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Theorem islmhm2 16114
Description: A one-equation proof of linearity of a left module homomorphism, similar to df-lss 16009. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islmhm2.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
islmhm2.c  |-  C  =  ( Base `  T
)
islmhm2.k  |-  K  =  (Scalar `  S )
islmhm2.l  |-  L  =  (Scalar `  T )
islmhm2.e  |-  E  =  ( Base `  K
)
islmhm2.p  |-  .+  =  ( +g  `  S )
islmhm2.q  |-  .+^  =  ( +g  `  T )
islmhm2.m  |-  .x.  =  ( .s `  S )
islmhm2.n  |-  .X.  =  ( .s `  T )
Assertion
Ref Expression
islmhm2  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  ->  ( F  e.  ( S LMHom  T )  <->  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z,  .+^    x, B, y, z   
x, C, y, z   
x, E, y, z   
x, F, y, z   
x,  .+ , y, z    x, K, y, z    x, L, y, z    x, S, y, z    x, T, y, z    x,  .x. , z    x,  .X. , z
Allowed substitution hints:    .x. ( y)    .X. ( y)

Proof of Theorem islmhm2
StepHypRef Expression
1 islmhm2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
2 islmhm2.c . . . . 5  |-  C  =  ( Base `  T
)
31, 2lmhmf 16110 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  F : B
--> C )
4 islmhm2.k . . . . 5  |-  K  =  (Scalar `  S )
5 islmhm2.l . . . . 5  |-  L  =  (Scalar `  T )
64, 5lmhmsca 16106 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  L  =  K )
7 lmghm 16107 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
87adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  (
x  e.  E  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
9 lmhmlmod1 16109 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  S  e.  LMod )
109adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  (
x  e.  E  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  S  e.  LMod )
11 simpr1 963 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  (
x  e.  E  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  x  e.  E )
12 simpr2 964 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  (
x  e.  E  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  y  e.  B )
13 islmhm2.m . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  ( .s `  S )
14 islmhm2.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  ( Base `  K
)
151, 4, 13, 14lmodvscl 15967 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  x  e.  E  /\  y  e.  B )  ->  (
x  .x.  y )  e.  B )
1610, 11, 12, 15syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  (
x  e.  E  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( x  .x.  y )  e.  B
)
17 simpr3 965 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  (
x  e.  E  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  z  e.  B )
18 islmhm2.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  S )
19 islmhm2.q . . . . . . . 8  |-  .+^  =  ( +g  `  T )
201, 18, 19ghmlin 15011 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  (
x  .x.  y )  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  ( (
x  .x.  y )  .+  z ) )  =  ( ( F `  ( x  .x.  y ) )  .+^  ( F `  z ) ) )
218, 16, 17, 20syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  (
x  e.  E  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( F `  (
x  .x.  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) )
22 islmhm2.n . . . . . . . . 9  |-  .X.  =  ( .s `  T )
234, 14, 1, 13, 22lmhmlin 16111 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  x  e.  E  /\  y  e.  B )  ->  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( x  .X.  ( F `  y )
) )
24233adant3r3 1164 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  (
x  e.  E  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( F `  ( x  .x.  y
) )  =  ( x  .X.  ( F `  y ) ) )
2524oveq1d 6096 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  (
x  e.  E  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( ( F `  ( x  .x.  y ) )  .+^  ( F `  z ) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) ) )
2621, 25eqtrd 2468 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  (
x  e.  E  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) )
2726ralrimivvva 2799 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) )
283, 6, 273jca 1134 . . 3  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ( F : B --> C  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )
2928adantl 453 . 2  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  -> 
( F : B --> C  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )
30 lmodgrp 15957 . . . . . 6  |-  ( S  e.  LMod  ->  S  e. 
Grp )
31 lmodgrp 15957 . . . . . 6  |-  ( T  e.  LMod  ->  T  e. 
Grp )
3230, 31anim12i 550 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  ->  ( S  e.  Grp  /\  T  e.  Grp ) )
3332adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )  ->  ( S  e.  Grp  /\  T  e. 
Grp ) )
34 simpr1 963 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )  ->  F : B
--> C )
354lmodrng 15958 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  LMod  ->  K  e. 
Ring )
3635ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K ) )  ->  K  e.  Ring )
37 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  K )  =  ( 1r `  K
)
3814, 37rngidcl 15684 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Ring  ->  ( 1r
`  K )  e.  E )
39 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( 1r `  K )  ->  (
x  .x.  y )  =  ( ( 1r
`  K )  .x.  y ) )
4039oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( 1r `  K )  ->  (
( x  .x.  y
)  .+  z )  =  ( ( ( 1r `  K ) 
.x.  y )  .+  z ) )
4140fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( 1r `  K )  ->  ( F `  ( (
x  .x.  y )  .+  z ) )  =  ( F `  (
( ( 1r `  K )  .x.  y
)  .+  z )
) )
42 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( 1r `  K )  ->  (
x  .X.  ( F `  y ) )  =  ( ( 1r `  K )  .X.  ( F `  y )
) )
4342oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( 1r `  K )  ->  (
( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) )  =  ( ( ( 1r
`  K )  .X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) ) )
4441, 43eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( 1r `  K )  ->  (
( F `  (
( x  .x.  y
)  .+  z )
)  =  ( ( x  .X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) )  <->  ( F `  ( ( ( 1r
`  K )  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( ( 1r `  K )  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )
45442ralbidv 2747 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 1r `  K )  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y ) 
.+  z ) )  =  ( ( x 
.X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) )  <->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( ( 1r `  K
)  .x.  y )  .+  z ) )  =  ( ( ( 1r
`  K )  .X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) ) ) )
4645rspcv 3048 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1r `  K )  e.  E  ->  ( A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y ) 
.+  z ) )  =  ( ( x 
.X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( ( 1r
`  K )  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( ( 1r `  K )  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )
4736, 38, 463syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K ) )  ->  ( A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y ) 
.+  z ) )  =  ( ( x 
.X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( ( 1r
`  K )  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( ( 1r `  K )  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )
48 simplll 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  S  e.  LMod )
49 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  y  e.  B )
501, 4, 13, 37lmodvs1 15978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  y  e.  B )  ->  (
( 1r `  K
)  .x.  y )  =  y )
5148, 49, 50syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( 1r `  K
)  .x.  y )  =  y )
5251oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( ( 1r `  K )  .x.  y
)  .+  z )  =  ( y  .+  z ) )
5352fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  ( F `  ( (
( 1r `  K
)  .x.  y )  .+  z ) )  =  ( F `  (
y  .+  z )
) )
54 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  L  =  K )
5554fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  ( 1r `  L )  =  ( 1r `  K
) )
5655oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( 1r `  L
)  .X.  ( F `  y ) )  =  ( ( 1r `  K )  .X.  ( F `  y )
) )
57 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  T  e.  LMod )
58 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  F : B --> C )
5958, 49ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  ( F `  y )  e.  C )
60 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1r
`  L )  =  ( 1r `  L
)
612, 5, 22, 60lmodvs1 15978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  LMod  /\  ( F `  y )  e.  C )  ->  (
( 1r `  L
)  .X.  ( F `  y ) )  =  ( F `  y
) )
6257, 59, 61syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( 1r `  L
)  .X.  ( F `  y ) )  =  ( F `  y
) )
6356, 62eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( 1r `  K
)  .X.  ( F `  y ) )  =  ( F `  y
) )
6463oveq1d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( ( 1r `  K )  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) )  =  ( ( F `  y )  .+^  ( F `
 z ) ) )
6553, 64eqeq12d 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( F `  (
( ( 1r `  K )  .x.  y
)  .+  z )
)  =  ( ( ( 1r `  K
)  .X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) )  <->  ( F `  ( y  .+  z
) )  =  ( ( F `  y
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )
66652ralbidva 2745 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K ) )  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( ( 1r `  K
)  .x.  y )  .+  z ) )  =  ( ( ( 1r
`  K )  .X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) )  <->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( y  .+  z
) )  =  ( ( F `  y
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )
6747, 66sylibd 206 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K ) )  ->  ( A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y ) 
.+  z ) )  =  ( ( x 
.X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( y  .+  z
) )  =  ( ( F `  y
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )
6867exp32 589 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  ->  ( F : B --> C  -> 
( L  =  K  ->  ( A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( y 
.+  z ) )  =  ( ( F `
 y )  .+^  ( F `  z ) ) ) ) ) )
69683imp2 1168 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( y  .+  z
) )  =  ( ( F `  y
)  .+^  ( F `  z ) ) )
7034, 69jca 519 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )  ->  ( F : B --> C  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( y  .+  z ) )  =  ( ( F `  y )  .+^  ( F `
 z ) ) ) )
711, 2, 18, 19isghm 15006 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  <->  ( ( S  e.  Grp  /\  T  e.  Grp )  /\  ( F : B --> C  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( y  .+  z ) )  =  ( ( F `  y )  .+^  ( F `
 z ) ) ) ) )
7233, 70, 71sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
73 simpr2 964 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )  ->  L  =  K )
74 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
75 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
7674, 75ghmid 15012 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
7772, 76syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
7830ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  S  e.  Grp )
791, 74grpidcl 14833 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  Grp  ->  ( 0g `  S )  e.  B )
80 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( 0g `  S )  ->  (
( x  .x.  y
)  .+  z )  =  ( ( x 
.x.  y )  .+  ( 0g `  S ) ) )
8180fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( 0g `  S )  ->  ( F `  ( (
x  .x.  y )  .+  z ) )  =  ( F `  (
( x  .x.  y
)  .+  ( 0g `  S ) ) ) )
82 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( 0g `  S )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( 0g `  S ) ) )
8382oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( 0g `  S )  ->  (
( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  ( 0g `  S
) ) ) )
8481, 83eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( 0g `  S )  ->  (
( F `  (
( x  .x.  y
)  .+  z )
)  =  ( ( x  .X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) )  <->  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  ( 0g `  S ) ) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  ( 0g
`  S ) ) ) ) )
8584rspcv 3048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0g `  S )  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y ) 
.+  z ) )  =  ( ( x 
.X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) )  ->  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  ( 0g `  S ) ) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  ( 0g
`  S ) ) ) ) )
8678, 79, 853syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  ( A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y ) 
.+  z ) )  =  ( ( x 
.X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) )  ->  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  ( 0g `  S ) ) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  ( 0g
`  S ) ) ) ) )
87 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  S  e.  LMod )
88 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  x  e.  E )
89 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  y  e.  B )
9087, 88, 89, 15syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  .x.  y )  e.  B )
911, 18, 74grprid 14836 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  ( x  .x.  y )  e.  B )  -> 
( ( x  .x.  y )  .+  ( 0g `  S ) )  =  ( x  .x.  y ) )
9278, 90, 91syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( x  .x.  y
)  .+  ( 0g `  S ) )  =  ( x  .x.  y
) )
9392fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( (
x  .x.  y )  .+  ( 0g `  S
) ) )  =  ( F `  (
x  .x.  y )
) )
94 simplr3 1001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) )
9594oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( 0g `  T ) ) )
96 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  T  e.  LMod )
9796, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  T  e.  Grp )
98 simplr2 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  L  =  K )
9998fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  ( Base `  L )  =  ( Base `  K
) )
10099, 14syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  ( Base `  L )  =  E )
10188, 100eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  x  e.  ( Base `  L
) )
102 simplr1 999 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  F : B --> C )
103102, 89ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  ( F `  y )  e.  C )
104 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
1052, 5, 22, 104lmodvscl 15967 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  L
)  /\  ( F `  y )  e.  C
)  ->  ( x  .X.  ( F `  y
) )  e.  C
)
10696, 101, 103, 105syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  .X.  ( F `  y ) )  e.  C )
1072, 19, 75grprid 14836 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  Grp  /\  ( x  .X.  ( F `
 y ) )  e.  C )  -> 
( ( x  .X.  ( F `  y ) )  .+^  ( 0g `  T ) )  =  ( x  .X.  ( F `  y )
) )
10897, 106, 107syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( 0g `  T ) )  =  ( x  .X.  ( F `  y )
) )
10995, 108eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  =  ( x  .X.  ( F `  y ) ) )
11093, 109eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( F `  (
( x  .x.  y
)  .+  ( 0g `  S ) ) )  =  ( ( x 
.X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  ( 0g
`  S ) ) )  <->  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( x 
.X.  ( F `  y ) ) ) )
11186, 110sylibd 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  ( A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y ) 
.+  z ) )  =  ( ( x 
.X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) )  ->  ( F `  ( x  .x.  y
) )  =  ( x  .X.  ( F `  y ) ) ) )
112111anassrs 630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e. 
LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K  /\  ( F `  ( 0g
`  S ) )  =  ( 0g `  T ) ) )  /\  x  e.  E
)  /\  y  e.  B )  ->  ( A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y ) 
.+  z ) )  =  ( ( x 
.X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) )  ->  ( F `  ( x  .x.  y
) )  =  ( x  .X.  ( F `  y ) ) ) )
113112ralimdva 2784 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  x  e.  E )  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) )  ->  A. y  e.  B  ( F `  ( x 
.x.  y ) )  =  ( x  .X.  ( F `  y ) ) ) )
114113ralimdva 2784 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K  /\  ( F `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g
`  T ) ) )  ->  ( A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( (
x  .x.  y )  .+  z ) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) )  ->  A. x  e.  E  A. y  e.  B  ( F `  ( x 
.x.  y ) )  =  ( x  .X.  ( F `  y ) ) ) )
1151143exp2 1171 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  ->  ( F : B --> C  -> 
( L  =  K  ->  ( ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
)  ->  ( A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( (
x  .x.  y )  .+  z ) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) )  ->  A. x  e.  E  A. y  e.  B  ( F `  ( x 
.x.  y ) )  =  ( x  .X.  ( F `  y ) ) ) ) ) ) )
116115com45 85 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  ->  ( F : B --> C  -> 
( L  =  K  ->  ( A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) )  -> 
( ( F `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g
`  T )  ->  A. x  e.  E  A. y  e.  B  ( F `  ( x 
.x.  y ) )  =  ( x  .X.  ( F `  y ) ) ) ) ) ) )
1171163imp2 1168 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )  ->  ( ( F `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
)  ->  A. x  e.  E  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y
) )  =  ( x  .X.  ( F `  y ) ) ) )
11877, 117mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )  ->  A. x  e.  E  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y
) )  =  ( x  .X.  ( F `  y ) ) )
1194, 5, 14, 1, 13, 22islmhm3 16104 . . . 4  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  ->  ( F  e.  ( S LMHom  T )  <->  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( x 
.X.  ( F `  y ) ) ) ) )
120119adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )  ->  ( F  e.  ( S LMHom  T )  <-> 
( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( x  .X.  ( F `  y )
) ) ) )
12172, 73, 118, 120mpbir3and 1137 . 2  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )  ->  F  e.  ( S LMHom  T ) )
12229, 121impbida 806 1  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  ->  ( F  e.  ( S LMHom  T )  <->  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   +g cplusg 13529  Scalarcsca 13532   .scvsca 13533   0gc0g 13723   Grpcgrp 14685    GrpHom cghm 15003   Ringcrg 15660   1rcur 15662   LModclmod 15950   LMHom clmhm 16095
This theorem is referenced by:  isphld  16885
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-ghm 15004  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-lmod 15952  df-lmhm 16098
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