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Theorem islly2 17226
Description: An alternative expression for  J  e. Locally  A when 
A passes to open subspaces: A space is locally  A if every point is contained in an open neighborhood with property  A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
restlly.1  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  x  e.  j ) )  -> 
( jt  x )  e.  A
)
islly2.2  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
islly2  |-  ( ph  ->  ( J  e. Locally  A  <->  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) ) )
Distinct variable groups:    u, j, x, y, A    j, J, u, x, y    ph, j, u, x, y    u, X, y
Allowed substitution hints:    X( x, j)

Proof of Theorem islly2
Dummy variables  v 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 llytop 17214 . . . 4  |-  ( J  e. Locally  A  ->  J  e. 
Top )
21adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e. Locally  A )  ->  J  e.  Top )
3 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e. Locally  A )  /\  y  e.  X )  ->  J  e. Locally  A )
42adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  J  e. Locally  A )  /\  y  e.  X )  ->  J  e.  Top )
5 islly2.2 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
65topopn 16668 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
74, 6syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e. Locally  A )  /\  y  e.  X )  ->  X  e.  J )
8 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e. Locally  A )  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
9 llyi 17216 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. Locally  A  /\  X  e.  J  /\  y  e.  X )  ->  E. u  e.  J  ( u  C_  X  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
103, 7, 8, 9syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e. Locally  A )  /\  y  e.  X )  ->  E. u  e.  J  ( u  C_  X  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A ) )
11 3simpc 954 . . . . . 6  |-  ( ( u  C_  X  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
1211reximi 2663 . . . . 5  |-  ( E. u  e.  J  ( u  C_  X  /\  y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
1310, 12syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  J  e. Locally  A )  /\  y  e.  X )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
1413ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e. Locally  A )  ->  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) )
152, 14jca 518 . 2  |-  ( (
ph  /\  J  e. Locally  A )  ->  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )
16 simprl 732 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  J  e.  Top )
17 elssuni 3871 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  J  ->  z  C_ 
U. J )
1817, 5syl6sseqr 3238 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  J  ->  z  C_  X )
1918adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  z  e.  J )  ->  z  C_  X )
20 ssralv 3250 . . . . . . 7  |-  ( z 
C_  X  ->  ( A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  A. y  e.  z  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )
2119, 20syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  z  e.  J )  ->  ( A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  A. y  e.  z  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )
22 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  J  e.  Top )
23 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
z  e.  J )
24 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  u  e.  J )
25 inopn 16661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  z  e.  J  /\  u  e.  J )  ->  ( z  i^i  u
)  e.  J )
2622, 23, 24, 25syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( z  i^i  u
)  e.  J )
27 inss1 3402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  i^i  u )  C_  z
28 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  z  e. 
_V
2928elpw2 4191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  i^i  u )  e.  ~P z  <->  ( z  i^i  u )  C_  z
)
3027, 29mpbir 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  i^i  u )  e. 
~P z
3130a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( z  i^i  u
)  e.  ~P z
)
32 elin 3371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  i^i  u )  e.  ( J  i^i  ~P z )  <->  ( (
z  i^i  u )  e.  J  /\  (
z  i^i  u )  e.  ~P z ) )
3326, 31, 32sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( z  i^i  u
)  e.  ( J  i^i  ~P z ) )
34 simplrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
y  e.  z )
35 simprrl 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
y  e.  u )
36 elin 3371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( z  i^i  u )  <->  ( y  e.  z  /\  y  e.  u ) )
3734, 35, 36sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
y  e.  ( z  i^i  u ) )
38 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  i^i  u )  C_  u
3938a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( z  i^i  u
)  C_  u )
40 restabs 16912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( z  i^i  u
)  C_  u  /\  u  e.  J )  ->  ( ( Jt  u )t  ( z  i^i  u ) )  =  ( Jt  ( z  i^i  u ) ) )
4122, 39, 24, 40syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( ( Jt  u )t  ( z  i^i  u ) )  =  ( Jt  ( z  i^i  u ) ) )
42 elrestr 13349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  u  e.  J  /\  z  e.  J )  ->  ( z  i^i  u
)  e.  ( Jt  u ) )
4322, 24, 23, 42syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( z  i^i  u
)  e.  ( Jt  u ) )
44 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( Jt  u )  e.  A
)
45 restlly.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  x  e.  j ) )  -> 
( jt  x )  e.  A
)
4645ralrimivva 2648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  A. x  e.  j 
( jt  x )  e.  A
)
4746ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  A. j  e.  A  A. x  e.  j 
( jt  x )  e.  A
)
48 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  ( Jt  u )  ->  ( jt  x )  =  ( ( Jt  u )t  x ) )
4948eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  ( Jt  u )  ->  ( ( jt  x )  e.  A  <->  ( ( Jt  u )t  x )  e.  A
) )
5049raleqbi1dv 2757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  ( Jt  u )  ->  ( A. x  e.  j  ( jt  x
)  e.  A  <->  A. x  e.  ( Jt  u ) ( ( Jt  u )t  x )  e.  A
) )
5150rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Jt  u )  e.  A  ->  ( A. j  e.  A  A. x  e.  j  ( jt  x )  e.  A  ->  A. x  e.  ( Jt  u ) ( ( Jt  u )t  x )  e.  A
) )
5244, 47, 51sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  A. x  e.  ( Jt  u ) ( ( Jt  u )t  x )  e.  A
)
53 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( z  i^i  u )  ->  (
( Jt  u )t  x )  =  ( ( Jt  u )t  ( z  i^i  u ) ) )
5453eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( z  i^i  u )  ->  (
( ( Jt  u )t  x )  e.  A  <->  ( ( Jt  u )t  ( z  i^i  u ) )  e.  A ) )
5554rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  i^i  u )  e.  ( Jt  u )  ->  ( A. x  e.  ( Jt  u ) ( ( Jt  u )t  x )  e.  A  ->  ( ( Jt  u )t  ( z  i^i  u ) )  e.  A ) )
5643, 52, 55sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( ( Jt  u )t  ( z  i^i  u ) )  e.  A )
5741, 56eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  -> 
( Jt  ( z  i^i  u ) )  e.  A )
58 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  (
y  e.  v  <->  y  e.  ( z  i^i  u
) ) )
59 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  ( Jt  v )  =  ( Jt  ( z  i^i  u
) ) )
6059eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  (
( Jt  v )  e.  A  <->  ( Jt  ( z  i^i  u ) )  e.  A ) )
6158, 60anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( z  i^i  u )  ->  (
( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A )  <->  ( y  e.  ( z  i^i  u
)  /\  ( Jt  (
z  i^i  u )
)  e.  A ) ) )
6261rspcev 2897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  i^i  u
)  e.  ( J  i^i  ~P z )  /\  ( y  e.  ( z  i^i  u
)  /\  ( Jt  (
z  i^i  u )
)  e.  A ) )  ->  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) )
6333, 37, 57, 62syl12anc 1180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  (
u  e.  J  /\  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) )
6463expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  ( z  e.  J  /\  y  e.  z
) )  /\  u  e.  J )  ->  (
( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
6564rexlimdva 2680 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  (
z  e.  J  /\  y  e.  z )
)  ->  ( E. u  e.  J  (
y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
6665anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  z  e.  J
)  /\  y  e.  z )  ->  ( E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
6766ralimdva 2634 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  z  e.  J )  ->  ( A. y  e.  z  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  A. y  e.  z  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
6821, 67syld 40 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  J  e.  Top )  /\  z  e.  J )  ->  ( A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  A. y  e.  z  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
6968ralrimdva 2646 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  Top )  ->  ( A. y  e.  X  E. u  e.  J  (
y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
)  ->  A. z  e.  J  A. y  e.  z  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
7069impr 602 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  A. z  e.  J  A. y  e.  z  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A ) )
71 islly 17210 . . 3  |-  ( J  e. Locally  A  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. z  e.  J  A. y  e.  z  E. v  e.  ( J  i^i  ~P z ) ( y  e.  v  /\  ( Jt  v )  e.  A
) ) )
7216, 70, 71sylanbrc 645 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) )  ->  J  e. Locally  A )
7315, 72impbida 805 1  |-  ( ph  ->  ( J  e. Locally  A  <->  ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  X  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e.  A
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843  (class class class)co 5874   ↾t crest 13341   Topctop 16647  Locally clly 17206
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-rest 13343  df-top 16652  df-lly 17208
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