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Theorem islno 22103
Description: The predicate "is a linear operator." (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnoval.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
lnoval.2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
lnoval.3  |-  G  =  ( +v `  U
)
lnoval.4  |-  H  =  ( +v `  W
)
lnoval.5  |-  R  =  ( .s OLD `  U
)
lnoval.6  |-  S  =  ( .s OLD `  W
)
lnoval.7  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
Assertion
Ref Expression
islno  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( T  e.  L  <->  ( T : X --> Y  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( T `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( T `  y ) ) H ( T `
 z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, U    x, W, y, z    y, X, z   
x, T, y, z
Allowed substitution hints:    R( x, y, z)    S( x, y, z)    G( x, y, z)    H( x, y, z)    L( x, y, z)    X( x)    Y( x, y, z)

Proof of Theorem islno
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnoval.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 lnoval.2 . . . 4  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
3 lnoval.3 . . . 4  |-  G  =  ( +v `  U
)
4 lnoval.4 . . . 4  |-  H  =  ( +v `  W
)
5 lnoval.5 . . . 4  |-  R  =  ( .s OLD `  U
)
6 lnoval.6 . . . 4  |-  S  =  ( .s OLD `  W
)
7 lnoval.7 . . . 4  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7lnoval 22102 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  L  =  { w  e.  ( Y  ^m  X )  |  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( w `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( w `  y ) ) H ( w `
 z ) ) } )
98eleq2d 2455 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( T  e.  L  <->  T  e.  { w  e.  ( Y  ^m  X )  | 
A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
w `  ( (
x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( w `  y ) ) H ( w `  z
) ) } ) )
10 fveq1 5668 . . . . . . 7  |-  ( w  =  T  ->  (
w `  ( (
x R y ) G z ) )  =  ( T `  ( ( x R y ) G z ) ) )
11 fveq1 5668 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  T  ->  (
w `  y )  =  ( T `  y ) )
1211oveq2d 6037 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  T  ->  (
x S ( w `
 y ) )  =  ( x S ( T `  y
) ) )
13 fveq1 5668 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  T  ->  (
w `  z )  =  ( T `  z ) )
1412, 13oveq12d 6039 . . . . . . 7  |-  ( w  =  T  ->  (
( x S ( w `  y ) ) H ( w `
 z ) )  =  ( ( x S ( T `  y ) ) H ( T `  z
) ) )
1510, 14eqeq12d 2402 . . . . . 6  |-  ( w  =  T  ->  (
( w `  (
( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( w `
 y ) ) H ( w `  z ) )  <->  ( T `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( T `  y ) ) H ( T `
 z ) ) ) )
16152ralbidv 2692 . . . . 5  |-  ( w  =  T  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( w `  (
( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( w `
 y ) ) H ( w `  z ) )  <->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( T `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( T `  y ) ) H ( T `
 z ) ) ) )
1716ralbidv 2670 . . . 4  |-  ( w  =  T  ->  ( A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
w `  ( (
x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( w `  y ) ) H ( w `  z
) )  <->  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( T `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( T `  y ) ) H ( T `
 z ) ) ) )
1817elrab 3036 . . 3  |-  ( T  e.  { w  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( w `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( w `  y ) ) H ( w `
 z ) ) }  <->  ( T  e.  ( Y  ^m  X
)  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( T `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( T `  y ) ) H ( T `
 z ) ) ) )
19 fvex 5683 . . . . . 6  |-  ( BaseSet `  W )  e.  _V
202, 19eqeltri 2458 . . . . 5  |-  Y  e. 
_V
21 fvex 5683 . . . . . 6  |-  ( BaseSet `  U )  e.  _V
221, 21eqeltri 2458 . . . . 5  |-  X  e. 
_V
2320, 22elmap 6979 . . . 4  |-  ( T  e.  ( Y  ^m  X )  <->  T : X
--> Y )
2423anbi1i 677 . . 3  |-  ( ( T  e.  ( Y  ^m  X )  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( T `  ( (
x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( T `  y ) ) H ( T `  z
) ) )  <->  ( T : X --> Y  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( T `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( T `  y ) ) H ( T `
 z ) ) ) )
2518, 24bitri 241 . 2  |-  ( T  e.  { w  e.  ( Y  ^m  X
)  |  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( w `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( w `  y ) ) H ( w `
 z ) ) }  <->  ( T : X
--> Y  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( T `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( T `  y ) ) H ( T `
 z ) ) ) )
269, 25syl6bb 253 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( T  e.  L  <->  ( T : X --> Y  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( T `  ( ( x R y ) G z ) )  =  ( ( x S ( T `  y ) ) H ( T `
 z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   {crab 2654   _Vcvv 2900   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    ^m cmap 6955   CCcc 8922   NrmCVeccnv 21912   +vcpv 21913   BaseSetcba 21914   .s
OLDcns 21915    LnOp clno 22090
This theorem is referenced by:  lnolin  22104  lnof  22105  lnocoi  22107  0lno  22140  ipblnfi  22206
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-map 6957  df-lno 22094
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