Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islindf5 Structured version   Unicode version

Theorem islindf5 27286
Description: A family is independent iff the linear combinations homomorphism is injective. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islindf5.f  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
islindf5.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
islindf5.c  |-  C  =  ( Base `  T
)
islindf5.v  |-  .x.  =  ( .s `  T )
islindf5.e  |-  E  =  ( x  e.  B  |->  ( T  gsumg  ( x  o F 
.x.  A ) ) )
islindf5.t  |-  ( ph  ->  T  e.  LMod )
islindf5.i  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
islindf5.r  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  T ) )
islindf5.a  |-  ( ph  ->  A : I --> C )
Assertion
Ref Expression
islindf5  |-  ( ph  ->  ( A LIndF  T  <->  E : B -1-1-> C ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, A    x, B    x, C    x, F    x, I    x, R    x, T    x,  .x.    x, X
Allowed substitution hint:    E( x)

Proof of Theorem islindf5
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islindf5.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  LMod )
2 islindf5.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  X )
3 islindf5.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A : I --> C )
4 islindf5.c . . . . 5  |-  C  =  ( Base `  T
)
5 eqid 2436 . . . . 5  |-  (Scalar `  T )  =  (Scalar `  T )
6 islindf5.v . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  T )
7 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
8 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( 0g
`  (Scalar `  T )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  T )
)
9 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( Base `  ( (Scalar `  T
) freeLMod  I ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  T ) freeLMod  I ) )
104, 5, 6, 7, 8, 9islindf4 27285 . . . 4  |-  ( ( T  e.  LMod  /\  I  e.  X  /\  A :
I --> C )  -> 
( A LIndF  T  <->  A. y  e.  ( Base `  (
(Scalar `  T ) freeLMod  I ) ) ( ( T  gsumg  ( y  o F 
.x.  A ) )  =  ( 0g `  T )  ->  y  =  ( I  X.  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) ) ) )
111, 2, 3, 10syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A LIndF  T  <->  A. y  e.  ( Base `  (
(Scalar `  T ) freeLMod  I ) ) ( ( T  gsumg  ( y  o F 
.x.  A ) )  =  ( 0g `  T )  ->  y  =  ( I  X.  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) ) ) )
12 oveq1 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  o F  .x.  A )  =  ( y  o F  .x.  A ) )
1312oveq2d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( T  gsumg  ( x  o F 
.x.  A ) )  =  ( T  gsumg  ( y  o F  .x.  A
) ) )
14 islindf5.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  ( x  e.  B  |->  ( T  gsumg  ( x  o F 
.x.  A ) ) )
15 ovex 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( T 
gsumg  ( y  o F 
.x.  A ) )  e.  _V
1613, 14, 15fvmpt 5806 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  ( E `  y )  =  ( T  gsumg  ( y  o F  .x.  A
) ) )
1716adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  ( E `  y )  =  ( T  gsumg  ( y  o F  .x.  A
) ) )
1817eqeq1d 2444 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
( E `  y
)  =  ( 0g
`  T )  <->  ( T  gsumg  ( y  o F  .x.  A ) )  =  ( 0g `  T
) ) )
19 islindf5.r . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  T ) )
205lmodrng 15958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  LMod  ->  (Scalar `  T )  e.  Ring )
211, 20syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (Scalar `  T )  e.  Ring )
2219, 21eqeltrd 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
23 islindf5.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( R freeLMod  I )
24 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
2523, 24frlm0 27199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  X )  ->  (
I  X.  { ( 0g `  R ) } )  =  ( 0g `  F ) )
2622, 2, 25syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I  X.  {
( 0g `  R
) } )  =  ( 0g `  F
) )
2719fveq2d 5732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  T )
) )
2827sneqd 3827 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { ( 0g `  R ) }  =  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } )
2928xpeq2d 4902 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I  X.  {
( 0g `  R
) } )  =  ( I  X.  {
( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) )
3026, 29eqtr3d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0g `  F
)  =  ( I  X.  { ( 0g
`  (Scalar `  T )
) } ) )
3130adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  ( 0g `  F )  =  ( I  X.  {
( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) )
3231eqeq2d 2447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
y  =  ( 0g
`  F )  <->  y  =  ( I  X.  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) ) )
3318, 32imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  B )  ->  (
( ( E `  y )  =  ( 0g `  T )  ->  y  =  ( 0g `  F ) )  <->  ( ( T 
gsumg  ( y  o F 
.x.  A ) )  =  ( 0g `  T )  ->  y  =  ( I  X.  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) ) ) )
3433ralbidva 2721 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( ( E `
 y )  =  ( 0g `  T
)  ->  y  =  ( 0g `  F ) )  <->  A. y  e.  B  ( ( T  gsumg  ( y  o F  .x.  A
) )  =  ( 0g `  T )  ->  y  =  ( I  X.  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) ) ) )
3519eqcomd 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (Scalar `  T )  =  R )
3635oveq1d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (Scalar `  T
) freeLMod  I )  =  ( R freeLMod  I ) )
3736, 23syl6eqr 2486 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (Scalar `  T
) freeLMod  I )  =  F )
3837fveq2d 5732 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  (
(Scalar `  T ) freeLMod  I ) )  =  (
Base `  F )
)
39 islindf5.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  F
)
4038, 39syl6eqr 2486 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  (
(Scalar `  T ) freeLMod  I ) )  =  B )
4140raleqdv 2910 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  ( Base `  (
(Scalar `  T ) freeLMod  I ) ) ( ( T  gsumg  ( y  o F 
.x.  A ) )  =  ( 0g `  T )  ->  y  =  ( I  X.  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) )  <->  A. y  e.  B  ( ( T  gsumg  ( y  o F 
.x.  A ) )  =  ( 0g `  T )  ->  y  =  ( I  X.  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) ) ) )
4234, 41bitr4d 248 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( ( E `
 y )  =  ( 0g `  T
)  ->  y  =  ( 0g `  F ) )  <->  A. y  e.  (
Base `  ( (Scalar `  T ) freeLMod  I ) ) ( ( T 
gsumg  ( y  o F 
.x.  A ) )  =  ( 0g `  T )  ->  y  =  ( I  X.  { ( 0g `  (Scalar `  T ) ) } ) ) ) )
4311, 42bitr4d 248 . 2  |-  ( ph  ->  ( A LIndF  T  <->  A. y  e.  B  ( ( E `  y )  =  ( 0g `  T )  ->  y  =  ( 0g `  F ) ) ) )
4423, 39, 4, 6, 14, 1, 2, 19, 3frlmup1 27227 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  ( F LMHom 
T ) )
45 lmghm 16107 . . 3  |-  ( E  e.  ( F LMHom  T
)  ->  E  e.  ( F  GrpHom  T ) )
46 eqid 2436 . . . 4  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
4739, 4, 46, 7ghmf1 15034 . . 3  |-  ( E  e.  ( F  GrpHom  T )  ->  ( E : B -1-1-> C  <->  A. y  e.  B  ( ( E `  y )  =  ( 0g `  T )  ->  y  =  ( 0g `  F ) ) ) )
4844, 45, 473syl 19 . 2  |-  ( ph  ->  ( E : B -1-1-> C  <->  A. y  e.  B  ( ( E `  y )  =  ( 0g `  T )  ->  y  =  ( 0g `  F ) ) ) )
4943, 48bitr4d 248 1  |-  ( ph  ->  ( A LIndF  T  <->  E : B -1-1-> C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   {csn 3814   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266    X. cxp 4876   -->wf 5450   -1-1->wf1 5451   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Fcof 6303   Basecbs 13469  Scalarcsca 13532   .scvsca 13533   0gc0g 13723    gsumg cgsu 13724    GrpHom cghm 15003   Ringcrg 15660   LModclmod 15950   LMHom clmhm 16095   freeLMod cfrlm 27189   LIndF clindf 27251
This theorem is referenced by:  indlcim  27287
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-hom 13553  df-cco 13554  df-prds 13671  df-pws 13673  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-lmhm 16098  df-lbs 16147  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-nzr 16329  df-dsmm 27175  df-frlm 27191  df-uvc 27192  df-lindf 27253
  Copyright terms: Public domain W3C validator