Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islly2 Unicode version

Theorem islly2 17226
 Description: An alternative expression for Locally when passes to open subspaces: A space is locally if every point is contained in an open neighborhood with property . (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
restlly.1 t
islly2.2
Assertion
Ref Expression
islly2 Locally t
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem islly2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 llytop 17214 . . . 4 Locally
21adantl 452 . . 3 Locally
3 simplr 731 . . . . . 6 Locally Locally
42adantr 451 . . . . . . 7 Locally
5 islly2.2 . . . . . . . 8
65topopn 16668 . . . . . . 7
74, 6syl 15 . . . . . 6 Locally
8 simpr 447 . . . . . 6 Locally
9 llyi 17216 . . . . . 6 Locally t
103, 7, 8, 9syl3anc 1182 . . . . 5 Locally t
11 3simpc 954 . . . . . 6 t t
1211reximi 2663 . . . . 5 t t
1310, 12syl 15 . . . 4 Locally t
1413ralrimiva 2639 . . 3 Locally t
152, 14jca 518 . 2 Locally t
16 simprl 732 . . 3 t
17 elssuni 3871 . . . . . . . . 9
1817, 5syl6sseqr 3238 . . . . . . . 8
1918adantl 452 . . . . . . 7
20 ssralv 3250 . . . . . . 7 t t
2119, 20syl 15 . . . . . 6 t t
22 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . 13 t
23 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . 13 t
24 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13 t
25 inopn 16661 . . . . . . . . . . . . 13
2622, 23, 24, 25syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12 t
27 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . 14
28 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15
2928elpw2 4191 . . . . . . . . . . . . . 14
3027, 29mpbir 200 . . . . . . . . . . . . 13
3130a1i 10 . . . . . . . . . . . 12 t
32 elin 3371 . . . . . . . . . . . 12
3326, 31, 32sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11 t
34 simplrr 737 . . . . . . . . . . . 12 t
35 simprrl 740 . . . . . . . . . . . 12 t
36 elin 3371 . . . . . . . . . . . 12
3734, 35, 36sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11 t
38 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . 14
3938a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13 t
40 restabs 16912 . . . . . . . . . . . . 13 t t t
4122, 39, 24, 40syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12 t t t t
42 elrestr 13349 . . . . . . . . . . . . . 14 t
4322, 24, 23, 42syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13 t t
44 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . 14 t t
45 restlly.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 t
4645ralrimivva 2648 . . . . . . . . . . . . . . 15 t
4746ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14 t t
48 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 t t t t
4948eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . 16 t t t t
5049raleqbi1dv 2757 . . . . . . . . . . . . . . 15 t t t t t
5150rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . 14 t t t t t
5244, 47, 51sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13 t t t t
53 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15 t t t t
5453eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . 14 t t t t
5554rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . 13 t t t t t t
5643, 52, 55sylc 56 . . . . . . . . . . . 12 t t t
5741, 56eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . 11 t t
58 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . 13
59 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . 14 t t
6059eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . 13 t t
6158, 60anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12 t t
6261rspcev 2897 . . . . . . . . . . 11 t t
6333, 37, 57, 62syl12anc 1180 . . . . . . . . . 10 t t
6463expr 598 . . . . . . . . 9 t t
6564rexlimdva 2680 . . . . . . . 8 t t
6665anassrs 629 . . . . . . 7 t t
6766ralimdva 2634 . . . . . 6 t t
6821, 67syld 40 . . . . 5 t t
6968ralrimdva 2646 . . . 4 t t
7069impr 602 . . 3 t t
71 islly 17210 . . 3 Locally t
7216, 70, 71sylanbrc 645 . 2 t Locally
7315, 72impbida 805 1 Locally t
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  wrex 2557   cin 3164   wss 3165  cpw 3638  cuni 3843  (class class class)co 5874   ↾t crest 13341  ctop 16647  Locally clly 17206 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-rest 13343  df-top 16652  df-lly 17208
 Copyright terms: Public domain W3C validator