Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islmhm2 Structured version   Unicode version

Theorem islmhm2 16114
 Description: A one-equation proof of linearity of a left module homomorphism, similar to df-lss 16009. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islmhm2.b
islmhm2.c
islmhm2.k Scalar
islmhm2.l Scalar
islmhm2.e
islmhm2.p
islmhm2.q
islmhm2.m
islmhm2.n
Assertion
Ref Expression
islmhm2 LMHom
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   , ,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   , ,   , ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem islmhm2
StepHypRef Expression
1 islmhm2.b . . . . 5
2 islmhm2.c . . . . 5
31, 2lmhmf 16110 . . . 4 LMHom
4 islmhm2.k . . . . 5 Scalar
5 islmhm2.l . . . . 5 Scalar
64, 5lmhmsca 16106 . . . 4 LMHom
7 lmghm 16107 . . . . . . . 8 LMHom
87adantr 452 . . . . . . 7 LMHom
9 lmhmlmod1 16109 . . . . . . . . 9 LMHom
109adantr 452 . . . . . . . 8 LMHom
11 simpr1 963 . . . . . . . 8 LMHom
12 simpr2 964 . . . . . . . 8 LMHom
13 islmhm2.m . . . . . . . . 9
14 islmhm2.e . . . . . . . . 9
151, 4, 13, 14lmodvscl 15967 . . . . . . . 8
1610, 11, 12, 15syl3anc 1184 . . . . . . 7 LMHom
17 simpr3 965 . . . . . . 7 LMHom
18 islmhm2.p . . . . . . . 8
19 islmhm2.q . . . . . . . 8
201, 18, 19ghmlin 15011 . . . . . . 7
218, 16, 17, 20syl3anc 1184 . . . . . 6 LMHom
22 islmhm2.n . . . . . . . . 9
234, 14, 1, 13, 22lmhmlin 16111 . . . . . . . 8 LMHom
24233adant3r3 1164 . . . . . . 7 LMHom
2524oveq1d 6096 . . . . . 6 LMHom
2621, 25eqtrd 2468 . . . . 5 LMHom
2726ralrimivvva 2799 . . . 4 LMHom
283, 6, 273jca 1134 . . 3 LMHom
30 lmodgrp 15957 . . . . . 6
31 lmodgrp 15957 . . . . . 6
3230, 31anim12i 550 . . . . 5
3332adantr 452 . . . 4
34 simpr1 963 . . . . 5
354lmodrng 15958 . . . . . . . . . 10
3635ad2antrr 707 . . . . . . . . 9
37 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
3814, 37rngidcl 15684 . . . . . . . . 9
39 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . . 14
4039oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . 13
4140fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . 12
42 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . . 13
4342oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . 12
4441, 43eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . 11
45442ralbidv 2747 . . . . . . . . . 10
4645rspcv 3048 . . . . . . . . 9
4736, 38, 463syl 19 . . . . . . . 8
48 simplll 735 . . . . . . . . . . . . 13
49 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13
501, 4, 13, 37lmodvs1 15978 . . . . . . . . . . . . 13
5148, 49, 50syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
5251oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11
5352fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10
54 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . 14
5554fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . 13
5655oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . 12
57 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . 13
58 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . 14
5958, 49ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . 13
60 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . 14
612, 5, 22, 60lmodvs1 15978 . . . . . . . . . . . . 13
6257, 59, 61syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
6356, 62eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . 11
6463oveq1d 6096 . . . . . . . . . 10
6553, 64eqeq12d 2450 . . . . . . . . 9
66652ralbidva 2745 . . . . . . . 8
6747, 66sylibd 206 . . . . . . 7
6867exp32 589 . . . . . 6
69683imp2 1168 . . . . 5
7034, 69jca 519 . . . 4
711, 2, 18, 19isghm 15006 . . . 4
7233, 70, 71sylanbrc 646 . . 3
73 simpr2 964 . . 3
74 eqid 2436 . . . . . 6
75 eqid 2436 . . . . . 6
7674, 75ghmid 15012 . . . . 5
7772, 76syl 16 . . . 4
7830ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . 12
791, 74grpidcl 14833 . . . . . . . . . . . 12
80 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15
8180fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . 14
82 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . 15
8382oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . 14
8481, 83eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . . . 13
8584rspcv 3048 . . . . . . . . . . . 12
8678, 79, 853syl 19 . . . . . . . . . . 11
87 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . 15
88 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15
89 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15
9087, 88, 89, 15syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14
911, 18, 74grprid 14836 . . . . . . . . . . . . . 14
9278, 90, 91syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13
9392fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . 12
94 simplr3 1001 . . . . . . . . . . . . . 14
9594oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . 13
96 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . 15
9796, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
98 simplr2 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9998fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10099, 14syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10188, 100eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . 15
102 simplr1 999 . . . . . . . . . . . . . . . 16
103102, 89ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15
104 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1052, 5, 22, 104lmodvscl 15967 . . . . . . . . . . . . . . 15
10696, 101, 103, 105syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14
1072, 19, 75grprid 14836 . . . . . . . . . . . . . 14
10897, 106, 107syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13
10995, 108eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12
11093, 109eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . 11
11186, 110sylibd 206 . . . . . . . . . 10
112111anassrs 630 . . . . . . . . 9
113112ralimdva 2784 . . . . . . . 8
114113ralimdva 2784 . . . . . . 7
1151143exp2 1171 . . . . . 6
116115com45 85 . . . . 5
1171163imp2 1168 . . . 4
11877, 117mpd 15 . . 3
1194, 5, 14, 1, 13, 22islmhm3 16104 . . . 4 LMHom
120119adantr 452 . . 3 LMHom
12172, 73, 118, 120mpbir3and 1137 . 2 LMHom
12229, 121impbida 806 1 LMHom
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469   cplusg 13529  Scalarcsca 13532  cvsca 13533  c0g 13723  cgrp 14685   cghm 15003  crg 15660  cur 15662  clmod 15950   LMHom clmhm 16095 This theorem is referenced by:  isphld  16885 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-ghm 15004  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-lmod 15952  df-lmhm 16098
 Copyright terms: Public domain W3C validator