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Theorem islindf4 27308
Description: A family is independent iff it has no nontrivial representations of zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islindf4.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
islindf4.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
islindf4.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
islindf4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
islindf4.y  |-  Y  =  ( 0g `  R
)
islindf4.l  |-  L  =  ( Base `  ( R freeLMod  I ) )
Assertion
Ref Expression
islindf4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  W  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  x  =  ( I  X.  { Y } ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, F    x, I    x, L    x, R    x,  .x.    x, W    x, X    x, Y    x,  .0.

Proof of Theorem islindf4
Dummy variables  j 
k  l  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raldifsni 26753 . . . . 5  |-  ( A. l  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } )  -.  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  A. l  e.  ( Base `  R
) ( ( ( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  ->  l  =  Y ) )
2 simpll1 994 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  W  e.  LMod )
3 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  l  e.  ( Base `  R
) )
4 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : I --> B  /\  j  e.  I )  ->  ( F `  j
)  e.  B )
543ad2antl3 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( F `  j )  e.  B
)
65adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( F `  j )  e.  B )
7 islindf4.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  B  =  ( Base `  W
)
8 islindf4.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  R  =  (Scalar `  W )
9 islindf4.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .x.  =  ( .s `  W )
10 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( inv g `  W )  =  ( inv g `  W )
11 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( inv g `  R )  =  ( inv g `  R )
12 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
137, 8, 9, 10, 11, 12lmodvsinv 15793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  l  e.  ( Base `  R
)  /\  ( F `  j )  e.  B
)  ->  ( (
( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( ( inv g `  W ) `  (
l  .x.  ( F `  j ) ) ) )
142, 3, 6, 13syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( ( inv g `  W ) `  (
l  .x.  ( F `  j ) ) ) )
1514eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  <->  ( ( inv g `  W ) `
 ( l  .x.  ( F `  j ) ) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ) )
16 lmodgrp 15634 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
172, 16syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  W  e.  Grp )
187, 8, 9, 12lmodvscl 15644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  l  e.  ( Base `  R
)  /\  ( F `  j )  e.  B
)  ->  ( l  .x.  ( F `  j
) )  e.  B
)
192, 3, 6, 18syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
l  .x.  ( F `  j ) )  e.  B )
20 islindf4.z . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
21 lmodcmn 15673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. CMnd
)
222, 21syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  W  e. CMnd )
23 simpll2 995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  I  e.  X )
24 difexg 4162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( I  e.  X  ->  (
I  \  { j } )  e.  _V )
2523, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
I  \  { j } )  e.  _V )
26 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )
27 elmapi 6792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  (
I  \  { j } ) )  -> 
y : ( I 
\  { j } ) --> ( Base `  R
) )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  y : ( I  \  { j } ) --> ( Base `  R
) )
29 simpll3 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  F : I --> B )
30 difss 3303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( I 
\  { j } )  C_  I
31 fssres 5408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : I --> B  /\  ( I  \  { j } )  C_  I
)  ->  ( F  |`  ( I  \  {
j } ) ) : ( I  \  { j } ) --> B )
3229, 30, 31sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) : ( I 
\  { j } ) --> B )
338, 12, 9, 7, 2, 28, 32, 25lcomf 26767 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
y  o F  .x.  ( F  |`  ( I 
\  { j } ) ) ) : ( I  \  {
j } ) --> B )
34 islindf4.y . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Y  =  ( 0g `  R
)
35 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin )
368, 12, 9, 7, 2, 28, 32, 25, 20, 34, 35lcomfsup 26768 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( `' ( y  o F  .x.  ( F  |`  ( I  \  {
j } ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
377, 20, 22, 25, 33, 36gsumcl 15198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  e.  B )
38 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
397, 38, 20, 10grpinvid2 14531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( l  .x.  ( F `  j )
)  e.  B  /\  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  e.  B )  ->  ( ( ( inv g `  W
) `  ( l  .x.  ( F `  j
) ) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  <->  ( ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ( +g  `  W
) ( l  .x.  ( F `  j ) ) )  =  .0.  ) )
4017, 19, 37, 39syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( inv g `  W ) `  (
l  .x.  ( F `  j ) ) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  <->  ( ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ( +g  `  W
) ( l  .x.  ( F `  j ) ) )  =  .0.  ) )
41 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  j  e.  I )
42 fsnunf2 5719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y : ( I 
\  { j } ) --> ( Base `  R
)  /\  j  e.  I  /\  l  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( y  u.  { <. j ,  l
>. } ) : I --> ( Base `  R
) )
4328, 41, 3, 42syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
y  u.  { <. j ,  l >. } ) : I --> ( Base `  R ) )
448, 12, 9, 7, 2, 43, 29, 23lcomf 26767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F 
.x.  F ) : I --> B )
45 funsnfsup 26762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( `' ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  <->  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin )
4645biimpri 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  ->  ( `' ( y  u.  { <. j ,  l >. } )
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin )
4746ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( `' ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin )
488, 12, 9, 7, 2, 43, 29, 23, 20, 34, 47lcomfsup 26768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( `' ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
49 incom 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( I  \  { j } )  i^i  {
j } )  =  ( { j }  i^i  ( I  \  { j } ) )
50 disjdif 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { j }  i^i  (
I  \  { j } ) )  =  (/)
5149, 50eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  \  { j } )  i^i  {
j } )  =  (/)
5251a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( I  \  {
j } )  i^i 
{ j } )  =  (/) )
53 difsnid 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  I  ->  (
( I  \  {
j } )  u. 
{ j } )  =  I )
5453eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  I  ->  I  =  ( ( I 
\  { j } )  u.  { j } ) )
5541, 54syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  I  =  ( ( I 
\  { j } )  u.  { j } ) )
567, 20, 38, 22, 23, 44, 48, 52, 55gsumsplit 15207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F ) )  =  ( ( W 
gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
)  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ( +g  `  W ) ( W 
gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
)  |`  { j } ) ) ) )
57 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  y  e. 
_V
58 snex 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { <. j ,  l >. }  e.  _V
5957, 58unex 4518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  e.  _V
60 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  F :
I --> B )
61 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  I  e.  X )
62 fex 5749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F : I --> B  /\  I  e.  X )  ->  F  e.  _V )
6360, 61, 62syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  F  e.  _V )
6463adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  F  e.  _V )
65 offres 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  e.  _V  /\  F  e.  _V )  ->  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
)  |`  ( I  \  { j } ) )  =  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  |`  (
I  \  { j } ) )  o F  .x.  ( F  |`  ( I  \  {
j } ) ) ) )
6659, 64, 65sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F )  |`  ( I  \  { j } ) )  =  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  |`  ( I  \  {
j } ) )  o F  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )
67 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y : ( I  \  { j } ) --> ( Base `  R
)  ->  y  Fn  ( I  \  { j } ) )
6828, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  y  Fn  ( I  \  {
j } ) )
69 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  j  e. 
_V
7069snid 3667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  j  e. 
{ j }
71 elndif 3300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  { j }  ->  -.  j  e.  ( I  \  { j } ) )
7270, 71ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -.  j  e.  ( I  \  {
j } )
73 fsnunres 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  Fn  ( I 
\  { j } )  /\  -.  j  e.  ( I  \  {
j } ) )  ->  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  |`  ( I  \  {
j } ) )  =  y )
7468, 72, 73sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } )  |`  (
I  \  { j } ) )  =  y )
7574oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  |`  (
I  \  { j } ) )  o F  .x.  ( F  |`  ( I  \  {
j } ) ) )  =  ( y  o F  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )
7666, 75eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F )  |`  ( I  \  { j } ) )  =  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )
7776oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( W  gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
)  |`  ( I  \  { j } ) ) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )
78 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F 
.x.  F ) : I --> B  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F 
.x.  F )  Fn  I )
7944, 78syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F 
.x.  F )  Fn  I )
80 fnressn 5705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F )  Fn  I  /\  j  e.  I )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F )  |`  { j } )  =  { <. j ,  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) `  j ) >. } )
8179, 41, 80syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F )  |`  { j } )  =  { <. j ,  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) `  j ) >. } )
82 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) : I --> ( Base `  R )  ->  (
y  u.  { <. j ,  l >. } )  Fn  I )
8343, 82syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
y  u.  { <. j ,  l >. } )  Fn  I )
84 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( F : I --> B  ->  F  Fn  I )
8529, 84syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  F  Fn  I )
86 fnfvof 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  Fn  I  /\  F  Fn  I
)  /\  ( I  e.  X  /\  j  e.  I ) )  -> 
( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) `  j )  =  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `
 j )  .x.  ( F `  j ) ) )
8783, 85, 23, 41, 86syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F ) `  j )  =  ( ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  .x.  ( F `  j ) ) )
88 fndm 5343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  Fn  ( I  \  { j } )  ->  dom  y  =  ( I  \  { j } ) )
8988eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  Fn  ( I  \  { j } )  ->  ( j  e. 
dom  y  <->  j  e.  ( I  \  { j } ) ) )
9072, 89mtbiri 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  Fn  ( I  \  { j } )  ->  -.  j  e.  dom  y )
91 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  l  e. 
_V
92 fsnunfv 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( j  e.  _V  /\  l  e.  _V  /\  -.  j  e.  dom  y )  ->  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `
 j )  =  l )
9369, 91, 92mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  j  e.  dom  y  ->  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  =  l )
9468, 90, 933syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  l )
9594oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( l  .x.  ( F `  j )
) )
9687, 95eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F ) `  j )  =  ( l  .x.  ( F `
 j ) ) )
9796opeq2d 3803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  <. j ,  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) `  j ) >.  =  <. j ,  ( l  .x.  ( F `
 j ) )
>. )
9897sneqd 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  { <. j ,  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) `  j ) >. }  =  { <. j ,  ( l  .x.  ( F `  j ) ) >. } )
99 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( l 
.x.  ( F `  j ) )  e. 
_V
100 fmptsn 5709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  _V  /\  ( l  .x.  ( F `  j )
)  e.  _V )  ->  { <. j ,  ( l  .x.  ( F `
 j ) )
>. }  =  ( x  e.  { j } 
|->  ( l  .x.  ( F `  j )
) ) )
10169, 99, 100mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { <. j ,  ( l  .x.  ( F `  j ) ) >. }  =  ( x  e.  { j }  |->  ( l  .x.  ( F `  j ) ) )
102101a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  { <. j ,  ( l  .x.  ( F `  j ) ) >. }  =  ( x  e.  { j }  |->  ( l  .x.  ( F `  j ) ) ) )
10381, 98, 1023eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F )  |`  { j } )  =  ( x  e. 
{ j }  |->  ( l  .x.  ( F `
 j ) ) ) )
104103oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( W  gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
)  |`  { j } ) )  =  ( W  gsumg  ( x  e.  {
j }  |->  ( l 
.x.  ( F `  j ) ) ) ) )
105 cmnmnd 15104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( W  e. CMnd  ->  W  e.  Mnd )
10622, 105syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  W  e.  Mnd )
10769a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  j  e.  _V )
108 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  j  ->  (
l  .x.  ( F `  j ) )  =  ( l  .x.  ( F `  j )
) )
1097, 108gsumsn 15220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e.  Mnd  /\  j  e.  _V  /\  (
l  .x.  ( F `  j ) )  e.  B )  ->  ( W  gsumg  ( x  e.  {
j }  |->  ( l 
.x.  ( F `  j ) ) ) )  =  ( l 
.x.  ( F `  j ) ) )
110106, 107, 19, 109syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( W  gsumg  ( x  e.  {
j }  |->  ( l 
.x.  ( F `  j ) ) ) )  =  ( l 
.x.  ( F `  j ) ) )
111104, 110eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( W  gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
)  |`  { j } ) )  =  ( l  .x.  ( F `
 j ) ) )
11277, 111oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( W  gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
)  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ( +g  `  W ) ( W 
gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
)  |`  { j } ) ) )  =  ( ( W  gsumg  ( y  o F  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ( +g  `  W ) ( l  .x.  ( F `  j )
) ) )
11356, 112eqtr2d 2316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ( +g  `  W
) ( l  .x.  ( F `  j ) ) )  =  ( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F ) ) )
114113eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( W  gsumg  ( y  o F  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ( +g  `  W ) ( l  .x.  ( F `  j )
) )  =  .0.  <->  ( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ) )
11515, 40, 1143bitrd 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  <->  ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) )  =  .0.  ) )
11694eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  l  =  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `
 j ) )
117116eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
l  =  Y  <->  ( (
y  u.  { <. j ,  l >. } ) `
 j )  =  Y ) )
118115, 117imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( ( ( inv g `  R
) `  l )  .x.  ( F `  j
) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  ( ( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) ) )
119118anassrs 629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  /\  j  e.  I )  /\  ( l  e.  (
Base `  R )  /\  y  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( I  \  {
j } ) ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin )  ->  ( ( ( ( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  ( ( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) ) )
120119pm5.74da 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( l  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ) )  -> 
( ( ( `' y " ( _V 
\  { Y }
) )  e.  Fin  ->  ( ( ( ( inv g `  R
) `  l )  .x.  ( F `  j
) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  ->  l  =  Y ) )  <->  ( ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  ->  ( ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
121 impexp 433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( `' y
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin  /\  (
( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  ( ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  ->  ( ( ( ( inv g `  R
) `  l )  .x.  ( F `  j
) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  ->  l  =  Y ) ) )
12245imbi1i 315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' ( y  u.  { <. j ,  l >. } )
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin  ->  (
( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) )  <->  ( ( `' y " ( _V 
\  { Y }
) )  e.  Fin  ->  ( ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  =  Y ) ) )
123120, 121, 1223bitr4g 279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( l  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ) )  -> 
( ( ( ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  /\  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  ( ( `' ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  ->  ( ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
1241232ralbidva 2583 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. l  e.  ( Base `  R ) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  /\  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  A. l  e.  ( Base `  R
) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( `' ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  ->  ( ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
125 cnveq 4855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  `' x  =  `' (
y  u.  { <. j ,  l >. } ) )
126125imaeq1d 5011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  ( `' x " ( _V 
\  { Y }
) )  =  ( `' ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) " ( _V  \  { Y }
) ) )
127126eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
( `' x "
( _V  \  { Y } ) )  e. 
Fin 
<->  ( `' ( y  u.  { <. j ,  l >. } )
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin ) )
128 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
x  o F  .x.  F )  =  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F 
.x.  F ) )
129128oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  ( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) ) )
130129eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  <->  ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ) )
131 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
x `  j )  =  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `
 j ) )
132131eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
( x `  j
)  =  Y  <->  ( (
y  u.  { <. j ,  l >. } ) `
 j )  =  Y ) )
133130, 132imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
( ( W  gsumg  ( x  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  Y )  <-> 
( ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  =  Y ) ) )
134127, 133imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
( ( `' x " ( _V  \  { Y } ) )  e. 
Fin  ->  ( ( W 
gsumg  ( x  o F  .x.  F ) )  =  .0.  ->  ( x `  j )  =  Y ) )  <->  ( ( `' ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  ->  ( ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
135134ralxpmap 26761 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  I  ->  ( A. x  e.  (
( Base `  R )  ^m  I ) ( ( `' x " ( _V 
\  { Y }
) )  e.  Fin  ->  ( ( W  gsumg  ( x  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  Y ) )  <->  A. l  e.  (
Base `  R ) A. y  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( I  \  {
j } ) ) ( ( `' ( y  u.  { <. j ,  l >. } )
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin  ->  (
( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
136135adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. x  e.  ( ( Base `  R )  ^m  I ) ( ( `' x " ( _V 
\  { Y }
) )  e.  Fin  ->  ( ( W  gsumg  ( x  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  Y ) )  <->  A. l  e.  (
Base `  R ) A. y  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( I  \  {
j } ) ) ( ( `' ( y  u.  { <. j ,  l >. } )
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin  ->  (
( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
137124, 136bitr4d 247 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. l  e.  ( Base `  R ) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  /\  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  A. x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )
( ( `' x " ( _V  \  { Y } ) )  e. 
Fin  ->  ( ( W 
gsumg  ( x  o F  .x.  F ) )  =  .0.  ->  ( x `  j )  =  Y ) ) ) )
138 cnveq 4855 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  `' z  =  `' x
)
139138imaeq1d 5011 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  ( `' z " ( _V  \  { Y }
) )  =  ( `' x " ( _V 
\  { Y }
) ) )
140139eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
( `' z "
( _V  \  { Y } ) )  e. 
Fin 
<->  ( `' x "
( _V  \  { Y } ) )  e. 
Fin ) )
141140ralrab 2927 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' z
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin }  (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y )  <->  A. x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )
( ( `' x " ( _V  \  { Y } ) )  e. 
Fin  ->  ( ( W 
gsumg  ( x  o F  .x.  F ) )  =  .0.  ->  ( x `  j )  =  Y ) ) )
142137, 141syl6bbr 254 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. l  e.  ( Base `  R ) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  /\  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  A. x  e.  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' z
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin }  (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) ) )
143 resima 4987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) " ( I 
\  { j } ) )  =  ( F " ( I 
\  { j } ) )
144143eqcomi 2287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" ( I  \  { j } ) )  =  ( ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) " ( I 
\  { j } ) )
145144fveq2i 5528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  =  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) " ( I 
\  { j } ) ) )
146145eleq2i 2347 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  <->  ( ( ( inv g `  R
) `  l )  .x.  ( F `  j
) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) "
( I  \  {
j } ) ) ) )
147 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
14860, 30, 31sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( F  |`  ( I  \  {
j } ) ) : ( I  \  { j } ) --> B )
149 simpl1 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  W  e.  LMod )
150243ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( I  \  {
j } )  e. 
_V )
151150adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( I  \  { j } )  e.  _V )
152147, 7, 12, 8, 34, 9, 148, 149, 151ellspd 27254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( (
( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  E. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( `' y " ( _V 
\  { Y }
) )  e.  Fin  /\  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ) ) )
153146, 152syl5bb 248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( (
( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  <->  E. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( `' y " ( _V 
\  { Y }
) )  e.  Fin  /\  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ) ) )
154153imbi1d 308 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( (
( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  -> 
l  =  Y )  <-> 
( E. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( `' y " ( _V 
\  { Y }
) )  e.  Fin  /\  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y ) ) )
155 r19.23v 2659 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( ( `' y
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin  /\  (
( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  ( E. y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( `' y "
( _V  \  { Y } ) )  e. 
Fin  /\  ( (
( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y ) )
156154, 155syl6bbr 254 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( (
( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  -> 
l  =  Y )  <->  A. y  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( I  \  {
j } ) ) ( ( ( `' y " ( _V 
\  { Y }
) )  e.  Fin  /\  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y ) ) )
157156ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. l  e.  ( Base `  R ) ( ( ( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  A. l  e.  ( Base `  R
) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  /\  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y ) ) )
158 fvex 5539 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Scalar `  W )  e.  _V
1598, 158eqeltri 2353 . . . . . . . . . . 11  |-  R  e. 
_V
160 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R freeLMod  I )  =  ( R freeLMod  I )
161 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z  e.  ( ( Base `  R )  ^m  I
)  |  ( `' z " ( _V 
\  { Y }
) )  e.  Fin }  =  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' z
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin }
162160, 12, 34, 161frlmbas 27223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  _V  /\  I  e.  X )  ->  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' z
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin }  =  ( Base `  ( R freeLMod  I ) ) )
163159, 162mpan 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  X  ->  { z  e.  ( ( Base `  R )  ^m  I
)  |  ( `' z " ( _V 
\  { Y }
) )  e.  Fin }  =  ( Base `  ( R freeLMod  I ) ) )
1641633ad2ant2 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  ->  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' z
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin }  =  ( Base `  ( R freeLMod  I ) ) )
165164adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' z
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin }  =  ( Base `  ( R freeLMod  I ) ) )
166 islindf4.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( Base `  ( R freeLMod  I ) )
167165, 166syl6reqr 2334 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  L  =  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' z
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin } )
168167raleqdv 2742 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. x  e.  L  (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y )  <->  A. x  e.  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' z
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin }  (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) ) )
169142, 157, 1683bitr4d 276 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. l  e.  ( Base `  R ) ( ( ( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) ) )
1701, 169syl5bb 248 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. l  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } )  -.  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) ) )
1718lmodfgrp 15636 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
17212, 34, 11grpinvnzcl 14540 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  l  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } ) )  ->  ( ( inv g `  R ) `
 l )  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )
173171, 172sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  l  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )  -> 
( ( inv g `  R ) `  l
)  e.  ( (
Base `  R )  \  { Y } ) )
17412, 34, 11grpinvnzcl 14540 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  k  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } ) )  ->  ( ( inv g `  R ) `
 k )  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )
175171, 174sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )  -> 
( ( inv g `  R ) `  k
)  e.  ( (
Base `  R )  \  { Y } ) )
176 eldifi 3298 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } )  ->  k  e.  ( Base `  R
) )
17712, 11grpinvinv 14535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  k  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( inv g `  R ) `  (
( inv g `  R ) `  k
) )  =  k )
178171, 176, 177syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )  -> 
( ( inv g `  R ) `  (
( inv g `  R ) `  k
) )  =  k )
179178eqcomd 2288 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )  -> 
k  =  ( ( inv g `  R
) `  ( ( inv g `  R ) `
 k ) ) )
180 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  ( ( inv g `  R ) `
 k )  -> 
( ( inv g `  R ) `  l
)  =  ( ( inv g `  R
) `  ( ( inv g `  R ) `
 k ) ) )
181180eqeq2d 2294 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  ( ( inv g `  R ) `
 k )  -> 
( k  =  ( ( inv g `  R ) `  l
)  <->  k  =  ( ( inv g `  R ) `  (
( inv g `  R ) `  k
) ) ) )
182181rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( inv g `  R ) `  k
)  e.  ( (
Base `  R )  \  { Y } )  /\  k  =  ( ( inv g `  R ) `  (
( inv g `  R ) `  k
) ) )  ->  E. l  e.  (
( Base `  R )  \  { Y } ) k  =  ( ( inv g `  R
) `  l )
)
183175, 179, 182syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )  ->  E. l  e.  (
( Base `  R )  \  { Y } ) k  =  ( ( inv g `  R
) `  l )
)
184 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( ( inv g `  R ) `
 l )  -> 
( k  .x.  ( F `  j )
)  =  ( ( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) ) )
185184eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( ( inv g `  R ) `
 l )  -> 
( ( k  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  ( (
( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
186185notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( ( inv g `  R ) `
 l )  -> 
( -.  ( k 
.x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  <->  -.  ( (
( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
187186adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  k  =  ( ( inv g `  R ) `
 l ) )  ->  ( -.  (
k  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  <->  -.  ( (
( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
188173, 183, 187ralxfrd 4548 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( A. k  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } )  -.  ( k  .x.  ( F `  j )
)  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  A. l  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } )  -.  (
( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
1891883ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( A. k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } )  -.  (
k  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  <->  A. l  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } )  -.  (
( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
190189adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. k  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } )  -.  ( k  .x.  ( F `  j )
)  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  A. l  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } )  -.  (
( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
191 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  x  e.  L )  ->  j  e.  I )
192 fvex 5539 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
19334, 192eqeltri 2353 . . . . . . . . 9  |-  Y  e. 
_V
194193fvconst2 5729 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  I  ->  (
( I  X.  { Y } ) `  j
)  =  Y )
195191, 194syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  x  e.  L )  ->  (
( I  X.  { Y } ) `  j
)  =  Y )
196195eqeq2d 2294 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  x  e.  L )  ->  (
( x `  j
)  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
)  <->  ( x `  j )  =  Y ) )
197196imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  x  e.  L )  ->  (
( ( W  gsumg  ( x  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) )  <->  ( ( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) ) )
198197ralbidva 2559 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. x  e.  L  (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
)  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  Y ) ) )
199170, 190, 1983bitr4d 276 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. k  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } )  -.  ( k  .x.  ( F `  j )
)  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
) ) )
200199ralbidva 2559 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( A. j  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } )  -.  (
k  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  <->  A. j  e.  I  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) ) )
2017, 9, 147, 8, 12, 34islindf2 27284 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  W  <->  A. j  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } )  -.  (
k  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
202160, 12, 166frlmbasf 27228 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  X  /\  x  e.  L )  ->  x : I --> ( Base `  R ) )
2032023ad2antl2 1118 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  x  e.  L
)  ->  x :
I --> ( Base `  R
) )
204 ffn 5389 . . . . . . 7  |-  ( x : I --> ( Base `  R )  ->  x  Fn  I )
205203, 204syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  x  e.  L
)  ->  x  Fn  I )
206 fnconstg 5429 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  _V  ->  (
I  X.  { Y } )  Fn  I
)
207193, 206ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( I  X.  { Y }
)  Fn  I
208 eqfnfv 5622 . . . . . 6  |-  ( ( x  Fn  I  /\  ( I  X.  { Y } )  Fn  I
)  ->  ( x  =  ( I  X.  { Y } )  <->  A. j  e.  I  ( x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) )
209205, 207, 208sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  x  e.  L
)  ->  ( x  =  ( I  X.  { Y } )  <->  A. j  e.  I  ( x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) )
210209imbi2d 307 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  x  e.  L
)  ->  ( (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  x  =  ( I  X.  { Y } ) )  <-> 
( ( W  gsumg  ( x  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  A. j  e.  I 
( x `  j
)  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) ) )
211210ralbidva 2559 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( A. x  e.  L  ( ( W 
gsumg  ( x  o F  .x.  F ) )  =  .0.  ->  x  =  ( I  X.  { Y } ) )  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  A. j  e.  I  ( x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) ) )
212 r19.21v 2630 . . . . 5  |-  ( A. j  e.  I  (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
)  <->  ( ( W 
gsumg  ( x  o F  .x.  F ) )  =  .0.  ->  A. j  e.  I  ( x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) )
213212ralbii 2567 . . . 4  |-  ( A. x  e.  L  A. j  e.  I  (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
)  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  A. j  e.  I 
( x `  j
)  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) )
214 ralcom 2700 . . . 4  |-  ( A. x  e.  L  A. j  e.  I  (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
)  <->  A. j  e.  I  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) )
215213, 214bitr3i 242 . . 3  |-  ( A. x  e.  L  (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  A. j  e.  I  ( x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) )  <->  A. j  e.  I  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
) )
216211, 215syl6bb 252 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( A. x  e.  L  ( ( W 
gsumg  ( x  o F  .x.  F ) )  =  .0.  ->  x  =  ( I  X.  { Y } ) )  <->  A. j  e.  I  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
) ) )
217200, 201, 2163bitr4d 276 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  W  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  x  =  ( I  X.  { Y } ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   <.cop 3643   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   dom cdm 4689    |` cres 4691   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   Basecbs 13148   +g cplusg 13208  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401   Mndcmnd 14361   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363  CMndccmn 15089   LModclmod 15627   LSpanclspn 15728   freeLMod cfrlm 27212   LIndF clindf 27274
This theorem is referenced by:  islindf5  27309
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-pws 13350  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lmhm 15779  df-lbs 15828  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-nzr 16010  df-dsmm 27198  df-frlm 27214  df-uvc 27215  df-lindf 27276
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