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Theorem islindf4 26631
Description: A family is independent iff it has no nontrivial representations of zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islindf4.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
islindf4.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
islindf4.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
islindf4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
islindf4.y  |-  Y  =  ( 0g `  R
)
islindf4.l  |-  L  =  ( Base `  ( R freeLMod  I ) )
Assertion
Ref Expression
islindf4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  W  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  x  =  ( I  X.  { Y } ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, F    x, I    x, L    x, R    x,  .x.    x, W    x, X    x, Y    x,  .0.

Proof of Theorem islindf4
Dummy variables  j 
k  l  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raldifsni 26076 . . . . 5  |-  ( A. l  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } )  -.  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  A. l  e.  ( Base `  R
) ( ( ( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  ->  l  =  Y ) )
2 simpll1 994 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  W  e.  LMod )
3 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  l  e.  ( Base `  R
) )
4 ffvelrn 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : I --> B  /\  j  e.  I )  ->  ( F `  j
)  e.  B )
543ad2antl3 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( F `  j )  e.  B
)
65adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( F `  j )  e.  B )
7 islindf4.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  B  =  ( Base `  W
)
8 islindf4.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  R  =  (Scalar `  W )
9 islindf4.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .x.  =  ( .s `  W )
10 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( inv g `  W )  =  ( inv g `  W )
11 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( inv g `  R )  =  ( inv g `  R )
12 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
137, 8, 9, 10, 11, 12lmodvsinv 15892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  l  e.  ( Base `  R
)  /\  ( F `  j )  e.  B
)  ->  ( (
( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( ( inv g `  W ) `  (
l  .x.  ( F `  j ) ) ) )
142, 3, 6, 13syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( ( inv g `  W ) `  (
l  .x.  ( F `  j ) ) ) )
1514eqeq1d 2366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  <->  ( ( inv g `  W ) `
 ( l  .x.  ( F `  j ) ) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ) )
16 lmodgrp 15733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
172, 16syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  W  e.  Grp )
187, 8, 9, 12lmodvscl 15743 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  l  e.  ( Base `  R
)  /\  ( F `  j )  e.  B
)  ->  ( l  .x.  ( F `  j
) )  e.  B
)
192, 3, 6, 18syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
l  .x.  ( F `  j ) )  e.  B )
20 islindf4.z . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
21 lmodcmn 15772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. CMnd
)
222, 21syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  W  e. CMnd )
23 simpll2 995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  I  e.  X )
24 difexg 4243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( I  e.  X  ->  (
I  \  { j } )  e.  _V )
2523, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
I  \  { j } )  e.  _V )
26 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )
27 elmapi 6880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  (
I  \  { j } ) )  -> 
y : ( I 
\  { j } ) --> ( Base `  R
) )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  y : ( I  \  { j } ) --> ( Base `  R
) )
29 simpll3 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  F : I --> B )
30 difss 3379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( I 
\  { j } )  C_  I
31 fssres 5491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : I --> B  /\  ( I  \  { j } )  C_  I
)  ->  ( F  |`  ( I  \  {
j } ) ) : ( I  \  { j } ) --> B )
3229, 30, 31sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) : ( I 
\  { j } ) --> B )
338, 12, 9, 7, 2, 28, 32, 25lcomf 26090 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
y  o F  .x.  ( F  |`  ( I 
\  { j } ) ) ) : ( I  \  {
j } ) --> B )
34 islindf4.y . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Y  =  ( 0g `  R
)
35 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin )
368, 12, 9, 7, 2, 28, 32, 25, 20, 34, 35lcomfsup 26091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( `' ( y  o F  .x.  ( F  |`  ( I  \  {
j } ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
377, 20, 22, 25, 33, 36gsumcl 15297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  e.  B )
38 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
397, 38, 20, 10grpinvid2 14630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( l  .x.  ( F `  j )
)  e.  B  /\  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  e.  B )  ->  ( ( ( inv g `  W
) `  ( l  .x.  ( F `  j
) ) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  <->  ( ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ( +g  `  W
) ( l  .x.  ( F `  j ) ) )  =  .0.  ) )
4017, 19, 37, 39syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( inv g `  W ) `  (
l  .x.  ( F `  j ) ) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  <->  ( ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ( +g  `  W
) ( l  .x.  ( F `  j ) ) )  =  .0.  ) )
41 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  j  e.  I )
42 fsnunf2 5803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y : ( I 
\  { j } ) --> ( Base `  R
)  /\  j  e.  I  /\  l  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( y  u.  { <. j ,  l
>. } ) : I --> ( Base `  R
) )
4328, 41, 3, 42syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
y  u.  { <. j ,  l >. } ) : I --> ( Base `  R ) )
448, 12, 9, 7, 2, 43, 29, 23lcomf 26090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F 
.x.  F ) : I --> B )
45 funsnfsup 26085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( `' ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  <->  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin )
4645biimpri 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  ->  ( `' ( y  u.  { <. j ,  l >. } )
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin )
4746ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( `' ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin )
488, 12, 9, 7, 2, 43, 29, 23, 20, 34, 47lcomfsup 26091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( `' ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
49 incom 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( I  \  { j } )  i^i  {
j } )  =  ( { j }  i^i  ( I  \  { j } ) )
50 disjdif 3602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { j }  i^i  (
I  \  { j } ) )  =  (/)
5149, 50eqtri 2378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  \  { j } )  i^i  {
j } )  =  (/)
5251a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( I  \  {
j } )  i^i 
{ j } )  =  (/) )
53 difsnid 3840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  I  ->  (
( I  \  {
j } )  u. 
{ j } )  =  I )
5453eqcomd 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  I  ->  I  =  ( ( I 
\  { j } )  u.  { j } ) )
5541, 54syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  I  =  ( ( I 
\  { j } )  u.  { j } ) )
567, 20, 38, 22, 23, 44, 48, 52, 55gsumsplit 15306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F ) )  =  ( ( W 
gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
)  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ( +g  `  W ) ( W 
gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
)  |`  { j } ) ) ) )
57 vex 2867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  y  e. 
_V
58 snex 4297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { <. j ,  l >. }  e.  _V
5957, 58unex 4600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  e.  _V
60 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  F :
I --> B )
61 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  I  e.  X )
62 fex 5835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F : I --> B  /\  I  e.  X )  ->  F  e.  _V )
6360, 61, 62syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  F  e.  _V )
6463adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  F  e.  _V )
65 offres 6179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  e.  _V  /\  F  e.  _V )  ->  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
)  |`  ( I  \  { j } ) )  =  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  |`  (
I  \  { j } ) )  o F  .x.  ( F  |`  ( I  \  {
j } ) ) ) )
6659, 64, 65sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F )  |`  ( I  \  { j } ) )  =  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  |`  ( I  \  {
j } ) )  o F  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )
67 ffn 5472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y : ( I  \  { j } ) --> ( Base `  R
)  ->  y  Fn  ( I  \  { j } ) )
6828, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  y  Fn  ( I  \  {
j } ) )
69 vex 2867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  j  e. 
_V
7069snid 3743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  j  e. 
{ j }
71 elndif 3376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  { j }  ->  -.  j  e.  ( I  \  { j } ) )
7270, 71ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -.  j  e.  ( I  \  {
j } )
73 fsnunres 5805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  Fn  ( I 
\  { j } )  /\  -.  j  e.  ( I  \  {
j } ) )  ->  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  |`  ( I  \  {
j } ) )  =  y )
7468, 72, 73sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } )  |`  (
I  \  { j } ) )  =  y )
7574oveq1d 5960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  |`  (
I  \  { j } ) )  o F  .x.  ( F  |`  ( I  \  {
j } ) ) )  =  ( y  o F  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )
7666, 75eqtrd 2390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F )  |`  ( I  \  { j } ) )  =  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )
7776oveq2d 5961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( W  gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
)  |`  ( I  \  { j } ) ) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )
78 ffn 5472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F 
.x.  F ) : I --> B  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F 
.x.  F )  Fn  I )
7944, 78syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F 
.x.  F )  Fn  I )
80 fnressn 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F )  Fn  I  /\  j  e.  I )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F )  |`  { j } )  =  { <. j ,  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) `  j ) >. } )
8179, 41, 80syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F )  |`  { j } )  =  { <. j ,  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) `  j ) >. } )
82 ffn 5472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) : I --> ( Base `  R )  ->  (
y  u.  { <. j ,  l >. } )  Fn  I )
8343, 82syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
y  u.  { <. j ,  l >. } )  Fn  I )
84 ffn 5472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( F : I --> B  ->  F  Fn  I )
8529, 84syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  F  Fn  I )
86 fnfvof 6177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  Fn  I  /\  F  Fn  I
)  /\  ( I  e.  X  /\  j  e.  I ) )  -> 
( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) `  j )  =  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `
 j )  .x.  ( F `  j ) ) )
8783, 85, 23, 41, 86syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F ) `  j )  =  ( ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  .x.  ( F `  j ) ) )
88 fndm 5425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  Fn  ( I  \  { j } )  ->  dom  y  =  ( I  \  { j } ) )
8988eleq2d 2425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  Fn  ( I  \  { j } )  ->  ( j  e. 
dom  y  <->  j  e.  ( I  \  { j } ) ) )
9072, 89mtbiri 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  Fn  ( I  \  { j } )  ->  -.  j  e.  dom  y )
91 vex 2867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  l  e. 
_V
92 fsnunfv 5804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( j  e.  _V  /\  l  e.  _V  /\  -.  j  e.  dom  y )  ->  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `
 j )  =  l )
9369, 91, 92mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  j  e.  dom  y  ->  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  =  l )
9468, 90, 933syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  l )
9594oveq1d 5960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( l  .x.  ( F `  j )
) )
9687, 95eqtrd 2390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F ) `  j )  =  ( l  .x.  ( F `
 j ) ) )
9796opeq2d 3884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  <. j ,  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) `  j ) >.  =  <. j ,  ( l  .x.  ( F `
 j ) )
>. )
9897sneqd 3729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  { <. j ,  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) `  j ) >. }  =  { <. j ,  ( l  .x.  ( F `  j ) ) >. } )
99 ovex 5970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( l 
.x.  ( F `  j ) )  e. 
_V
100 fmptsn 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  _V  /\  ( l  .x.  ( F `  j )
)  e.  _V )  ->  { <. j ,  ( l  .x.  ( F `
 j ) )
>. }  =  ( x  e.  { j } 
|->  ( l  .x.  ( F `  j )
) ) )
10169, 99, 100mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { <. j ,  ( l  .x.  ( F `  j ) ) >. }  =  ( x  e.  { j }  |->  ( l  .x.  ( F `  j ) ) )
102101a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  { <. j ,  ( l  .x.  ( F `  j ) ) >. }  =  ( x  e.  { j }  |->  ( l  .x.  ( F `  j ) ) ) )
10381, 98, 1023eqtrd 2394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F )  |`  { j } )  =  ( x  e. 
{ j }  |->  ( l  .x.  ( F `
 j ) ) ) )
104103oveq2d 5961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( W  gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
)  |`  { j } ) )  =  ( W  gsumg  ( x  e.  {
j }  |->  ( l 
.x.  ( F `  j ) ) ) ) )
105 cmnmnd 15203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( W  e. CMnd  ->  W  e.  Mnd )
10622, 105syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  W  e.  Mnd )
10769a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  j  e.  _V )
108 eqidd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  j  ->  (
l  .x.  ( F `  j ) )  =  ( l  .x.  ( F `  j )
) )
1097, 108gsumsn 15319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e.  Mnd  /\  j  e.  _V  /\  (
l  .x.  ( F `  j ) )  e.  B )  ->  ( W  gsumg  ( x  e.  {
j }  |->  ( l 
.x.  ( F `  j ) ) ) )  =  ( l 
.x.  ( F `  j ) ) )
110106, 107, 19, 109syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( W  gsumg  ( x  e.  {
j }  |->  ( l 
.x.  ( F `  j ) ) ) )  =  ( l 
.x.  ( F `  j ) ) )
111104, 110eqtrd 2390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( W  gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
)  |`  { j } ) )  =  ( l  .x.  ( F `
 j ) ) )
11277, 111oveq12d 5963 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( W  gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
)  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ( +g  `  W ) ( W 
gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
)  |`  { j } ) ) )  =  ( ( W  gsumg  ( y  o F  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ( +g  `  W ) ( l  .x.  ( F `  j )
) ) )
11356, 112eqtr2d 2391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ( +g  `  W
) ( l  .x.  ( F `  j ) ) )  =  ( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F ) ) )
114113eqeq1d 2366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( W  gsumg  ( y  o F  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ( +g  `  W ) ( l  .x.  ( F `  j )
) )  =  .0.  <->  ( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ) )
11515, 40, 1143bitrd 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  <->  ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) )  =  .0.  ) )
11694eqcomd 2363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  l  =  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `
 j ) )
117116eqeq1d 2366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
l  =  Y  <->  ( (
y  u.  { <. j ,  l >. } ) `
 j )  =  Y ) )
118115, 117imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( ( ( inv g `  R
) `  l )  .x.  ( F `  j
) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  ( ( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) ) )
119118anassrs 629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  /\  j  e.  I )  /\  ( l  e.  (
Base `  R )  /\  y  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( I  \  {
j } ) ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin )  ->  ( ( ( ( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  ( ( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) ) )
120119pm5.74da 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( l  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ) )  -> 
( ( ( `' y " ( _V 
\  { Y }
) )  e.  Fin  ->  ( ( ( ( inv g `  R
) `  l )  .x.  ( F `  j
) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  ->  l  =  Y ) )  <->  ( ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  ->  ( ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
121 impexp 433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( `' y
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin  /\  (
( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  ( ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  ->  ( ( ( ( inv g `  R
) `  l )  .x.  ( F `  j
) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  ->  l  =  Y ) ) )
12245imbi1i 315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' ( y  u.  { <. j ,  l >. } )
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin  ->  (
( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) )  <->  ( ( `' y " ( _V 
\  { Y }
) )  e.  Fin  ->  ( ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  =  Y ) ) )
123120, 121, 1223bitr4g 279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( l  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ) )  -> 
( ( ( ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  /\  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  ( ( `' ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  ->  ( ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
1241232ralbidva 2659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. l  e.  ( Base `  R ) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  /\  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  A. l  e.  ( Base `  R
) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( `' ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  ->  ( ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
125 cnveq 4937 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  `' x  =  `' (
y  u.  { <. j ,  l >. } ) )
126125imaeq1d 5093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  ( `' x " ( _V 
\  { Y }
) )  =  ( `' ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) " ( _V  \  { Y }
) ) )
127126eleq1d 2424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
( `' x "
( _V  \  { Y } ) )  e. 
Fin 
<->  ( `' ( y  u.  { <. j ,  l >. } )
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin ) )
128 oveq1 5952 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
x  o F  .x.  F )  =  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F 
.x.  F ) )
129128oveq2d 5961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  ( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) ) )
130129eqeq1d 2366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  <->  ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ) )
131 fveq1 5607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
x `  j )  =  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `
 j ) )
132131eqeq1d 2366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
( x `  j
)  =  Y  <->  ( (
y  u.  { <. j ,  l >. } ) `
 j )  =  Y ) )
133130, 132imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
( ( W  gsumg  ( x  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  Y )  <-> 
( ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  =  Y ) ) )
134127, 133imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
( ( `' x " ( _V  \  { Y } ) )  e. 
Fin  ->  ( ( W 
gsumg  ( x  o F  .x.  F ) )  =  .0.  ->  ( x `  j )  =  Y ) )  <->  ( ( `' ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  ->  ( ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
135134ralxpmap 26084 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  I  ->  ( A. x  e.  (
( Base `  R )  ^m  I ) ( ( `' x " ( _V 
\  { Y }
) )  e.  Fin  ->  ( ( W  gsumg  ( x  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  Y ) )  <->  A. l  e.  (
Base `  R ) A. y  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( I  \  {
j } ) ) ( ( `' ( y  u.  { <. j ,  l >. } )
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin  ->  (
( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
136135adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. x  e.  ( ( Base `  R )  ^m  I ) ( ( `' x " ( _V 
\  { Y }
) )  e.  Fin  ->  ( ( W  gsumg  ( x  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  Y ) )  <->  A. l  e.  (
Base `  R ) A. y  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( I  \  {
j } ) ) ( ( `' ( y  u.  { <. j ,  l >. } )
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin  ->  (
( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
137124, 136bitr4d 247 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. l  e.  ( Base `  R ) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  /\  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  A. x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )
( ( `' x " ( _V  \  { Y } ) )  e. 
Fin  ->  ( ( W 
gsumg  ( x  o F  .x.  F ) )  =  .0.  ->  ( x `  j )  =  Y ) ) ) )
138 cnveq 4937 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  `' z  =  `' x
)
139138imaeq1d 5093 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  ( `' z " ( _V  \  { Y }
) )  =  ( `' x " ( _V 
\  { Y }
) ) )
140139eleq1d 2424 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
( `' z "
( _V  \  { Y } ) )  e. 
Fin 
<->  ( `' x "
( _V  \  { Y } ) )  e. 
Fin ) )
141140ralrab 3003 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' z
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin }  (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y )  <->  A. x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )
( ( `' x " ( _V  \  { Y } ) )  e. 
Fin  ->  ( ( W 
gsumg  ( x  o F  .x.  F ) )  =  .0.  ->  ( x `  j )  =  Y ) ) )
142137, 141syl6bbr 254 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. l  e.  ( Base `  R ) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  /\  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  A. x  e.  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' z
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin }  (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) ) )
143 resima 5069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) " ( I 
\  { j } ) )  =  ( F " ( I 
\  { j } ) )
144143eqcomi 2362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" ( I  \  { j } ) )  =  ( ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) " ( I 
\  { j } ) )
145144fveq2i 5611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  =  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) " ( I 
\  { j } ) ) )
146145eleq2i 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  <->  ( ( ( inv g `  R
) `  l )  .x.  ( F `  j
) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) "
( I  \  {
j } ) ) ) )
147 eqid 2358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
14860, 30, 31sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( F  |`  ( I  \  {
j } ) ) : ( I  \  { j } ) --> B )
149 simpl1 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  W  e.  LMod )
150243ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( I  \  {
j } )  e. 
_V )
151150adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( I  \  { j } )  e.  _V )
152147, 7, 12, 8, 34, 9, 148, 149, 151ellspd 26577 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( (
( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  E. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( `' y " ( _V 
\  { Y }
) )  e.  Fin  /\  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ) ) )
153146, 152syl5bb 248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( (
( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  <->  E. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( `' y " ( _V 
\  { Y }
) )  e.  Fin  /\  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ) ) )
154153imbi1d 308 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( (
( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  -> 
l  =  Y )  <-> 
( E. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( `' y " ( _V 
\  { Y }
) )  e.  Fin  /\  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y ) ) )
155 r19.23v 2735 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( ( `' y
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin  /\  (
( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  ( E. y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( `' y "
( _V  \  { Y } ) )  e. 
Fin  /\  ( (
( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y ) )
156154, 155syl6bbr 254 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( (
( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  -> 
l  =  Y )  <->  A. y  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( I  \  {
j } ) ) ( ( ( `' y " ( _V 
\  { Y }
) )  e.  Fin  /\  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y ) ) )
157156ralbidv 2639 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. l  e.  ( Base `  R ) ( ( ( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  A. l  e.  ( Base `  R
) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  /\  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y ) ) )
158 fvex 5622 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Scalar `  W )  e.  _V
1598, 158eqeltri 2428 . . . . . . . . . . 11  |-  R  e. 
_V
160 eqid 2358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R freeLMod  I )  =  ( R freeLMod  I )
161 eqid 2358 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z  e.  ( ( Base `  R )  ^m  I
)  |  ( `' z " ( _V 
\  { Y }
) )  e.  Fin }  =  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' z
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin }
162160, 12, 34, 161frlmbas 26546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  _V  /\  I  e.  X )  ->  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' z
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin }  =  ( Base `  ( R freeLMod  I ) ) )
163159, 162mpan 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  X  ->  { z  e.  ( ( Base `  R )  ^m  I
)  |  ( `' z " ( _V 
\  { Y }
) )  e.  Fin }  =  ( Base `  ( R freeLMod  I ) ) )
1641633ad2ant2 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  ->  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' z
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin }  =  ( Base `  ( R freeLMod  I ) ) )
165164adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' z
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin }  =  ( Base `  ( R freeLMod  I ) ) )
166 islindf4.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( Base `  ( R freeLMod  I ) )
167165, 166syl6reqr 2409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  L  =  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' z
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin } )
168167raleqdv 2818 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. x  e.  L  (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y )  <->  A. x  e.  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' z
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin }  (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) ) )
169142, 157, 1683bitr4d 276 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. l  e.  ( Base `  R ) ( ( ( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) ) )
1701, 169syl5bb 248 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. l  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } )  -.  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) ) )
1718lmodfgrp 15735 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
17212, 34, 11grpinvnzcl 14639 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  l  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } ) )  ->  ( ( inv g `  R ) `
 l )  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )
173171, 172sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  l  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )  -> 
( ( inv g `  R ) `  l
)  e.  ( (
Base `  R )  \  { Y } ) )
17412, 34, 11grpinvnzcl 14639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  k  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } ) )  ->  ( ( inv g `  R ) `
 k )  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )
175171, 174sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )  -> 
( ( inv g `  R ) `  k
)  e.  ( (
Base `  R )  \  { Y } ) )
176 eldifi 3374 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } )  ->  k  e.  ( Base `  R
) )
17712, 11grpinvinv 14634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  k  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( inv g `  R ) `  (
( inv g `  R ) `  k
) )  =  k )
178171, 176, 177syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )  -> 
( ( inv g `  R ) `  (
( inv g `  R ) `  k
) )  =  k )
179178eqcomd 2363 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )  -> 
k  =  ( ( inv g `  R
) `  ( ( inv g `  R ) `
 k ) ) )
180 fveq2 5608 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  ( ( inv g `  R ) `
 k )  -> 
( ( inv g `  R ) `  l
)  =  ( ( inv g `  R
) `  ( ( inv g `  R ) `
 k ) ) )
181180eqeq2d 2369 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  ( ( inv g `  R ) `
 k )  -> 
( k  =  ( ( inv g `  R ) `  l
)  <->  k  =  ( ( inv g `  R ) `  (
( inv g `  R ) `  k
) ) ) )
182181rspcev 2960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( inv g `  R ) `  k
)  e.  ( (
Base `  R )  \  { Y } )  /\  k  =  ( ( inv g `  R ) `  (
( inv g `  R ) `  k
) ) )  ->  E. l  e.  (
( Base `  R )  \  { Y } ) k  =  ( ( inv g `  R
) `  l )
)
183175, 179, 182syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )  ->  E. l  e.  (
( Base `  R )  \  { Y } ) k  =  ( ( inv g `  R
) `  l )
)
184 oveq1 5952 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( ( inv g `  R ) `
 l )  -> 
( k  .x.  ( F `  j )
)  =  ( ( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) ) )
185184eleq1d 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( ( inv g `  R ) `
 l )  -> 
( ( k  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  ( (
( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
186185notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( ( inv g `  R ) `
 l )  -> 
( -.  ( k 
.x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  <->  -.  ( (
( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
187186adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  k  =  ( ( inv g `  R ) `
 l ) )  ->  ( -.  (
k  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  <->  -.  ( (
( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
188173, 183, 187ralxfrd 4630 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( A. k  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } )  -.  ( k  .x.  ( F `  j )
)  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  A. l  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } )  -.  (
( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
1891883ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( A. k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } )  -.  (
k  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  <->  A. l  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } )  -.  (
( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
190189adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. k  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } )  -.  ( k  .x.  ( F `  j )
)  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  A. l  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } )  -.  (
( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
191 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  x  e.  L )  ->  j  e.  I )
192 fvex 5622 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
19334, 192eqeltri 2428 . . . . . . . . 9  |-  Y  e. 
_V
194193fvconst2 5813 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  I  ->  (
( I  X.  { Y } ) `  j
)  =  Y )
195191, 194syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  x  e.  L )  ->  (
( I  X.  { Y } ) `  j
)  =  Y )
196195eqeq2d 2369 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  x  e.  L )  ->  (
( x `  j
)  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
)  <->  ( x `  j )  =  Y ) )
197196imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  x  e.  L )  ->  (
( ( W  gsumg  ( x  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) )  <->  ( ( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) ) )
198197ralbidva 2635 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. x  e.  L  (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
)  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  Y ) ) )
199170, 190, 1983bitr4d 276 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. k  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } )  -.  ( k  .x.  ( F `  j )
)  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
) ) )
200199ralbidva 2635 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( A. j  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } )  -.  (
k  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  <->  A. j  e.  I  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) ) )
2017, 9, 147, 8, 12, 34islindf2 26607 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  W  <->  A. j  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } )  -.  (
k  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
202160, 12, 166frlmbasf 26551 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  X  /\  x  e.  L )  ->  x : I --> ( Base `  R ) )
2032023ad2antl2 1118 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  x  e.  L
)  ->  x :
I --> ( Base `  R
) )
204 ffn 5472 . . . . . . 7  |-  ( x : I --> ( Base `  R )  ->  x  Fn  I )
205203, 204syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  x  e.  L
)  ->  x  Fn  I )
206 fnconstg 5512 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  _V  ->  (
I  X.  { Y } )  Fn  I
)
207193, 206ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( I  X.  { Y }
)  Fn  I
208 eqfnfv 5705 . . . . . 6  |-  ( ( x  Fn  I  /\  ( I  X.  { Y } )  Fn  I
)  ->  ( x  =  ( I  X.  { Y } )  <->  A. j  e.  I  ( x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) )
209205, 207, 208sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  x  e.  L
)  ->  ( x  =  ( I  X.  { Y } )  <->  A. j  e.  I  ( x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) )
210209imbi2d 307 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  x  e.  L
)  ->  ( (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  x  =  ( I  X.  { Y } ) )  <-> 
( ( W  gsumg  ( x  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  A. j  e.  I 
( x `  j
)  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) ) )
211210ralbidva 2635 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( A. x  e.  L  ( ( W 
gsumg  ( x  o F  .x.  F ) )  =  .0.  ->  x  =  ( I  X.  { Y } ) )  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  A. j  e.  I  ( x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) ) )
212 r19.21v 2706 . . . . 5  |-  ( A. j  e.  I  (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
)  <->  ( ( W 
gsumg  ( x  o F  .x.  F ) )  =  .0.  ->  A. j  e.  I  ( x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) )
213212ralbii 2643 . . . 4  |-  ( A. x  e.  L  A. j  e.  I  (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
)  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  A. j  e.  I 
( x `  j
)  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) )
214 ralcom 2776 . . . 4  |-  ( A. x  e.  L  A. j  e.  I  (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
)  <->  A. j  e.  I  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) )
215213, 214bitr3i 242 . . 3  |-  ( A. x  e.  L  (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  A. j  e.  I  ( x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) )  <->  A. j  e.  I  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
) )
216211, 215syl6bb 252 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( A. x  e.  L  ( ( W 
gsumg  ( x  o F  .x.  F ) )  =  .0.  ->  x  =  ( I  X.  { Y } ) )  <->  A. j  e.  I  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
) ) )
217200, 201, 2163bitr4d 276 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  W  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  x  =  ( I  X.  { Y } ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620   {crab 2623   _Vcvv 2864    \ cdif 3225    u. cun 3226    i^i cin 3227    C_ wss 3228   (/)c0 3531   {csn 3716   <.cop 3719   class class class wbr 4104    e. cmpt 4158    X. cxp 4769   `'ccnv 4770   dom cdm 4771    |` cres 4773   "cima 4774    Fn wfn 5332   -->wf 5333   ` cfv 5337  (class class class)co 5945    o Fcof 6163    ^m cmap 6860   Fincfn 6951   Basecbs 13245   +g cplusg 13305  Scalarcsca 13308   .scvsca 13309   0gc0g 13499    gsumg cgsu 13500   Mndcmnd 14460   Grpcgrp 14461   inv gcminusg 14462  CMndccmn 15188   LModclmod 15726   LSpanclspn 15827   freeLMod cfrlm 26535   LIndF clindf 26597
This theorem is referenced by:  islindf5  26632
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-seq 11139  df-hash 11431  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-hom 13329  df-cco 13330  df-prds 13447  df-pws 13449  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-mhm 14514  df-submnd 14515  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-sbg 14590  df-mulg 14591  df-subg 14717  df-ghm 14780  df-cntz 14892  df-cmn 15190  df-abl 15191  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-ur 15441  df-subrg 15642  df-lmod 15728  df-lss 15789  df-lsp 15828  df-lmhm 15878  df-lbs 15927  df-sra 16024  df-rgmod 16025  df-nzr 16109  df-dsmm 26521  df-frlm 26537  df-uvc 26538  df-lindf 26599
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