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Theorem islmhm2 15811
Description: A one-equation proof of linearity of a left module homomorphism, similar to df-lss 15706. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islmhm2.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
islmhm2.c  |-  C  =  ( Base `  T
)
islmhm2.k  |-  K  =  (Scalar `  S )
islmhm2.l  |-  L  =  (Scalar `  T )
islmhm2.e  |-  E  =  ( Base `  K
)
islmhm2.p  |-  .+  =  ( +g  `  S )
islmhm2.q  |-  .+^  =  ( +g  `  T )
islmhm2.m  |-  .x.  =  ( .s `  S )
islmhm2.n  |-  .X.  =  ( .s `  T )
Assertion
Ref Expression
islmhm2  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  ->  ( F  e.  ( S LMHom  T )  <->  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z,  .+^    x, B, y, z   
x, C, y, z   
x, E, y, z   
x, F, y, z   
x,  .+ , y, z    x, K, y, z    x, L, y, z    x, S, y, z    x, T, y, z    x,  .x. , z    x,  .X. , z
Allowed substitution hints:    .x. ( y)    .X. ( y)

Proof of Theorem islmhm2
StepHypRef Expression
1 islmhm2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
2 islmhm2.c . . . . 5  |-  C  =  ( Base `  T
)
31, 2lmhmf 15807 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  F : B
--> C )
4 islmhm2.k . . . . 5  |-  K  =  (Scalar `  S )
5 islmhm2.l . . . . 5  |-  L  =  (Scalar `  T )
64, 5lmhmsca 15803 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  L  =  K )
7 lmghm 15804 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
87adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  (
x  e.  E  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
9 lmhmlmod1 15806 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  S  e.  LMod )
109adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  (
x  e.  E  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  S  e.  LMod )
11 simpr1 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  (
x  e.  E  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  x  e.  E )
12 simpr2 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  (
x  e.  E  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  y  e.  B )
13 islmhm2.m . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  ( .s `  S )
14 islmhm2.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  ( Base `  K
)
151, 4, 13, 14lmodvscl 15660 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  x  e.  E  /\  y  e.  B )  ->  (
x  .x.  y )  e.  B )
1610, 11, 12, 15syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  (
x  e.  E  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( x  .x.  y )  e.  B
)
17 simpr3 963 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  (
x  e.  E  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  z  e.  B )
18 islmhm2.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  S )
19 islmhm2.q . . . . . . . 8  |-  .+^  =  ( +g  `  T )
201, 18, 19ghmlin 14704 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( S 
GrpHom  T )  /\  (
x  .x.  y )  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  ( (
x  .x.  y )  .+  z ) )  =  ( ( F `  ( x  .x.  y ) )  .+^  ( F `  z ) ) )
218, 16, 17, 20syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  (
x  e.  E  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( F `  (
x  .x.  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) )
22 islmhm2.n . . . . . . . . 9  |-  .X.  =  ( .s `  T )
234, 14, 1, 13, 22lmhmlin 15808 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  x  e.  E  /\  y  e.  B )  ->  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( x  .X.  ( F `  y )
) )
24233adant3r3 1162 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  (
x  e.  E  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( F `  ( x  .x.  y
) )  =  ( x  .X.  ( F `  y ) ) )
2524oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  (
x  e.  E  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( ( F `  ( x  .x.  y ) )  .+^  ( F `  z ) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) ) )
2621, 25eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( S LMHom 
T )  /\  (
x  e.  E  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) )
2726ralrimivvva 2649 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) )
283, 6, 273jca 1132 . . 3  |-  ( F  e.  ( S LMHom  T
)  ->  ( F : B --> C  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )
2928adantl 452 . 2  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  F  e.  ( S LMHom  T ) )  -> 
( F : B --> C  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )
30 lmodgrp 15650 . . . . . 6  |-  ( S  e.  LMod  ->  S  e. 
Grp )
31 lmodgrp 15650 . . . . . 6  |-  ( T  e.  LMod  ->  T  e. 
Grp )
3230, 31anim12i 549 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  ->  ( S  e.  Grp  /\  T  e.  Grp ) )
3332adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )  ->  ( S  e.  Grp  /\  T  e. 
Grp ) )
34 simpr1 961 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )  ->  F : B
--> C )
354lmodrng 15651 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  LMod  ->  K  e. 
Ring )
3635ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K ) )  ->  K  e.  Ring )
37 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  K )  =  ( 1r `  K
)
3814, 37rngidcl 15377 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  Ring  ->  ( 1r
`  K )  e.  E )
39 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( 1r `  K )  ->  (
x  .x.  y )  =  ( ( 1r
`  K )  .x.  y ) )
4039oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( 1r `  K )  ->  (
( x  .x.  y
)  .+  z )  =  ( ( ( 1r `  K ) 
.x.  y )  .+  z ) )
4140fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( 1r `  K )  ->  ( F `  ( (
x  .x.  y )  .+  z ) )  =  ( F `  (
( ( 1r `  K )  .x.  y
)  .+  z )
) )
42 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( 1r `  K )  ->  (
x  .X.  ( F `  y ) )  =  ( ( 1r `  K )  .X.  ( F `  y )
) )
4342oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( 1r `  K )  ->  (
( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) )  =  ( ( ( 1r
`  K )  .X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) ) )
4441, 43eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( 1r `  K )  ->  (
( F `  (
( x  .x.  y
)  .+  z )
)  =  ( ( x  .X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) )  <->  ( F `  ( ( ( 1r
`  K )  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( ( 1r `  K )  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )
45442ralbidv 2598 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 1r `  K )  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y ) 
.+  z ) )  =  ( ( x 
.X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) )  <->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( ( 1r `  K
)  .x.  y )  .+  z ) )  =  ( ( ( 1r
`  K )  .X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) ) ) )
4645rspcv 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1r `  K )  e.  E  ->  ( A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y ) 
.+  z ) )  =  ( ( x 
.X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( ( 1r
`  K )  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( ( 1r `  K )  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )
4736, 38, 463syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K ) )  ->  ( A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y ) 
.+  z ) )  =  ( ( x 
.X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( ( 1r
`  K )  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( ( 1r `  K )  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )
48 simplll 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  S  e.  LMod )
49 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  y  e.  B )
501, 4, 13, 37lmodvs1 15674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  y  e.  B )  ->  (
( 1r `  K
)  .x.  y )  =  y )
5148, 49, 50syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( 1r `  K
)  .x.  y )  =  y )
5251oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( ( 1r `  K )  .x.  y
)  .+  z )  =  ( y  .+  z ) )
5352fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  ( F `  ( (
( 1r `  K
)  .x.  y )  .+  z ) )  =  ( F `  (
y  .+  z )
) )
54 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  L  =  K )
5554fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  ( 1r `  L )  =  ( 1r `  K
) )
5655oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( 1r `  L
)  .X.  ( F `  y ) )  =  ( ( 1r `  K )  .X.  ( F `  y )
) )
57 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  T  e.  LMod )
58 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  F : B --> C )
59 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : B --> C  /\  y  e.  B )  ->  ( F `  y
)  e.  C )
6058, 49, 59syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  ( F `  y )  e.  C )
61 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1r
`  L )  =  ( 1r `  L
)
622, 5, 22, 61lmodvs1 15674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  LMod  /\  ( F `  y )  e.  C )  ->  (
( 1r `  L
)  .X.  ( F `  y ) )  =  ( F `  y
) )
6357, 60, 62syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( 1r `  L
)  .X.  ( F `  y ) )  =  ( F `  y
) )
6456, 63eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( 1r `  K
)  .X.  ( F `  y ) )  =  ( F `  y
) )
6564oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( ( 1r `  K )  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) )  =  ( ( F `  y )  .+^  ( F `
 z ) ) )
6653, 65eqeq12d 2310 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B
) )  ->  (
( F `  (
( ( 1r `  K )  .x.  y
)  .+  z )
)  =  ( ( ( 1r `  K
)  .X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) )  <->  ( F `  ( y  .+  z
) )  =  ( ( F `  y
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )
67662ralbidva 2596 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K ) )  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( ( 1r `  K
)  .x.  y )  .+  z ) )  =  ( ( ( 1r
`  K )  .X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) )  <->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( y  .+  z
) )  =  ( ( F `  y
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )
6847, 67sylibd 205 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K ) )  ->  ( A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y ) 
.+  z ) )  =  ( ( x 
.X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( y  .+  z
) )  =  ( ( F `  y
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )
6968exp32 588 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  ->  ( F : B --> C  -> 
( L  =  K  ->  ( A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( y 
.+  z ) )  =  ( ( F `
 y )  .+^  ( F `  z ) ) ) ) ) )
70693imp2 1166 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( y  .+  z
) )  =  ( ( F `  y
)  .+^  ( F `  z ) ) )
7134, 70jca 518 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )  ->  ( F : B --> C  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( y  .+  z ) )  =  ( ( F `  y )  .+^  ( F `
 z ) ) ) )
721, 2, 18, 19isghm 14699 . . . 4  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  <->  ( ( S  e.  Grp  /\  T  e.  Grp )  /\  ( F : B --> C  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( y  .+  z ) )  =  ( ( F `  y )  .+^  ( F `
 z ) ) ) ) )
7333, 71, 72sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )  ->  F  e.  ( S  GrpHom  T ) )
74 simpr2 962 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )  ->  L  =  K )
75 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
76 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  T )  =  ( 0g `  T
)
7775, 76ghmid 14705 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
7873, 77syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )  ->  ( F `  ( 0g `  S
) )  =  ( 0g `  T ) )
7930ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  S  e.  Grp )
801, 75grpidcl 14526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  Grp  ->  ( 0g `  S )  e.  B )
81 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( 0g `  S )  ->  (
( x  .x.  y
)  .+  z )  =  ( ( x 
.x.  y )  .+  ( 0g `  S ) ) )
8281fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( 0g `  S )  ->  ( F `  ( (
x  .x.  y )  .+  z ) )  =  ( F `  (
( x  .x.  y
)  .+  ( 0g `  S ) ) ) )
83 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( 0g `  S )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( 0g `  S ) ) )
8483oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( 0g `  S )  ->  (
( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  ( 0g `  S
) ) ) )
8582, 84eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( 0g `  S )  ->  (
( F `  (
( x  .x.  y
)  .+  z )
)  =  ( ( x  .X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) )  <->  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  ( 0g `  S ) ) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  ( 0g
`  S ) ) ) ) )
8685rspcv 2893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0g `  S )  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y ) 
.+  z ) )  =  ( ( x 
.X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) )  ->  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  ( 0g `  S ) ) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  ( 0g
`  S ) ) ) ) )
8779, 80, 863syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  ( A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y ) 
.+  z ) )  =  ( ( x 
.X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) )  ->  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  ( 0g `  S ) ) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  ( 0g
`  S ) ) ) ) )
88 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  S  e.  LMod )
89 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  x  e.  E )
90 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  y  e.  B )
9188, 89, 90, 15syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  .x.  y )  e.  B )
921, 18, 75grprid 14529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  Grp  /\  ( x  .x.  y )  e.  B )  -> 
( ( x  .x.  y )  .+  ( 0g `  S ) )  =  ( x  .x.  y ) )
9379, 91, 92syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( x  .x.  y
)  .+  ( 0g `  S ) )  =  ( x  .x.  y
) )
9493fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( (
x  .x.  y )  .+  ( 0g `  S
) ) )  =  ( F `  (
x  .x.  y )
) )
95 simplr3 999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) )
9695oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( 0g `  T ) ) )
97 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  T  e.  LMod )
9897, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  T  e.  Grp )
99 simplr2 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  L  =  K )
10099fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  ( Base `  L )  =  ( Base `  K
) )
101100, 14syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  ( Base `  L )  =  E )
10289, 101eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  x  e.  ( Base `  L
) )
103 simplr1 997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  F : B --> C )
104103, 90, 59syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  ( F `  y )  e.  C )
105 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
1062, 5, 22, 105lmodvscl 15660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T  e.  LMod  /\  x  e.  ( Base `  L
)  /\  ( F `  y )  e.  C
)  ->  ( x  .X.  ( F `  y
) )  e.  C
)
10797, 102, 104, 106syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x  .X.  ( F `  y ) )  e.  C )
1082, 19, 76grprid 14529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  Grp  /\  ( x  .X.  ( F `
 y ) )  e.  C )  -> 
( ( x  .X.  ( F `  y ) )  .+^  ( 0g `  T ) )  =  ( x  .X.  ( F `  y )
) )
10998, 107, 108syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( 0g `  T ) )  =  ( x  .X.  ( F `  y )
) )
11096, 109eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  ( 0g `  S ) ) )  =  ( x  .X.  ( F `  y ) ) )
11194, 110eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  (
( F `  (
( x  .x.  y
)  .+  ( 0g `  S ) ) )  =  ( ( x 
.X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  ( 0g
`  S ) ) )  <->  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( x 
.X.  ( F `  y ) ) ) )
11287, 111sylibd 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  ( x  e.  E  /\  y  e.  B
) )  ->  ( A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y ) 
.+  z ) )  =  ( ( x 
.X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) )  ->  ( F `  ( x  .x.  y
) )  =  ( x  .X.  ( F `  y ) ) ) )
113112anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e. 
LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K  /\  ( F `  ( 0g
`  S ) )  =  ( 0g `  T ) ) )  /\  x  e.  E
)  /\  y  e.  B )  ->  ( A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y ) 
.+  z ) )  =  ( ( x 
.X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) )  ->  ( F `  ( x  .x.  y
) )  =  ( x  .X.  ( F `  y ) ) ) )
114113ralimdva 2634 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. 
LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
) ) )  /\  x  e.  E )  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) )  ->  A. y  e.  B  ( F `  ( x 
.x.  y ) )  =  ( x  .X.  ( F `  y ) ) ) )
115114ralimdva 2634 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K  /\  ( F `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g
`  T ) ) )  ->  ( A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( (
x  .x.  y )  .+  z ) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) )  ->  A. x  e.  E  A. y  e.  B  ( F `  ( x 
.x.  y ) )  =  ( x  .X.  ( F `  y ) ) ) )
1161153exp2 1169 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  ->  ( F : B --> C  -> 
( L  =  K  ->  ( ( F `
 ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
)  ->  ( A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( (
x  .x.  y )  .+  z ) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y ) )  .+^  ( F `  z ) )  ->  A. x  e.  E  A. y  e.  B  ( F `  ( x 
.x.  y ) )  =  ( x  .X.  ( F `  y ) ) ) ) ) ) )
117116com45 83 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  ->  ( F : B --> C  -> 
( L  =  K  ->  ( A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) )  -> 
( ( F `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g
`  T )  ->  A. x  e.  E  A. y  e.  B  ( F `  ( x 
.x.  y ) )  =  ( x  .X.  ( F `  y ) ) ) ) ) ) )
1181173imp2 1166 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )  ->  ( ( F `  ( 0g `  S ) )  =  ( 0g `  T
)  ->  A. x  e.  E  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y
) )  =  ( x  .X.  ( F `  y ) ) ) )
11978, 118mpd 14 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )  ->  A. x  e.  E  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y
) )  =  ( x  .X.  ( F `  y ) ) )
1204, 5, 14, 1, 13, 22islmhm3 15801 . . . 4  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  ->  ( F  e.  ( S LMHom  T )  <->  ( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( x 
.X.  ( F `  y ) ) ) ) )
121120adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )  ->  ( F  e.  ( S LMHom  T )  <-> 
( F  e.  ( S  GrpHom  T )  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  ( F `  ( x  .x.  y ) )  =  ( x  .X.  ( F `  y )
) ) ) )
12273, 74, 119, 121mpbir3and 1135 . 2  |-  ( ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  /\  ( F : B --> C  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) )  ->  F  e.  ( S LMHom  T ) )
12329, 122impbida 805 1  |-  ( ( S  e.  LMod  /\  T  e.  LMod )  ->  ( F  e.  ( S LMHom  T )  <->  ( F : B
--> C  /\  L  =  K  /\  A. x  e.  E  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  z
) )  =  ( ( x  .X.  ( F `  y )
)  .+^  ( F `  z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378    GrpHom cghm 14696   Ringcrg 15353   1rcur 15355   LModclmod 15643   LMHom clmhm 15792
This theorem is referenced by:  isphld  16574
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-ghm 14697  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-lmod 15645  df-lmhm 15795
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