Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islinds4 Unicode version

Theorem islinds4 27408
Description: A set is independent in a vector space iff it is a subset of some basis. (AC equivalent) (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
islinds4.j  |-  J  =  (LBasis `  W )
Assertion
Ref Expression
islinds4  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  <->  E. b  e.  J  Y  C_  b ) )
Distinct variable groups:    J, b    W, b    Y, b

Proof of Theorem islinds4
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  Y  e.  (LIndS `  W )
)  ->  W  e.  LVec )
2 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
32linds1 27383 . . . . 5  |-  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  ->  Y  C_  ( Base `  W ) )
43adantl 452 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  Y  e.  (LIndS `  W )
)  ->  Y  C_  ( Base `  W ) )
5 lveclmod 15875 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
65ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  Y  e.  (LIndS `  W ) )  /\  x  e.  Y )  ->  W  e.  LMod )
7 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
87lvecdrng 15874 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
9 drngnzr 16030 . . . . . . . 8  |-  ( (Scalar `  W )  e.  DivRing  -> 
(Scalar `  W )  e. NzRing )
108, 9syl 15 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  (Scalar `  W )  e. NzRing )
1110ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  Y  e.  (LIndS `  W ) )  /\  x  e.  Y )  ->  (Scalar `  W )  e. NzRing )
12 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  Y  e.  (LIndS `  W ) )  /\  x  e.  Y )  ->  Y  e.  (LIndS `  W ) )
13 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  Y  e.  (LIndS `  W ) )  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  Y )
14 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
1514, 7lindsind2 27392 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  (Scalar `  W )  e. NzRing )  /\  Y  e.  (LIndS `  W )  /\  x  e.  Y
)  ->  -.  x  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( Y  \  { x } ) ) )
166, 11, 12, 13, 15syl211anc 1188 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  Y  e.  (LIndS `  W ) )  /\  x  e.  Y )  ->  -.  x  e.  ( ( LSpan `  W ) `  ( Y  \  {
x } ) ) )
1716ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  Y  e.  (LIndS `  W )
)  ->  A. x  e.  Y  -.  x  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( Y  \  { x } ) ) )
18 islinds4.j . . . . 5  |-  J  =  (LBasis `  W )
1918, 2, 14lbsext 15932 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  Y  C_  ( Base `  W
)  /\  A. x  e.  Y  -.  x  e.  ( ( LSpan `  W
) `  ( Y  \  { x } ) ) )  ->  E. b  e.  J  Y  C_  b
)
201, 4, 17, 19syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  Y  e.  (LIndS `  W )
)  ->  E. b  e.  J  Y  C_  b
)
2120ex 423 . 2  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  ->  E. b  e.  J  Y  C_  b
) )
225ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  b  e.  J )  /\  Y  C_  b
)  ->  W  e.  LMod )
2318lbslinds 27406 . . . . . . 7  |-  J  C_  (LIndS `  W )
2423sseli 3189 . . . . . 6  |-  ( b  e.  J  ->  b  e.  (LIndS `  W )
)
2524ad2antlr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  b  e.  J )  /\  Y  C_  b
)  ->  b  e.  (LIndS `  W ) )
26 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  b  e.  J )  /\  Y  C_  b
)  ->  Y  C_  b
)
27 lindsss 27397 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  b  e.  (LIndS `  W )  /\  Y  C_  b )  ->  Y  e.  (LIndS `  W ) )
2822, 25, 26, 27syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  b  e.  J )  /\  Y  C_  b
)  ->  Y  e.  (LIndS `  W ) )
2928ex 423 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  b  e.  J )  ->  ( Y  C_  b  ->  Y  e.  (LIndS `  W )
) )
3029rexlimdva 2680 . 2  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( E. b  e.  J  Y  C_  b  ->  Y  e.  (LIndS `  W ) ) )
3121, 30impbid 183 1  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( Y  e.  (LIndS `  W
)  <->  E. b  e.  J  Y  C_  b ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    \ cdif 3162    C_ wss 3165   {csn 3653   ` cfv 5271   Basecbs 13164  Scalarcsca 13227   DivRingcdr 15528   LModclmod 15643   LSpanclspn 15744  LBasisclbs 15843   LVecclvec 15871  NzRingcnzr 16025  LIndSclinds 27378
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-ac2 8105  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-rpss 6293  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-ac 7759  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lbs 15844  df-lvec 15872  df-nzr 16026  df-lindf 27379  df-linds 27380
  Copyright terms: Public domain W3C validator