Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islinds3 Unicode version

Theorem islinds3 27304
Description: A subset is linearly independent iff it is a basis of its span. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islinds3.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
islinds3.k  |-  K  =  ( LSpan `  W )
islinds3.x  |-  X  =  ( Ws  ( K `  Y ) )
islinds3.j  |-  J  =  (LBasis `  X )
Assertion
Ref Expression
islinds3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  <->  Y  e.  J
) )

Proof of Theorem islinds3
StepHypRef Expression
1 islinds3.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  W
)
21linds1 27280 . . . 4  |-  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  ->  Y  C_  B
)
32a1i 10 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  ->  Y  C_  B
) )
4 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( Base `  X )  =  (
Base `  X )
54linds1 27280 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (LIndS `  X
)  ->  Y  C_  ( Base `  X ) )
6 islinds3.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( Ws  ( K `  Y ) )
76, 1ressbasss 13200 . . . . . 6  |-  ( Base `  X )  C_  B
85, 7syl6ss 3191 . . . . 5  |-  ( Y  e.  (LIndS `  X
)  ->  Y  C_  B
)
98adantr 451 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (LIndS `  X )  /\  (
( LSpan `  X ) `  Y )  =  (
Base `  X )
)  ->  Y  C_  B
)
109a1i 10 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( ( Y  e.  (LIndS `  X )  /\  (
( LSpan `  X ) `  Y )  =  (
Base `  X )
)  ->  Y  C_  B
) )
11 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  W  e.  LMod )
12 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
13 islinds3.k . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( LSpan `  W )
141, 12, 13lspcl 15733 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  ( K `  Y )  e.  ( LSubSp `  W )
)
151, 13lspssid 15742 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  Y  C_  ( K `  Y
) )
16 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( LSpan `  X )  =  (
LSpan `  X )
176, 13, 16, 12lsslsp 15772 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( K `  Y )  e.  ( LSubSp `  W )  /\  Y  C_  ( K `
 Y ) )  ->  ( K `  Y )  =  ( ( LSpan `  X ) `  Y ) )
1811, 14, 15, 17syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  ( K `  Y )  =  ( ( LSpan `  X ) `  Y
) )
191, 13lspssv 15740 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  ( K `  Y )  C_  B )
206, 1ressbas2 13199 . . . . . . . 8  |-  ( ( K `  Y ) 
C_  B  ->  ( K `  Y )  =  ( Base `  X
) )
2119, 20syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  ( K `  Y )  =  ( Base `  X
) )
2218, 21eqtr3d 2317 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  (
( LSpan `  X ) `  Y )  =  (
Base `  X )
)
2322biantrud 493 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( Y  e.  (LIndS `  W )  /\  ( ( LSpan `  X
) `  Y )  =  ( Base `  X
) ) ) )
2412, 6lsslinds 27301 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( K `  Y )  e.  ( LSubSp `  W )  /\  Y  C_  ( K `
 Y ) )  ->  ( Y  e.  (LIndS `  X )  <->  Y  e.  (LIndS `  W
) ) )
2511, 14, 15, 24syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  ( Y  e.  (LIndS `  X
)  <->  Y  e.  (LIndS `  W ) ) )
2625bicomd 192 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  <->  Y  e.  (LIndS `  X ) ) )
2726anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  (
( Y  e.  (LIndS `  W )  /\  (
( LSpan `  X ) `  Y )  =  (
Base `  X )
)  <->  ( Y  e.  (LIndS `  X )  /\  ( ( LSpan `  X
) `  Y )  =  ( Base `  X
) ) ) )
2823, 27bitrd 244 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  C_  B )  ->  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( Y  e.  (LIndS `  X )  /\  ( ( LSpan `  X
) `  Y )  =  ( Base `  X
) ) ) )
2928ex 423 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( Y 
C_  B  ->  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( Y  e.  (LIndS `  X )  /\  ( ( LSpan `  X
) `  Y )  =  ( Base `  X
) ) ) ) )
303, 10, 29pm5.21ndd 343 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  <->  ( Y  e.  (LIndS `  X )  /\  ( ( LSpan `  X
) `  Y )  =  ( Base `  X
) ) ) )
31 islinds3.j . . 3  |-  J  =  (LBasis `  X )
324, 31, 16islbs4 27302 . 2  |-  ( Y  e.  J  <->  ( Y  e.  (LIndS `  X )  /\  ( ( LSpan `  X
) `  Y )  =  ( Base `  X
) ) )
3330, 32syl6bbr 254 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  <->  Y  e.  J
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   ↾s cress 13149   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689   LSpanclspn 15728  LBasisclbs 15827  LIndSclinds 27275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lbs 15828  df-lindf 27276  df-linds 27277
  Copyright terms: Public domain W3C validator