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Theorem islmod 15647
Description: The predicate "is a left module". (Contributed by NM, 4-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
islmod.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
islmod.a  |-  .+  =  ( +g  `  W )
islmod.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
islmod.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
islmod.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
islmod.p  |-  .+^  =  ( +g  `  F )
islmod.t  |-  .X.  =  ( .r `  F )
islmod.u  |-  .1.  =  ( 1r `  F )
Assertion
Ref Expression
islmod  |-  ( W  e.  LMod  <->  ( W  e. 
Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. q  e.  K  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r 
.x.  w )  e.  V  /\  ( r 
.x.  ( w  .+  x ) )  =  ( ( r  .x.  w )  .+  (
r  .x.  x )
)  /\  ( (
q  .+^  r )  .x.  w )  =  ( ( q  .x.  w
)  .+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) ) )
Distinct variable groups:    r, q, w, x, F    K, q,
r, w, x    .+^ , q, r, w, x    V, q, r, w, x    .+ , q,
r, w, x    .1. , q, r, w, x    .X. , q,
r, w, x    .x. , q,
r, w, x
Allowed substitution hints:    W( x, w, r, q)

Proof of Theorem islmod
Dummy variables  f 
a  g  k  p  s  v  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( g  =  W  ->  ( Base `  g )  =  ( Base `  W
) )
2 islmod.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
31, 2syl6eqr 2346 . . . . . 6  |-  ( g  =  W  ->  ( Base `  g )  =  V )
4 dfsbcq 3006 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  g )  =  V  ->  ( [. ( Base `  g )  /  v ]. [. ( +g  `  g )  / 
a ]. [. (Scalar `  g )  /  f ]. [. ( .s `  g )  /  s ]. [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [. V  / 
v ]. [. ( +g  `  g )  /  a ]. [. (Scalar `  g
)  /  f ]. [. ( .s `  g
)  /  s ]. [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) ) )
53, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( g  =  W  ->  ( [. ( Base `  g
)  /  v ]. [. ( +g  `  g
)  /  a ]. [. (Scalar `  g )  /  f ]. [. ( .s `  g )  / 
s ]. [. ( Base `  f )  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [. V  / 
v ]. [. ( +g  `  g )  /  a ]. [. (Scalar `  g
)  /  f ]. [. ( .s `  g
)  /  s ]. [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) ) )
6 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  W  ->  ( +g  `  g )  =  ( +g  `  W
) )
7 islmod.a . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  W )
86, 7syl6eqr 2346 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  W  ->  ( +g  `  g )  = 
.+  )
9 dfsbcq 3006 . . . . . . . 8  |-  ( ( +g  `  g )  =  .+  ->  ( [. ( +g  `  g
)  /  a ]. [. (Scalar `  g )  /  f ]. [. ( .s `  g )  / 
s ]. [. ( Base `  f )  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [.  .+  /  a ]. [. (Scalar `  g
)  /  f ]. [. ( .s `  g
)  /  s ]. [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) ) )
108, 9syl 15 . . . . . . 7  |-  ( g  =  W  ->  ( [. ( +g  `  g
)  /  a ]. [. (Scalar `  g )  /  f ]. [. ( .s `  g )  / 
s ]. [. ( Base `  f )  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [.  .+  /  a ]. [. (Scalar `  g
)  /  f ]. [. ( .s `  g
)  /  s ]. [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) ) )
11 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  W  ->  (Scalar `  g )  =  (Scalar `  W ) )
12 islmod.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  (Scalar `  W )
1311, 12syl6eqr 2346 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  W  ->  (Scalar `  g )  =  F )
14 dfsbcq 3006 . . . . . . . . . 10  |-  ( (Scalar `  g )  =  F  ->  ( [. (Scalar `  g )  /  f ]. [. ( .s `  g )  /  s ]. [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [. F  / 
f ]. [. ( .s
`  g )  / 
s ]. [. ( Base `  f )  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) ) )
1513, 14syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  W  ->  ( [. (Scalar `  g )  /  f ]. [. ( .s `  g )  / 
s ]. [. ( Base `  f )  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [. F  / 
f ]. [. ( .s
`  g )  / 
s ]. [. ( Base `  f )  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) ) )
16 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  W  ->  ( .s `  g )  =  ( .s `  W
) )
17 islmod.s . . . . . . . . . . . 12  |-  .x.  =  ( .s `  W )
1816, 17syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  W  ->  ( .s `  g )  = 
.x.  )
19 dfsbcq 3006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( .s `  g )  =  .x.  ->  ( [. ( .s `  g
)  /  s ]. [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [.  .x.  /  s ]. [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) ) )
2018, 19syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  W  ->  ( [. ( .s `  g
)  /  s ]. [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [.  .x.  /  s ]. [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) ) )
2120sbcbidv 3058 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  W  ->  ( [. F  /  f ]. [. ( .s `  g )  /  s ]. [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [. F  / 
f ]. [.  .x.  /  s ]. [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) ) )
2215, 21bitrd 244 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  W  ->  ( [. (Scalar `  g )  /  f ]. [. ( .s `  g )  / 
s ]. [. ( Base `  f )  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [. F  / 
f ]. [.  .x.  /  s ]. [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) ) )
2322sbcbidv 3058 . . . . . . 7  |-  ( g  =  W  ->  ( [.  .+  /  a ]. [. (Scalar `  g )  /  f ]. [. ( .s `  g )  / 
s ]. [. ( Base `  f )  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [.  .+  /  a ]. [. F  /  f ]. [.  .x.  /  s ]. [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) ) )
2410, 23bitrd 244 . . . . . 6  |-  ( g  =  W  ->  ( [. ( +g  `  g
)  /  a ]. [. (Scalar `  g )  /  f ]. [. ( .s `  g )  / 
s ]. [. ( Base `  f )  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [.  .+  /  a ]. [. F  /  f ]. [.  .x.  /  s ]. [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) ) )
2524sbcbidv 3058 . . . . 5  |-  ( g  =  W  ->  ( [. V  /  v ]. [. ( +g  `  g
)  /  a ]. [. (Scalar `  g )  /  f ]. [. ( .s `  g )  / 
s ]. [. ( Base `  f )  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [. V  / 
v ]. [.  .+  /  a ]. [. F  /  f ]. [.  .x.  /  s ]. [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) ) )
265, 25bitrd 244 . . . 4  |-  ( g  =  W  ->  ( [. ( Base `  g
)  /  v ]. [. ( +g  `  g
)  /  a ]. [. (Scalar `  g )  /  f ]. [. ( .s `  g )  / 
s ]. [. ( Base `  f )  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [. V  / 
v ]. [.  .+  /  a ]. [. F  /  f ]. [.  .x.  /  s ]. [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) ) )
27 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  e.  _V
282, 27eqeltri 2366 . . . . . 6  |-  V  e. 
_V
29 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  W )  e.  _V
307, 29eqeltri 2366 . . . . . 6  |-  .+  e.  _V
31 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  W )  e.  _V
3212, 31eqeltri 2366 . . . . . 6  |-  F  e. 
_V
33 simp3 957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  f  =  F )
3433fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( Base `  f )  =  ( Base `  F
) )
35 islmod.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( Base `  F
)
3634, 35syl6eqr 2346 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( Base `  f )  =  K )
37 dfsbcq 3006 . . . . . . . . 9  |-  ( (
Base `  f )  =  K  ->  ( [. ( Base `  f )  /  k ]. [. ( +g  `  f )  /  p ]. [. ( .r
`  f )  / 
t ]. ( f  e. 
Ring  /\  A. q  e.  k  A. r  e.  k  A. x  e.  v  A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  (
r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  (
( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r
`  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [. K  / 
k ]. [. ( +g  `  f )  /  p ]. [. ( .r `  f )  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) ) )
3836, 37syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [. K  / 
k ]. [. ( +g  `  f )  /  p ]. [. ( .r `  f )  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) ) )
3933fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( +g  `  f )  =  ( +g  `  F
) )
40 islmod.p . . . . . . . . . . . 12  |-  .+^  =  ( +g  `  F )
4139, 40syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( +g  `  f )  = 
.+^  )
42 dfsbcq 3006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( +g  `  f )  =  .+^  ->  ( [. ( +g  `  f )  /  p ]. [. ( .r `  f )  / 
t ]. ( f  e. 
Ring  /\  A. q  e.  k  A. r  e.  k  A. x  e.  v  A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  (
r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  (
( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r
`  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [.  .+^  /  p ]. [. ( .r `  f )  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) ) )
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [.  .+^  /  p ]. [. ( .r `  f )  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) ) )
4433fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( .r `  f )  =  ( .r `  F
) )
45 islmod.t . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .X.  =  ( .r `  F )
4644, 45syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( .r `  f )  = 
.X.  )
47 dfsbcq 3006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( .r `  f )  =  .X.  ->  ( [. ( .r `  f )  /  t ]. (
f  e.  Ring  /\  A. q  e.  k  A. r  e.  k  A. x  e.  v  A. w  e.  v  (
( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (
( 1r `  f
) s w )  =  w ) ) )  <->  [.  .X.  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) ) )
4846, 47syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [.  .X.  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) ) )
49 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( .r
`  F )  e. 
_V
5045, 49eqeltri 2366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .X.  e.  _V
51 oveq 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( t  =  .X.  ->  ( q t r )  =  ( q  .X.  r
) )
5251oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  =  .X.  ->  ( ( q t r ) s w )  =  ( ( q  .X.  r ) s w ) )
5352eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  =  .X.  ->  ( ( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  <->  ( (
q  .X.  r )
s w )  =  ( q s ( r s w ) ) ) )
5453anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  =  .X.  ->  ( ( ( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w )  <-> 
( ( ( q 
.X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r
`  f ) s w )  =  w ) ) )
5554anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  .X.  ->  ( ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (
( 1r `  f
) s w )  =  w ) )  <-> 
( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) )
56552ralbidv 2598 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  .X.  ->  ( A. x  e.  v  A. w  e.  v  (
( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (
( 1r `  f
) s w )  =  w ) )  <->  A. x  e.  v  A. w  e.  v 
( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) )
57562ralbidv 2598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  .X.  ->  ( A. q  e.  k  A. r  e.  k  A. x  e.  v  A. w  e.  v  (
( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (
( 1r `  f
) s w )  =  w ) )  <->  A. q  e.  k  A. r  e.  k  A. x  e.  v  A. w  e.  v 
( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) ) )
5857anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  .X.  ->  ( ( f  e.  Ring  /\  A. q  e.  k  A. r  e.  k  A. x  e.  v  A. w  e.  v  (
( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (
( 1r `  f
) s w )  =  w ) ) )  <->  ( f  e. 
Ring  /\  A. q  e.  k  A. r  e.  k  A. x  e.  v  A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  (
r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  (
( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q 
.X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r
`  f ) s w )  =  w ) ) ) ) )
5950, 58sbcie 3038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [.  .X.  /  t ]. (
f  e.  Ring  /\  A. q  e.  k  A. r  e.  k  A. x  e.  v  A. w  e.  v  (
( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (
( 1r `  f
) s w )  =  w ) ) )  <->  ( f  e. 
Ring  /\  A. q  e.  k  A. r  e.  k  A. x  e.  v  A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  (
r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  (
( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q 
.X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r
`  f ) s w )  =  w ) ) ) )
6033eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  (
f  e.  Ring  <->  F  e.  Ring ) )
61 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  v  =  V )
6261eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  (
( r s w )  e.  v  <->  ( r
s w )  e.  V ) )
63 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  a  =  .+  )
6463oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  (
w a x )  =  ( w  .+  x ) )
6564oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  (
r s ( w a x ) )  =  ( r s ( w  .+  x
) ) )
6663oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  (
( r s w ) a ( r s x ) )  =  ( ( r s w )  .+  ( r s x ) ) )
6765, 66eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  (
( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  <->  ( r
s ( w  .+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  (
r s x ) ) ) )
6863oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  (
( q s w ) a ( r s w ) )  =  ( ( q s w )  .+  ( r s w ) ) )
6968eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  (
( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) )  <->  ( (
q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  (
r s w ) ) ) )
7062, 67, 693anbi123d 1252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  (
( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  <->  ( ( r s w )  e.  V  /\  ( r s ( w  .+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  (
r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  (
r s w ) ) ) ) )
7133fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( 1r `  f )  =  ( 1r `  F
) )
72 islmod.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  .1.  =  ( 1r `  F )
7371, 72syl6eqr 2346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( 1r `  f )  =  .1.  )
7473oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  (
( 1r `  f
) s w )  =  (  .1.  s
w ) )
7574eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  (
( ( 1r `  f ) s w )  =  w  <->  (  .1.  s w )  =  w ) )
7675anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  (
( ( ( q 
.X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r
`  f ) s w )  =  w )  <->  ( ( ( q  .X.  r )
s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s w )  =  w ) ) )
7770, 76anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  (
( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) )  <->  ( ( ( r s w )  e.  V  /\  (
r s ( w 
.+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  ( r s x ) )  /\  (
( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q 
.X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s
w )  =  w ) ) ) )
7861, 77raleqbidv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( A. w  e.  v 
( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) )  <->  A. w  e.  V  ( ( ( r s w )  e.  V  /\  ( r s ( w  .+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  (
r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  (
r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s w )  =  w ) ) ) )
7961, 78raleqbidv 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( A. x  e.  v  A. w  e.  v 
( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) )  <->  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r s w )  e.  V  /\  ( r s ( w  .+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  (
r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  (
r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s w )  =  w ) ) ) )
80792ralbidv 2598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( A. q  e.  k  A. r  e.  k  A. x  e.  v  A. w  e.  v 
( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) )  <->  A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r s w )  e.  V  /\  ( r s ( w  .+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  (
r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  (
r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s w )  =  w ) ) ) )
8160, 80anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  (
( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  ( F  e.  Ring  /\  A. q  e.  k  A. r  e.  k  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( r s w )  e.  V  /\  ( r s ( w  .+  x ) )  =  ( ( r s w ) 
.+  ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) 
.+  ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )
s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s w )  =  w ) ) ) ) )
8259, 81syl5bb 248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( [.  .X.  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  ( F  e.  Ring  /\  A. q  e.  k  A. r  e.  k  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( r s w )  e.  V  /\  ( r s ( w  .+  x ) )  =  ( ( r s w ) 
.+  ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) 
.+  ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )
s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s w )  =  w ) ) ) ) )
8348, 82bitrd 244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  ( F  e.  Ring  /\  A. q  e.  k  A. r  e.  k  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( r s w )  e.  V  /\  ( r s ( w  .+  x ) )  =  ( ( r s w ) 
.+  ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) 
.+  ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )
s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s w )  =  w ) ) ) ) )
8483sbcbidv 3058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( [.  .+^  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [.  .+^  /  p ]. ( F  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r s w )  e.  V  /\  ( r s ( w  .+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  (
r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  (
r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s w )  =  w ) ) ) ) )
8543, 84bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [.  .+^  /  p ]. ( F  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r s w )  e.  V  /\  ( r s ( w  .+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  (
r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  (
r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s w )  =  w ) ) ) ) )
8685sbcbidv 3058 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( [. K  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [. K  / 
k ]. [.  .+^  /  p ]. ( F  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r s w )  e.  V  /\  ( r s ( w  .+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  (
r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  (
r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s w )  =  w ) ) ) ) )
8738, 86bitrd 244 . . . . . . 7  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [. K  / 
k ]. [.  .+^  /  p ]. ( F  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r s w )  e.  V  /\  ( r s ( w  .+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  (
r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  (
r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s w )  =  w ) ) ) ) )
8887sbcbidv 3058 . . . . . 6  |-  ( ( v  =  V  /\  a  =  .+  /\  f  =  F )  ->  ( [.  .x.  /  s ]. [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [.  .x.  /  s ]. [. K  /  k ]. [.  .+^  /  p ]. ( F  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r s w )  e.  V  /\  ( r s ( w  .+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  (
r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  (
r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s w )  =  w ) ) ) ) )
8928, 30, 32, 88sbc3ie 3073 . . . . 5  |-  ( [. V  /  v ]. [.  .+  /  a ]. [. F  /  f ]. [.  .x.  /  s ]. [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  [.  .x.  /  s ]. [. K  /  k ]. [.  .+^  /  p ]. ( F  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r s w )  e.  V  /\  ( r s ( w  .+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  (
r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  (
r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s w )  =  w ) ) ) )
90 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  W )  e. 
_V
9117, 90eqeltri 2366 . . . . . 6  |-  .x.  e.  _V
92 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( Base `  F )  e.  _V
9335, 92eqeltri 2366 . . . . . 6  |-  K  e. 
_V
94 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  F )  e.  _V
9540, 94eqeltri 2366 . . . . . 6  |-  .+^  e.  _V
96 simp2 956 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
k  =  K )
97 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
s  =  .x.  )
9897oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( r s w )  =  ( r 
.x.  w ) )
9998eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( ( r s w )  e.  V  <->  ( r  .x.  w )  e.  V ) )
10097oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( r s ( w  .+  x ) )  =  ( r 
.x.  ( w  .+  x ) ) )
10197oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( r s x )  =  ( r 
.x.  x ) )
10298, 101oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( ( r s w )  .+  (
r s x ) )  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) ) )
103100, 102eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( ( r s ( w  .+  x
) )  =  ( ( r s w )  .+  ( r s x ) )  <-> 
( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) ) ) )
104 simp3 957 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  ->  p  =  .+^  )
105104oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( q p r )  =  ( q 
.+^  r ) )
106105oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( ( q p r ) s w )  =  ( ( q  .+^  r )
s w ) )
10797oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( ( q  .+^  r ) s w )  =  ( ( q  .+^  r )  .x.  w ) )
108106, 107eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( ( q p r ) s w )  =  ( ( q  .+^  r )  .x.  w ) )
10997oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( q s w )  =  ( q 
.x.  w ) )
110109, 98oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( ( q s w )  .+  (
r s w ) )  =  ( ( q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) )
111108, 110eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  ( r s w ) )  <-> 
( ( q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) ) )
11299, 103, 1113anbi123d 1252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( ( ( r s w )  e.  V  /\  ( r s ( w  .+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  (
r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  (
r s w ) ) )  <->  ( (
r  .x.  w )  e.  V  /\  (
r  .x.  ( w  .+  x ) )  =  ( ( r  .x.  w )  .+  (
r  .x.  x )
)  /\  ( (
q  .+^  r )  .x.  w )  =  ( ( q  .x.  w
)  .+  ( r  .x.  w ) ) ) ) )
11397oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( ( q  .X.  r )  .x.  w ) )
11498oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( q s ( r s w ) )  =  ( q s ( r  .x.  w ) ) )
11597oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( q s ( r  .x.  w ) )  =  ( q 
.x.  ( r  .x.  w ) ) )
116114, 115eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( q s ( r s w ) )  =  ( q 
.x.  ( r  .x.  w ) ) )
117113, 116eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( ( ( q 
.X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  <-> 
( ( q  .X.  r )  .x.  w
)  =  ( q 
.x.  ( r  .x.  w ) ) ) )
11897oveqd 5891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
(  .1.  s w )  =  (  .1. 
.x.  w ) )
119118eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( (  .1.  s
w )  =  w  <-> 
(  .1.  .x.  w
)  =  w ) )
120117, 119anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( ( ( ( q  .X.  r )
s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s w )  =  w )  <->  ( (
( q  .X.  r
)  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r  .x.  w
) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) )
121112, 120anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( ( ( ( r s w )  e.  V  /\  (
r s ( w 
.+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  ( r s x ) )  /\  (
( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q 
.X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s
w )  =  w ) )  <->  ( (
( r  .x.  w
)  e.  V  /\  ( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) )  /\  ( ( q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) ) )
1221212ralbidv 2598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r s w )  e.  V  /\  (
r s ( w 
.+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  ( r s x ) )  /\  (
( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q 
.X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s
w )  =  w ) )  <->  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( r  .x.  w
)  e.  V  /\  ( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
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)  =  ( ( q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) ) )
12396, 122raleqbidv 2761 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( A. r  e.  k  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r s w )  e.  V  /\  (
r s ( w 
.+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  ( r s x ) )  /\  (
( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q 
.X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s
w )  =  w ) )  <->  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( r  .x.  w
)  e.  V  /\  ( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) )  /\  ( ( q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) ) )
12496, 123raleqbidv 2761 . . . . . . 7  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( A. q  e.  k  A. r  e.  k  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r s w )  e.  V  /\  (
r s ( w 
.+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  ( r s x ) )  /\  (
( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q 
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w )  =  w ) )  <->  A. q  e.  K  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( r  .x.  w
)  e.  V  /\  ( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) )  /\  ( ( q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) ) )
125124anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( ( s  =  .x.  /\  k  =  K  /\  p  =  .+^  )  -> 
( ( F  e. 
Ring  /\  A. q  e.  k  A. r  e.  k  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r s w )  e.  V  /\  (
r s ( w 
.+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  ( r s x ) )  /\  (
( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  ( r s w ) ) )  /\  ( ( ( q 
.X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s
w )  =  w ) ) )  <->  ( F  e.  Ring  /\  A. q  e.  K  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( r  .x.  w
)  e.  V  /\  ( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  x ) )  /\  ( ( q  .+^  r )  .x.  w
)  =  ( ( q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) ) ) )
12691, 93, 95, 125sbc3ie 3073 . . . . 5  |-  ( [.  .x.  /  s ]. [. K  /  k ]. [.  .+^  /  p ]. ( F  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r s w )  e.  V  /\  ( r s ( w  .+  x ) )  =  ( ( r s w )  .+  (
r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w )  .+  (
r s w ) ) )  /\  (
( ( q  .X.  r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  (  .1.  s w )  =  w ) ) )  <->  ( F  e. 
Ring  /\  A. q  e.  K  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r  .x.  w )  e.  V  /\  (
r  .x.  ( w  .+  x ) )  =  ( ( r  .x.  w )  .+  (
r  .x.  x )
)  /\  ( (
q  .+^  r )  .x.  w )  =  ( ( q  .x.  w
)  .+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) ) )
12789, 126bitri 240 . . . 4  |-  ( [. V  /  v ]. [.  .+  /  a ]. [. F  /  f ]. [.  .x.  /  s ]. [. ( Base `  f
)  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  ( F  e.  Ring  /\  A. q  e.  K  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( r  .x.  w
)  e.  V  /\  ( r  .x.  (
w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
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)  =  ( ( q  .x.  w ) 
.+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
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12826, 127syl6bb 252 . . 3  |-  ( g  =  W  ->  ( [. ( Base `  g
)  /  v ]. [. ( +g  `  g
)  /  a ]. [. (Scalar `  g )  /  f ]. [. ( .s `  g )  / 
s ]. [. ( Base `  f )  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
( ( q t r ) s w )  =  ( q s ( r s w ) )  /\  ( ( 1r `  f ) s w )  =  w ) ) )  <->  ( F  e.  Ring  /\  A. q  e.  K  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( r  .x.  w
)  e.  V  /\  ( r  .x.  (
w  .+  x )
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.+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) ) ) )
129 df-lmod 15645 . . 3  |-  LMod  =  { g  e.  Grp  | 
[. ( Base `  g
)  /  v ]. [. ( +g  `  g
)  /  a ]. [. (Scalar `  g )  /  f ]. [. ( .s `  g )  / 
s ]. [. ( Base `  f )  /  k ]. [. ( +g  `  f
)  /  p ]. [. ( .r `  f
)  /  t ]. ( f  e.  Ring  /\ 
A. q  e.  k 
A. r  e.  k 
A. x  e.  v 
A. w  e.  v  ( ( ( r s w )  e.  v  /\  ( r s ( w a x ) )  =  ( ( r s w ) a ( r s x ) )  /\  ( ( q p r ) s w )  =  ( ( q s w ) a ( r s w ) ) )  /\  (
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130128, 129elrab2 2938 . 2  |-  ( W  e.  LMod  <->  ( W  e. 
Grp  /\  ( F  e.  Ring  /\  A. q  e.  K  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( r  .x.  w
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w  .+  x )
)  =  ( ( r  .x.  w ) 
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.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) ) ) )
131 3anass 938 . 2  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. q  e.  K  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. w  e.  V  (
( ( r  .x.  w )  e.  V  /\  ( r  .x.  (
w  .+  x )
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.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) )  <->  ( W  e.  Grp  /\  ( F  e.  Ring  /\  A. q  e.  K  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( (
( r  .x.  w
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w  .+  x )
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.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) ) ) )
132130, 131bitr4i 243 1  |-  ( W  e.  LMod  <->  ( W  e. 
Grp  /\  F  e.  Ring  /\  A. q  e.  K  A. r  e.  K  A. x  e.  V  A. w  e.  V  ( ( ( r 
.x.  w )  e.  V  /\  ( r 
.x.  ( w  .+  x ) )  =  ( ( r  .x.  w )  .+  (
r  .x.  x )
)  /\  ( (
q  .+^  r )  .x.  w )  =  ( ( q  .x.  w
)  .+  ( r  .x.  w ) ) )  /\  ( ( ( q  .X.  r )  .x.  w )  =  ( q  .x.  ( r 
.x.  w ) )  /\  (  .1.  .x.  w )  =  w ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   [.wsbc 3004   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   Grpcgrp 14378   Ringcrg 15353   1rcur 15355   LModclmod 15643
This theorem is referenced by:  lmodlema  15648  islmodd  15649  lmodgrp  15650  lmodrng  15651  lmodprop2d  15703
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-nul 4165
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-iota 5235  df-fv 5279  df-ov 5877  df-lmod 15645
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