MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islno Unicode version

Theorem islno 21331
Description: The predicate "is a linear operator." (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnoval.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
lnoval.2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
lnoval.3  |-  G  =  ( +v `  U
)
lnoval.4  |-  H  =  ( +v `  W
)
lnoval.5  |-  R  =  ( .s OLD `  U
)
lnoval.6  |-  S  =  ( .s OLD `  W
)
lnoval.7  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
Assertion
Ref Expression
islno  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( T  e.  L  <->  ( T : X --> Y  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( T `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( T `  y ) ) H ( T `
 z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, U    x, W, y, z    y, X, z   
x, T, y, z
Allowed substitution hints:    R( x, y, z)    S( x, y, z)    G( x, y, z)    H( x, y, z)    L( x, y, z)    X( x)    Y( x, y, z)

Proof of Theorem islno
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnoval.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 lnoval.2 . . . 4  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
3 lnoval.3 . . . 4  |-  G  =  ( +v `  U
)
4 lnoval.4 . . . 4  |-  H  =  ( +v `  W
)
5 lnoval.5 . . . 4  |-  R  =  ( .s OLD `  U
)
6 lnoval.6 . . . 4  |-  S  =  ( .s OLD `  W
)
7 lnoval.7 . . . 4  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7lnoval 21330 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  L  =  { w  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( w `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( w `  y ) ) H ( w `
 z ) ) } )
98eleq2d 2350 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( T  e.  L  <->  T  e.  { w  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
w `  ( (
x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( w `  y ) ) H ( w `  z
) ) } ) )
10 fveq1 5524 . . . . . . 7  |-  ( w  =  T  ->  (
w `  ( (
x R y ) G z ) )  =  ( T `  ( ( x R y ) G z ) ) )
11 fveq1 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  T  ->  (
w `  y )  =  ( T `  y ) )
1211oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  T  ->  (
x S ( w `
 y ) )  =  ( x S ( T `  y
) ) )
13 fveq1 5524 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  T  ->  (
w `  z )  =  ( T `  z ) )
1412, 13oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( w  =  T  ->  (
( x S ( w `  y ) ) H ( w `
 z ) )  =  ( ( x S ( T `  y ) ) H ( T `  z
) ) )
1510, 14eqeq12d 2297 . . . . . 6  |-  ( w  =  T  ->  (
( w `  (
( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( w `
 y ) ) H ( w `  z ) )  <->  ( T `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( T `  y ) ) H ( T `
 z ) ) ) )
16152ralbidv 2585 . . . . 5  |-  ( w  =  T  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( w `  (
( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( w `
 y ) ) H ( w `  z ) )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( T `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( T `  y ) ) H ( T `
 z ) ) ) )
1716ralbidv 2563 . . . 4  |-  ( w  =  T  ->  ( A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
w `  ( (
x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( w `  y ) ) H ( w `  z
) )  <->  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( T `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( T `  y ) ) H ( T `
 z ) ) ) )
1817elrab 2923 . . 3  |-  ( T  e.  { w  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( w `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( w `  y ) ) H ( w `
 z ) ) }  <->  ( T  e.  ( Y  ^m  X
)  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( T `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( T `  y ) ) H ( T `
 z ) ) ) )
19 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( BaseSet `  W )  e.  _V
202, 19eqeltri 2353 . . . . 5  |-  Y  e. 
_V
21 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( BaseSet `  U )  e.  _V
221, 21eqeltri 2353 . . . . 5  |-  X  e. 
_V
2320, 22elmap 6796 . . . 4  |-  ( T  e.  ( Y  ^m  X )  <->  T : X
--> Y )
2423anbi1i 676 . . 3  |-  ( ( T  e.  ( Y  ^m  X )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( T `  ( (
x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( T `  y ) ) H ( T `  z
) ) )  <->  ( T : X --> Y  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( T `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( T `  y ) ) H ( T `
 z ) ) ) )
2518, 24bitri 240 . 2  |-  ( T  e.  { w  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( w `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( w `  y ) ) H ( w `
 z ) ) }  <->  ( T : X
--> Y  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( T `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( T `  y ) ) H ( T `
 z ) ) ) )
269, 25syl6bb 252 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( T  e.  L  <->  ( T : X --> Y  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( T `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( T `  y ) ) H ( T `
 z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   CCcc 8735   NrmCVeccnv 21140   +vcpv 21141   BaseSetcba 21142   .s
OLDcns 21143    LnOp clno 21318
This theorem is referenced by:  lnolin  21332  lnof  21333  lnocoi  21335  0lno  21368  ipblnfi  21434
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-lno 21322
  Copyright terms: Public domain W3C validator