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Theorem islindf4 27176
Description: A family is independent iff it has no nontrivial representations of zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islindf4.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
islindf4.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
islindf4.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
islindf4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
islindf4.y  |-  Y  =  ( 0g `  R
)
islindf4.l  |-  L  =  ( Base `  ( R freeLMod  I ) )
Assertion
Ref Expression
islindf4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  W  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  x  =  ( I  X.  { Y } ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, F    x, I    x, L    x, R    x,  .x.    x, W    x, X    x, Y    x,  .0.

Proof of Theorem islindf4
Dummy variables  j 
k  l  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raldifsni 26624 . . . . 5  |-  ( A. l  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } )  -.  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  A. l  e.  ( Base `  R
) ( ( ( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  ->  l  =  Y ) )
2 simpll1 996 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  W  e.  LMod )
3 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  l  e.  ( Base `  R
) )
4 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : I --> B  /\  j  e.  I )  ->  ( F `  j
)  e.  B )
543ad2antl3 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( F `  j )  e.  B
)
65adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( F `  j )  e.  B )
7 islindf4.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  B  =  ( Base `  W
)
8 islindf4.r . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  R  =  (Scalar `  W )
9 islindf4.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .x.  =  ( .s `  W )
10 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( inv g `  W )  =  ( inv g `  W )
11 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( inv g `  R )  =  ( inv g `  R )
12 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
137, 8, 9, 10, 11, 12lmodvsinv 16067 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  l  e.  ( Base `  R
)  /\  ( F `  j )  e.  B
)  ->  ( (
( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( ( inv g `  W ) `  (
l  .x.  ( F `  j ) ) ) )
142, 3, 6, 13syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( ( inv g `  W ) `  (
l  .x.  ( F `  j ) ) ) )
1514eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  <->  ( ( inv g `  W ) `
 ( l  .x.  ( F `  j ) ) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ) )
16 lmodgrp 15912 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
172, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  W  e.  Grp )
187, 8, 9, 12lmodvscl 15922 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  l  e.  ( Base `  R
)  /\  ( F `  j )  e.  B
)  ->  ( l  .x.  ( F `  j
) )  e.  B
)
192, 3, 6, 18syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
l  .x.  ( F `  j ) )  e.  B )
20 islindf4.z . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
21 lmodcmn 15947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. CMnd
)
222, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  W  e. CMnd )
23 simpll2 997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  I  e.  X )
24 difexg 4311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( I  e.  X  ->  (
I  \  { j } )  e.  _V )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
I  \  { j } )  e.  _V )
26 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )
27 elmapi 6997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  (
I  \  { j } ) )  -> 
y : ( I 
\  { j } ) --> ( Base `  R
) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  y : ( I  \  { j } ) --> ( Base `  R
) )
29 simpll3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  F : I --> B )
30 difss 3434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( I 
\  { j } )  C_  I
31 fssres 5569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : I --> B  /\  ( I  \  { j } )  C_  I
)  ->  ( F  |`  ( I  \  {
j } ) ) : ( I  \  { j } ) --> B )
3229, 30, 31sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) : ( I 
\  { j } ) --> B )
338, 12, 9, 7, 2, 28, 32, 25lcomf 26636 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
y  o F  .x.  ( F  |`  ( I 
\  { j } ) ) ) : ( I  \  {
j } ) --> B )
34 islindf4.y . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Y  =  ( 0g `  R
)
35 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin )
368, 12, 9, 7, 2, 28, 32, 25, 20, 34, 35lcomfsup 26637 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( `' ( y  o F  .x.  ( F  |`  ( I  \  {
j } ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
377, 20, 22, 25, 33, 36gsumcl 15476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  e.  B )
38 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
397, 38, 20, 10grpinvid2 14809 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( l  .x.  ( F `  j )
)  e.  B  /\  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  e.  B )  ->  ( ( ( inv g `  W
) `  ( l  .x.  ( F `  j
) ) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  <->  ( ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ( +g  `  W
) ( l  .x.  ( F `  j ) ) )  =  .0.  ) )
4017, 19, 37, 39syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( inv g `  W ) `  (
l  .x.  ( F `  j ) ) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  <->  ( ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ( +g  `  W
) ( l  .x.  ( F `  j ) ) )  =  .0.  ) )
41 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  j  e.  I )
42 fsnunf2 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y : ( I 
\  { j } ) --> ( Base `  R
)  /\  j  e.  I  /\  l  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( y  u.  { <. j ,  l
>. } ) : I --> ( Base `  R
) )
4328, 41, 3, 42syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
y  u.  { <. j ,  l >. } ) : I --> ( Base `  R ) )
448, 12, 9, 7, 2, 43, 29, 23lcomf 26636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F 
.x.  F ) : I --> B )
45 funsnfsup 26633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( `' ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  <->  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin )
4645biimpri 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  ->  ( `' ( y  u.  { <. j ,  l >. } )
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin )
4746ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( `' ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin )
488, 12, 9, 7, 2, 43, 29, 23, 20, 34, 47lcomfsup 26637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( `' ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
49 incom 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( I  \  { j } )  i^i  {
j } )  =  ( { j }  i^i  ( I  \  { j } ) )
50 disjdif 3660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { j }  i^i  (
I  \  { j } ) )  =  (/)
5149, 50eqtri 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  \  { j } )  i^i  {
j } )  =  (/)
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( I  \  {
j } )  i^i 
{ j } )  =  (/) )
53 difsnid 3904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  I  ->  (
( I  \  {
j } )  u. 
{ j } )  =  I )
5453eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  I  ->  I  =  ( ( I 
\  { j } )  u.  { j } ) )
5541, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  I  =  ( ( I 
\  { j } )  u.  { j } ) )
567, 20, 38, 22, 23, 44, 48, 52, 55gsumsplit 15485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F ) )  =  ( ( W 
gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
)  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ( +g  `  W ) ( W 
gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
)  |`  { j } ) ) ) )
57 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  y  e. 
_V
58 snex 4365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { <. j ,  l >. }  e.  _V
5957, 58unex 4666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  e.  _V
60 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  F :
I --> B )
61 simpl2 961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  I  e.  X )
62 fex 5928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F : I --> B  /\  I  e.  X )  ->  F  e.  _V )
6360, 61, 62syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  F  e.  _V )
6463adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  F  e.  _V )
65 offres 6278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  e.  _V  /\  F  e.  _V )  ->  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
)  |`  ( I  \  { j } ) )  =  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  |`  (
I  \  { j } ) )  o F  .x.  ( F  |`  ( I  \  {
j } ) ) ) )
6659, 64, 65sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F )  |`  ( I  \  { j } ) )  =  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  |`  ( I  \  {
j } ) )  o F  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )
67 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y : ( I  \  { j } ) --> ( Base `  R
)  ->  y  Fn  ( I  \  { j } ) )
6828, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  y  Fn  ( I  \  {
j } ) )
69 neldifsn 3889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -.  j  e.  ( I  \  {
j } )
70 fsnunres 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  Fn  ( I 
\  { j } )  /\  -.  j  e.  ( I  \  {
j } ) )  ->  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  |`  ( I  \  {
j } ) )  =  y )
7168, 69, 70sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } )  |`  (
I  \  { j } ) )  =  y )
7271oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  |`  (
I  \  { j } ) )  o F  .x.  ( F  |`  ( I  \  {
j } ) ) )  =  ( y  o F  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )
7366, 72eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F )  |`  ( I  \  { j } ) )  =  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )
7473oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( W  gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
)  |`  ( I  \  { j } ) ) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )
75 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F 
.x.  F ) : I --> B  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F 
.x.  F )  Fn  I )
7644, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F 
.x.  F )  Fn  I )
77 fnressn 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F )  Fn  I  /\  j  e.  I )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F )  |`  { j } )  =  { <. j ,  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) `  j ) >. } )
7876, 41, 77syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F )  |`  { j } )  =  { <. j ,  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) `  j ) >. } )
79 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) : I --> ( Base `  R )  ->  (
y  u.  { <. j ,  l >. } )  Fn  I )
8043, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
y  u.  { <. j ,  l >. } )  Fn  I )
81 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( F : I --> B  ->  F  Fn  I )
8229, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  F  Fn  I )
83 fnfvof 6276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  Fn  I  /\  F  Fn  I
)  /\  ( I  e.  X  /\  j  e.  I ) )  -> 
( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) `  j )  =  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `
 j )  .x.  ( F `  j ) ) )
8480, 82, 23, 41, 83syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F ) `  j )  =  ( ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  .x.  ( F `  j ) ) )
85 fndm 5503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  Fn  ( I  \  { j } )  ->  dom  y  =  ( I  \  { j } ) )
8685eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  Fn  ( I  \  { j } )  ->  ( j  e. 
dom  y  <->  j  e.  ( I  \  { j } ) ) )
8769, 86mtbiri 295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  Fn  ( I  \  { j } )  ->  -.  j  e.  dom  y )
88 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  j  e. 
_V
89 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  l  e. 
_V
90 fsnunfv 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( j  e.  _V  /\  l  e.  _V  /\  -.  j  e.  dom  y )  ->  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `
 j )  =  l )
9188, 89, 90mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  j  e.  dom  y  ->  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  =  l )
9268, 87, 913syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  l )
9392oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( l  .x.  ( F `  j )
) )
9484, 93eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F ) `  j )  =  ( l  .x.  ( F `
 j ) ) )
9594opeq2d 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  <. j ,  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) `  j ) >.  =  <. j ,  ( l  .x.  ( F `
 j ) )
>. )
9695sneqd 3787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  { <. j ,  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) `  j ) >. }  =  { <. j ,  ( l  .x.  ( F `  j ) ) >. } )
97 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( l 
.x.  ( F `  j ) )  e. 
_V
98 fmptsn 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  _V  /\  ( l  .x.  ( F `  j )
)  e.  _V )  ->  { <. j ,  ( l  .x.  ( F `
 j ) )
>. }  =  ( x  e.  { j } 
|->  ( l  .x.  ( F `  j )
) ) )
9988, 97, 98mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { <. j ,  ( l  .x.  ( F `  j ) ) >. }  =  ( x  e.  { j }  |->  ( l  .x.  ( F `  j ) ) )
10099a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  { <. j ,  ( l  .x.  ( F `  j ) ) >. }  =  ( x  e.  { j }  |->  ( l  .x.  ( F `  j ) ) ) )
10178, 96, 1003eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F )  |`  { j } )  =  ( x  e. 
{ j }  |->  ( l  .x.  ( F `
 j ) ) ) )
102101oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( W  gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
)  |`  { j } ) )  =  ( W  gsumg  ( x  e.  {
j }  |->  ( l 
.x.  ( F `  j ) ) ) ) )
103 cmnmnd 15382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( W  e. CMnd  ->  W  e.  Mnd )
10422, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  W  e.  Mnd )
10588a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  j  e.  _V )
106 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  j  ->  (
l  .x.  ( F `  j ) )  =  ( l  .x.  ( F `  j )
) )
1077, 106gsumsn 15498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e.  Mnd  /\  j  e.  _V  /\  (
l  .x.  ( F `  j ) )  e.  B )  ->  ( W  gsumg  ( x  e.  {
j }  |->  ( l 
.x.  ( F `  j ) ) ) )  =  ( l 
.x.  ( F `  j ) ) )
108104, 105, 19, 107syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( W  gsumg  ( x  e.  {
j }  |->  ( l 
.x.  ( F `  j ) ) ) )  =  ( l 
.x.  ( F `  j ) ) )
109102, 108eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  ( W  gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
)  |`  { j } ) )  =  ( l  .x.  ( F `
 j ) ) )
11074, 109oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( W  gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
)  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ( +g  `  W ) ( W 
gsumg  ( ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
)  |`  { j } ) ) )  =  ( ( W  gsumg  ( y  o F  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ( +g  `  W ) ( l  .x.  ( F `  j )
) ) )
11156, 110eqtr2d 2437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ( +g  `  W
) ( l  .x.  ( F `  j ) ) )  =  ( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F ) ) )
112111eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( W  gsumg  ( y  o F  .x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ( +g  `  W ) ( l  .x.  ( F `  j )
) )  =  .0.  <->  ( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ) )
11315, 40, 1123bitrd 271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  <->  ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) )  =  .0.  ) )
11492eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  l  =  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `
 j ) )
115114eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
l  =  Y  <->  ( (
y  u.  { <. j ,  l >. } ) `
 j )  =  Y ) )
116113, 115imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( (
l  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( ( ( inv g `  R
) `  l )  .x.  ( F `  j
) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  ( ( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) ) )
117116anassrs 630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  /\  j  e.  I )  /\  ( l  e.  (
Base `  R )  /\  y  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( I  \  {
j } ) ) ) )  /\  ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin )  ->  ( ( ( ( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  ( ( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) ) )
118117pm5.74da 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( l  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ) )  -> 
( ( ( `' y " ( _V 
\  { Y }
) )  e.  Fin  ->  ( ( ( ( inv g `  R
) `  l )  .x.  ( F `  j
) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  ->  l  =  Y ) )  <->  ( ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  ->  ( ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
119 impexp 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( `' y
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin  /\  (
( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  ( ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  ->  ( ( ( ( inv g `  R
) `  l )  .x.  ( F `  j
) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) )  ->  l  =  Y ) ) )
12045imbi1i 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' ( y  u.  { <. j ,  l >. } )
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin  ->  (
( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) )  <->  ( ( `' y " ( _V 
\  { Y }
) )  e.  Fin  ->  ( ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  =  Y ) ) )
121118, 119, 1203bitr4g 280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  ( l  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ) )  -> 
( ( ( ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  /\  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  ( ( `' ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  ->  ( ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
1221212ralbidva 2706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. l  e.  ( Base `  R ) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  /\  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  A. l  e.  ( Base `  R
) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( `' ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  ->  ( ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
123 cnveq 5005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  `' x  =  `' (
y  u.  { <. j ,  l >. } ) )
124123imaeq1d 5161 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  ( `' x " ( _V 
\  { Y }
) )  =  ( `' ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) " ( _V  \  { Y }
) ) )
125124eleq1d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
( `' x "
( _V  \  { Y } ) )  e. 
Fin 
<->  ( `' ( y  u.  { <. j ,  l >. } )
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin ) )
126 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
x  o F  .x.  F )  =  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F 
.x.  F ) )
127126oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  ( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) ) )
128127eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  <->  ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ) )
129 fveq1 5686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
x `  j )  =  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `
 j ) )
130129eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
( x `  j
)  =  Y  <->  ( (
y  u.  { <. j ,  l >. } ) `
 j )  =  Y ) )
131128, 130imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
( ( W  gsumg  ( x  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  Y )  <-> 
( ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  =  Y ) ) )
132125, 131imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  ->  (
( ( `' x " ( _V  \  { Y } ) )  e. 
Fin  ->  ( ( W 
gsumg  ( x  o F  .x.  F ) )  =  .0.  ->  ( x `  j )  =  Y ) )  <->  ( ( `' ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  ->  ( ( W  gsumg  ( ( y  u.  { <. j ,  l >. } )  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
133132ralxpmap 26632 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  I  ->  ( A. x  e.  (
( Base `  R )  ^m  I ) ( ( `' x " ( _V 
\  { Y }
) )  e.  Fin  ->  ( ( W  gsumg  ( x  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  Y ) )  <->  A. l  e.  (
Base `  R ) A. y  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( I  \  {
j } ) ) ( ( `' ( y  u.  { <. j ,  l >. } )
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin  ->  (
( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
134133adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. x  e.  ( ( Base `  R )  ^m  I ) ( ( `' x " ( _V 
\  { Y }
) )  e.  Fin  ->  ( ( W  gsumg  ( x  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  Y ) )  <->  A. l  e.  (
Base `  R ) A. y  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( I  \  {
j } ) ) ( ( `' ( y  u.  { <. j ,  l >. } )
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin  ->  (
( W  gsumg  ( ( y  u. 
{ <. j ,  l
>. } )  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
( y  u.  { <. j ,  l >. } ) `  j
)  =  Y ) ) ) )
135122, 134bitr4d 248 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. l  e.  ( Base `  R ) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  /\  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  A. x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )
( ( `' x " ( _V  \  { Y } ) )  e. 
Fin  ->  ( ( W 
gsumg  ( x  o F  .x.  F ) )  =  .0.  ->  ( x `  j )  =  Y ) ) ) )
136 cnveq 5005 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  `' z  =  `' x
)
137136imaeq1d 5161 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  ( `' z " ( _V  \  { Y }
) )  =  ( `' x " ( _V 
\  { Y }
) ) )
138137eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
( `' z "
( _V  \  { Y } ) )  e. 
Fin 
<->  ( `' x "
( _V  \  { Y } ) )  e. 
Fin ) )
139138ralrab 3056 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' z
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin }  (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y )  <->  A. x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )
( ( `' x " ( _V  \  { Y } ) )  e. 
Fin  ->  ( ( W 
gsumg  ( x  o F  .x.  F ) )  =  .0.  ->  ( x `  j )  =  Y ) ) )
140135, 139syl6bbr 255 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. l  e.  ( Base `  R ) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  /\  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  A. x  e.  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' z
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin }  (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) ) )
141 resima 5137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) " ( I 
\  { j } ) )  =  ( F " ( I 
\  { j } ) )
142141eqcomi 2408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F
" ( I  \  { j } ) )  =  ( ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) " ( I 
\  { j } ) )
143142fveq2i 5690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  =  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) " ( I 
\  { j } ) ) )
144143eleq2i 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  <->  ( ( ( inv g `  R
) `  l )  .x.  ( F `  j
) )  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) "
( I  \  {
j } ) ) ) )
145 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
14660, 30, 31sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( F  |`  ( I  \  {
j } ) ) : ( I  \  { j } ) --> B )
147 simpl1 960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  W  e.  LMod )
148243ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( I  \  {
j } )  e. 
_V )
149148adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( I  \  { j } )  e.  _V )
150145, 7, 12, 8, 34, 9, 146, 147, 149ellspd 27122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( (
( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  E. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( `' y " ( _V 
\  { Y }
) )  e.  Fin  /\  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ) ) )
151144, 150syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( (
( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  <->  E. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( `' y " ( _V 
\  { Y }
) )  e.  Fin  /\  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) ) ) )
152151imbi1d 309 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( (
( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  -> 
l  =  Y )  <-> 
( E. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( `' y " ( _V 
\  { Y }
) )  e.  Fin  /\  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y ) ) )
153 r19.23v 2782 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( ( `' y
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin  /\  (
( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  ( E. y  e.  ( ( Base `  R )  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( `' y "
( _V  \  { Y } ) )  e. 
Fin  /\  ( (
( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W  gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y ) )
154152, 153syl6bbr 255 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( (
( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  -> 
l  =  Y )  <->  A. y  e.  (
( Base `  R )  ^m  ( I  \  {
j } ) ) ( ( ( `' y " ( _V 
\  { Y }
) )  e.  Fin  /\  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y ) ) )
155154ralbidv 2686 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. l  e.  ( Base `  R ) ( ( ( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  A. l  e.  ( Base `  R
) A. y  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  ( I  \  { j } ) ) ( ( ( `' y " ( _V  \  { Y }
) )  e.  Fin  /\  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  =  ( W 
gsumg  ( y  o F 
.x.  ( F  |`  ( I  \  { j } ) ) ) ) )  ->  l  =  Y ) ) )
156 fvex 5701 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Scalar `  W )  e.  _V
1578, 156eqeltri 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  R  e. 
_V
158 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R freeLMod  I )  =  ( R freeLMod  I )
159 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z  e.  ( ( Base `  R )  ^m  I
)  |  ( `' z " ( _V 
\  { Y }
) )  e.  Fin }  =  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' z
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin }
160158, 12, 34, 159frlmbas 27091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  _V  /\  I  e.  X )  ->  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' z
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin }  =  ( Base `  ( R freeLMod  I ) ) )
161157, 160mpan 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  X  ->  { z  e.  ( ( Base `  R )  ^m  I
)  |  ( `' z " ( _V 
\  { Y }
) )  e.  Fin }  =  ( Base `  ( R freeLMod  I ) ) )
1621613ad2ant2 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  ->  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' z
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin }  =  ( Base `  ( R freeLMod  I ) ) )
163162adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' z
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin }  =  ( Base `  ( R freeLMod  I ) ) )
164 islindf4.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( Base `  ( R freeLMod  I ) )
165163, 164syl6reqr 2455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  L  =  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' z
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin } )
166165raleqdv 2870 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. x  e.  L  (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y )  <->  A. x  e.  { z  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' z
" ( _V  \  { Y } ) )  e.  Fin }  (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) ) )
167140, 155, 1663bitr4d 277 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. l  e.  ( Base `  R ) ( ( ( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  ->  l  =  Y )  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) ) )
1681, 167syl5bb 249 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. l  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } )  -.  ( ( ( inv g `  R ) `
 l )  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) ) )
1698lmodfgrp 15914 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
17012, 34, 11grpinvnzcl 14818 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  l  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } ) )  ->  ( ( inv g `  R ) `
 l )  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )
171169, 170sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  l  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )  -> 
( ( inv g `  R ) `  l
)  e.  ( (
Base `  R )  \  { Y } ) )
17212, 34, 11grpinvnzcl 14818 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  k  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } ) )  ->  ( ( inv g `  R ) `
 k )  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )
173169, 172sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )  -> 
( ( inv g `  R ) `  k
)  e.  ( (
Base `  R )  \  { Y } ) )
174 eldifi 3429 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } )  ->  k  e.  ( Base `  R
) )
17512, 11grpinvinv 14813 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  k  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( inv g `  R ) `  (
( inv g `  R ) `  k
) )  =  k )
176169, 174, 175syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )  -> 
( ( inv g `  R ) `  (
( inv g `  R ) `  k
) )  =  k )
177176eqcomd 2409 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )  -> 
k  =  ( ( inv g `  R
) `  ( ( inv g `  R ) `
 k ) ) )
178 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  ( ( inv g `  R ) `
 k )  -> 
( ( inv g `  R ) `  l
)  =  ( ( inv g `  R
) `  ( ( inv g `  R ) `
 k ) ) )
179178eqeq2d 2415 . . . . . . . . 9  |-  ( l  =  ( ( inv g `  R ) `
 k )  -> 
( k  =  ( ( inv g `  R ) `  l
)  <->  k  =  ( ( inv g `  R ) `  (
( inv g `  R ) `  k
) ) ) )
180179rspcev 3012 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( inv g `  R ) `  k
)  e.  ( (
Base `  R )  \  { Y } )  /\  k  =  ( ( inv g `  R ) `  (
( inv g `  R ) `  k
) ) )  ->  E. l  e.  (
( Base `  R )  \  { Y } ) k  =  ( ( inv g `  R
) `  l )
)
181173, 177, 180syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } ) )  ->  E. l  e.  (
( Base `  R )  \  { Y } ) k  =  ( ( inv g `  R
) `  l )
)
182 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( ( inv g `  R ) `
 l )  -> 
( k  .x.  ( F `  j )
)  =  ( ( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) ) )
183182eleq1d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( ( inv g `  R ) `
 l )  -> 
( ( k  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  ( (
( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
184183notbid 286 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( ( inv g `  R ) `
 l )  -> 
( -.  ( k 
.x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  <->  -.  ( (
( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
185184adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  k  =  ( ( inv g `  R ) `
 l ) )  ->  ( -.  (
k  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  <->  -.  ( (
( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
186171, 181, 185ralxfrd 4696 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( A. k  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } )  -.  ( k  .x.  ( F `  j )
)  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  A. l  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } )  -.  (
( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
1871863ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( A. k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } )  -.  (
k  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  <->  A. l  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } )  -.  (
( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
188187adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. k  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } )  -.  ( k  .x.  ( F `  j )
)  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  A. l  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } )  -.  (
( ( inv g `  R ) `  l
)  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
189 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  x  e.  L )  ->  j  e.  I )
190 fvex 5701 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
19134, 190eqeltri 2474 . . . . . . . . 9  |-  Y  e. 
_V
192191fvconst2 5906 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  I  ->  (
( I  X.  { Y } ) `  j
)  =  Y )
193189, 192syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  x  e.  L )  ->  (
( I  X.  { Y } ) `  j
)  =  Y )
194193eqeq2d 2415 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  x  e.  L )  ->  (
( x `  j
)  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
)  <->  ( x `  j )  =  Y ) )
195194imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  /\  x  e.  L )  ->  (
( ( W  gsumg  ( x  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) )  <->  ( ( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  Y ) ) )
196195ralbidva 2682 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. x  e.  L  (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
)  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  Y ) ) )
197168, 188, 1963bitr4d 277 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  j  e.  I
)  ->  ( A. k  e.  ( ( Base `  R )  \  { Y } )  -.  ( k  .x.  ( F `  j )
)  e.  ( (
LSpan `  W ) `  ( F " ( I 
\  { j } ) ) )  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
) ) )
198197ralbidva 2682 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( A. j  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } )  -.  (
k  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) )  <->  A. j  e.  I  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) ) )
1997, 9, 145, 8, 12, 34islindf2 27152 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  W  <->  A. j  e.  I  A. k  e.  ( ( Base `  R
)  \  { Y } )  -.  (
k  .x.  ( F `  j ) )  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( F " ( I  \  {
j } ) ) ) ) )
200158, 12, 164frlmbasf 27096 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  X  /\  x  e.  L )  ->  x : I --> ( Base `  R ) )
2012003ad2antl2 1120 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  x  e.  L
)  ->  x :
I --> ( Base `  R
) )
202 ffn 5550 . . . . . . 7  |-  ( x : I --> ( Base `  R )  ->  x  Fn  I )
203201, 202syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  x  e.  L
)  ->  x  Fn  I )
204 fnconstg 5590 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  _V  ->  (
I  X.  { Y } )  Fn  I
)
205191, 204ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( I  X.  { Y }
)  Fn  I
206 eqfnfv 5786 . . . . . 6  |-  ( ( x  Fn  I  /\  ( I  X.  { Y } )  Fn  I
)  ->  ( x  =  ( I  X.  { Y } )  <->  A. j  e.  I  ( x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) )
207203, 205, 206sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  x  e.  L
)  ->  ( x  =  ( I  X.  { Y } )  <->  A. j  e.  I  ( x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) )
208207imbi2d 308 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F : I --> B )  /\  x  e.  L
)  ->  ( (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  x  =  ( I  X.  { Y } ) )  <-> 
( ( W  gsumg  ( x  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  A. j  e.  I 
( x `  j
)  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) ) )
209208ralbidva 2682 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( A. x  e.  L  ( ( W 
gsumg  ( x  o F  .x.  F ) )  =  .0.  ->  x  =  ( I  X.  { Y } ) )  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  A. j  e.  I  ( x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) ) )
210 r19.21v 2753 . . . . 5  |-  ( A. j  e.  I  (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
)  <->  ( ( W 
gsumg  ( x  o F  .x.  F ) )  =  .0.  ->  A. j  e.  I  ( x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) )
211210ralbii 2690 . . . 4  |-  ( A. x  e.  L  A. j  e.  I  (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
)  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  A. j  e.  I 
( x `  j
)  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) )
212 ralcom 2828 . . . 4  |-  ( A. x  e.  L  A. j  e.  I  (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
)  <->  A. j  e.  I  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F  .x.  F
) )  =  .0. 
->  ( x `  j
)  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) ) )
213211, 212bitr3i 243 . . 3  |-  ( A. x  e.  L  (
( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  A. j  e.  I  ( x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y } ) `  j
) )  <->  A. j  e.  I  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
) )
214209, 213syl6bb 253 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( A. x  e.  L  ( ( W 
gsumg  ( x  o F  .x.  F ) )  =  .0.  ->  x  =  ( I  X.  { Y } ) )  <->  A. j  e.  I  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  (
x `  j )  =  ( ( I  X.  { Y }
) `  j )
) ) )
215198, 199, 2143bitr4d 277 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  F :
I --> B )  -> 
( F LIndF  W  <->  A. x  e.  L  ( ( W  gsumg  ( x  o F 
.x.  F ) )  =  .0.  ->  x  =  ( I  X.  { Y } ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   <.cop 3777   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   dom cdm 4837    |` cres 4839   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262    ^m cmap 6977   Fincfn 7068   Basecbs 13424   +g cplusg 13484  Scalarcsca 13487   .scvsca 13488   0gc0g 13678    gsumg cgsu 13679   Mndcmnd 14639   Grpcgrp 14640   inv gcminusg 14641  CMndccmn 15367   LModclmod 15905   LSpanclspn 16002   freeLMod cfrlm 27080   LIndF clindf 27142
This theorem is referenced by:  islindf5  27177
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-hom 13508  df-cco 13509  df-prds 13626  df-pws 13628  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-lmhm 16053  df-lbs 16102  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-nzr 16284  df-dsmm 27066  df-frlm 27082  df-uvc 27083  df-lindf 27144
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