |`  B )
" u )  e.  ( ( ( nei `  K ) `  { P } )t  B ) ) ) )
58 simp11 985 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  J  e.  Top )
59 simpl2 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  A  C_  Y )  ->  K  e.  Top )
60 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  A  C_  Y )  ->  A  C_  Y )
61 simpl3 960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  A  C_  Y )  ->  B  C_  A )
629clsss 16791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  C_  Y  /\  B  C_  A )  ->  (
( cls `  K
) `  B )  C_  ( ( cls `  K
) `  A )
)
6362sseld 3179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  C_  Y  /\  B  C_  A )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  K ) `  B )  ->  P  e.  ( ( cls `  K
) `  A )
) )
6459, 60, 61, 63syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  A  C_  Y )  -> 
( P  e.  ( ( cls `  K
) `  B )  ->  P  e.  ( ( cls `  K ) `
 A ) ) )
6564impr 602 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) ) )  ->  P  e.  ( ( cls `  K
) `  A )
)
66653adant3 975 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  P  e.  ( ( cls `  K ) `  A ) )
67 simp12 986 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  K  e.  Top )
689toptopon 16671 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
6967, 68sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y
) )
70 simp2l 981 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  A  C_  Y )
719clsss3 16796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Top  /\  A  C_  Y )  -> 
( ( cls `  K
) `  A )  C_  Y )
7267, 70, 71syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  -> 
( ( cls `  K
) `  A )  C_  Y )
7372, 66sseldd 3181 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  P  e.  Y )
74 trnei 17587 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  A  C_  Y  /\  P  e.  Y )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  K ) `  A )  <->  ( (
( nei `  K
) `  { P } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) ) )
7569, 70, 73, 74syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  -> 
( P  e.  ( ( cls `  K
) `  A )  <->  ( ( ( nei `  K
) `  { P } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) ) )
7666, 75mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  -> 
( ( ( nei `  K ) `  { P } )t  A )  e.  ( Fil `  A ) )
771, 76syl5eqel 2367 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  L  e.  ( Fil `  A ) )
78 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  F  e.  ( X  ^m  A ) )
79 elmapg 6785 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( X  ^m  A )  <-> 
F : A --> X ) )
8028, 79syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  -> 
( F  e.  ( X  ^m  A )  <-> 
F : A --> X ) )
8178, 80mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  F : A --> X )
826flfnei2 25577 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  L  e.  ( Fil `  A )  /\  F : A --> X )  -> 
( x  e.  ( ( J  fLimf  L ) `
 F )  <->  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( `' F " u )  e.  L ) ) )
8358, 77, 81, 82syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  -> 
( x  e.  ( ( J  fLimf  L ) `
 F )  <->  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( `' F " u )  e.  L ) ) )
84 simp2r 982 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )
85 sstr2 3186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B 
C_  A  ->  ( A  C_  Y  ->  B  C_  Y ) )
8685adantrd 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
C_  A  ->  (
( A  C_  Y  /\  P  e.  (
( cls `  K
) `  B )
)  ->  B  C_  Y
) )
87863ad2ant3 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  ->  (
( A  C_  Y  /\  P  e.  (
( cls `  K
) `  B )
)  ->  B  C_  Y
) )
8887imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) ) )  ->  B  C_  Y
)
89883adant3 975 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  B  C_  Y )
90 trnei 17587 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  B  C_  Y  /\  P  e.  Y )  ->  ( P  e.  ( ( cls `  K ) `  B )  <->  ( (
( nei `  K
) `  { P } )t  B )  e.  ( Fil `  B ) ) )
9169, 89, 73, 90syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  -> 
( P  e.  ( ( cls `  K
) `  B )  <->  ( ( ( nei `  K
) `  { P } )t  B )  e.  ( Fil `  B ) ) )
9284, 91mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  -> 
( ( ( nei `  K ) `  { P } )t  B )  e.  ( Fil `  B ) )
93 fssres 5408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> X  /\  B  C_  A )  -> 
( F  |`  B ) : B --> X )
9493expcom 424 . . . . . . . . 9  |-  ( B 
C_  A  ->  ( F : A --> X  -> 
( F  |`  B ) : B --> X ) )
95943ad2ant3 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  ->  ( F : A --> X  -> 
( F  |`  B ) : B --> X ) )
9695a1d 22 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  ->  (
( A  C_  Y  /\  P  e.  (
( cls `  K
) `  B )
)  ->  ( F : A --> X  ->  ( F  |`  B ) : B --> X ) ) )
9727, 79syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) ) )  ->  ( F  e.  ( X  ^m  A
)  <->  F : A --> X ) )
9897imbi1d 308 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) ) )  ->  ( ( F  e.  ( X  ^m  A )  ->  ( F  |`  B ) : B --> X )  <->  ( F : A --> X  ->  ( F  |`  B ) : B --> X ) ) )
9998pm5.74da 668 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  ->  (
( ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K
) `  B )
)  ->  ( F  e.  ( X  ^m  A
)  ->  ( F  |`  B ) : B --> X ) )  <->  ( ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K
) `  B )
)  ->  ( F : A --> X  ->  ( F  |`  B ) : B --> X ) ) ) )
10096, 99mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  ->  (
( A  C_  Y  /\  P  e.  (
( cls `  K
) `  B )
)  ->  ( F  e.  ( X  ^m  A
)  ->  ( F  |`  B ) : B --> X ) ) )
1011003imp 1145 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  -> 
( F  |`  B ) : B --> X )
1026flfnei2 25577 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( ( nei `  K ) `  { P } )t  B )  e.  ( Fil `  B )  /\  ( F  |`  B ) : B --> X )  ->  (
x  e.  ( ( J  fLimf  ( (
( nei `  K
) `  { P } )t  B ) ) `  ( F  |`  B ) )  <->  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( `' ( F  |`  B )
" u )  e.  ( ( ( nei `  K ) `  { P } )t  B ) ) ) )
10358, 92, 101, 102syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  -> 
( x  e.  ( ( J  fLimf  ( ( ( nei `  K
) `  { P } )t  B ) ) `  ( F  |`  B ) )  <->  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( `' ( F  |`  B )
" u )  e.  ( ( ( nei `  K ) `  { P } )t  B ) ) ) )
10457, 83, 1033imtr4d 259 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  -> 
( x  e.  ( ( J  fLimf  L ) `
 F )  ->  x  e.  ( ( J  fLimf  ( ( ( nei `  K ) `
 { P }
)t 
B ) ) `  ( F  |`  B ) ) ) )
105104ssrdv 3185 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  -> 
( ( J  fLimf  L ) `  F ) 
C_  ( ( J 
fLimf  ( ( ( nei `  K ) `  { P } )t  B ) ) `  ( F  |`  B ) ) )
106 3simpa 952 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  ->  ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top ) )
1071063ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  -> 
( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )
)
108 simprl 732 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) ) )  ->  A  C_  Y
)
109108, 65jca 518 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) ) )  ->  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K
) `  A )
) )
1101093adant3 975 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  -> 
( A  C_  Y  /\  P  e.  (
( cls `  K
) `  A )
) )
1111, 6, 9islimrs 25580 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  (
( cls `  K
) `  A )
)  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  ->  ( (
( J  fLimfrs  K ) `
 A ) `  <. P ,  F >. )  =  ( ( J 
fLimf  L ) `  F
) )
112107, 110, 78, 111syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  -> 
( ( ( J 
fLimfrs  K ) `  A
) `  <. P ,  F >. )  =  ( ( J  fLimf  L ) `
 F ) )
113 simprr 733 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) ) )  ->  P  e.  ( ( cls `  K
) `  B )
)
11488, 113jca 518 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) ) )  ->  ( B  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K
) `  B )
) )
1151143adant3 975 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  -> 
( B  C_  Y  /\  P  e.  (
( cls `  K
) `  B )
) )
11695adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) ) )  ->  ( F : A
--> X  ->  ( F  |`  B ) : B --> X ) )
11727simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) ) )  ->  X  e.  _V )
118 simpl3 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) ) )  ->  B  C_  A
)
11941expcom 424 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  ( B  C_  A  ->  B  e.  _V ) )
120119adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( B  C_  A  ->  B  e.  _V )
)
12127, 118, 120sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) ) )  ->  B  e.  _V )
122 elmapg 6785 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( ( F  |`  B )  e.  ( X  ^m  B )  <-> 
( F  |`  B ) : B --> X ) )
123117, 121, 122syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) ) )  ->  ( ( F  |`  B )  e.  ( X  ^m  B )  <-> 
( F  |`  B ) : B --> X ) )
124116, 97, 1233imtr4d 259 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) ) )  ->  ( F  e.  ( X  ^m  A
)  ->  ( F  |`  B )  e.  ( X  ^m  B ) ) )
1251243impia 1148 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  -> 
( F  |`  B )  e.  ( X  ^m  B ) )
126 eqid 2283 . . . 4  |-  ( ( ( nei `  K
) `  { P } )t  B )  =  ( ( ( nei `  K
) `  { P } )t  B )
127126, 6, 9islimrs 25580 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( B  C_  Y  /\  P  e.  (
( cls `  K
) `  B )
)  /\  ( F  |`  B )  e.  ( X  ^m  B ) )  ->  ( (
( J  fLimfrs  K ) `
 B ) `  <. P ,  ( F  |`  B ) >. )  =  ( ( J 
fLimf  ( ( ( nei `  K ) `  { P } )t  B ) ) `  ( F  |`  B ) ) )
128107, 115, 125, 127syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  -> 
( ( ( J 
fLimfrs  K ) `  B
) `  <. P , 
( F  |`  B )
>. )  =  (
( J  fLimf  ( ( ( nei `  K
) `  { P } )t  B ) ) `  ( F  |`  B ) ) )
129105, 112, 1283sstr4d 3221 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top  /\  B  C_  A )  /\  ( A  C_  Y  /\  P  e.  ( ( cls `  K ) `  B ) )  /\  F  e.  ( X  ^m  A ) )  -> 
( ( ( J 
fLimfrs  K ) `  A
) `  <. P ,  F >. )  C_  (
( ( J  fLimfrs  K ) `  B ) `
 <. P ,  ( F  |`  B ) >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   {csn 3640   <.cop 3643   U.cuni 3827   `'ccnv 4688    |` cres 4691   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   ↾t crest 13325   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   clsccl 16755   neicnei 16834   Filcfil 17540    fLimf cflf 17630    fLimfrs cflimfrs 25578
This theorem is referenced by:  islimrs4  25582
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-rest 13327  df-top 16636  df-topon 16639  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-flimfrs 25579
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