Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islinds4 Structured version   Unicode version

Theorem islinds4 27282
Description: A set is independent in a vector space iff it is a subset of some basis. (AC equivalent) (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
islinds4.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
Assertion
Ref Expression
islinds4  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  <->  E. b  e.  J  Y  C_  b ) )
Distinct variable groups:    J, b    W, b    Y, b

Proof of Theorem islinds4
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  Y  e.  (LIndS `  W )
)  ->  W  e.  LVec )
2 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
32linds1 27257 . . . . 5  |-  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  ->  Y  C_  ( Base `  W ) )
43adantl 453 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  Y  e.  (LIndS `  W )
)  ->  Y  C_  ( Base `  W ) )
5 lveclmod 16178 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
65ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  Y  e.  (LIndS `  W ) )  /\  x  e.  Y )  ->  W  e.  LMod )
7 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
87lvecdrng 16177 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
9 drngnzr 16333 . . . . . . . 8  |-  ( (Scalar `  W )  e.  DivRing  -> 
(Scalar `  W )  e. NzRing )
108, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  (Scalar `  W )  e. NzRing )
1110ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  Y  e.  (LIndS `  W ) )  /\  x  e.  Y )  ->  (Scalar `  W )  e. NzRing )
12 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  Y  e.  (LIndS `  W ) )  /\  x  e.  Y )  ->  Y  e.  (LIndS `  W ) )
13 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  Y  e.  (LIndS `  W ) )  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  Y )
14 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
1514, 7lindsind2 27266 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  (Scalar `  W )  e. NzRing )  /\  Y  e.  (LIndS `  W )  /\  x  e.  Y
)  ->  -.  x  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( Y  \  { x } ) ) )
166, 11, 12, 13, 15syl211anc 1190 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  Y  e.  (LIndS `  W ) )  /\  x  e.  Y )  ->  -.  x  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( Y  \  {
x } ) ) )
1716ralrimiva 2789 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  Y  e.  (LIndS `  W )
)  ->  A. x  e.  Y  -.  x  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( Y  \  { x } ) ) )
18 islinds4.j . . . . 5  |-  J  =  (LBasis `  W )
1918, 2, 14lbsext 16235 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  Y  C_  ( Base `  W
)  /\  A. x  e.  Y  -.  x  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( Y  \  { x } ) ) )  ->  E. b  e.  J  Y  C_  b
)
201, 4, 17, 19syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  Y  e.  (LIndS `  W )
)  ->  E. b  e.  J  Y  C_  b
)
2120ex 424 . 2  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  ->  E. b  e.  J  Y  C_  b
) )
225ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  b  e.  J )  /\  Y  C_  b
)  ->  W  e.  LMod )
2318lbslinds 27280 . . . . . . 7  |-  J  C_  (LIndS `  W )
2423sseli 3344 . . . . . 6  |-  ( b  e.  J  ->  b  e.  (LIndS `  W )
)
2524ad2antlr 708 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  b  e.  J )  /\  Y  C_  b
)  ->  b  e.  (LIndS `  W ) )
26 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  b  e.  J )  /\  Y  C_  b
)  ->  Y  C_  b
)
27 lindsss 27271 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  b  e.  (LIndS `  W )  /\  Y  C_  b )  ->  Y  e.  (LIndS `  W ) )
2822, 25, 26, 27syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  b  e.  J )  /\  Y  C_  b
)  ->  Y  e.  (LIndS `  W ) )
2928ex 424 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  b  e.  J )  ->  ( Y  C_  b  ->  Y  e.  (LIndS `  W )
) )
3029rexlimdva 2830 . 2  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( E. b  e.  J  Y  C_  b  ->  Y  e.  (LIndS `  W ) ) )
3121, 30impbid 184 1  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  <->  E. b  e.  J  Y  C_  b ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706    \ cdif 3317    C_ wss 3320   {csn 3814   ` cfv 5454   Basecbs 13469  Scalarcsca 13532   DivRingcdr 15835   LModclmod 15950   LSpanclspn 16047  LBasisclbs 16146   LVecclvec 16174  NzRingcnzr 16328  LIndSclinds 27252
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-ac2 8343  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-rpss 6522  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-ac 7997  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-drng 15837  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-lbs 16147  df-lvec 16175  df-nzr 16329  df-lindf 27253  df-linds 27254
  Copyright terms: Public domain W3C validator