Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islnr2 Structured version   Unicode version

Theorem islnr2 27296
Description: Property of being a left-Noetherian ring in terms of finite generation of ideals (the usual "pure ring theory" definition). (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islnr2.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
islnr2.u  |-  U  =  (LIdeal `  R )
islnr2.n  |-  N  =  (RSpan `  R )
Assertion
Ref Expression
islnr2  |-  ( R  e. LNoeR 
<->  ( R  e.  Ring  /\ 
A. i  e.  U  E. g  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
i  =  ( N `
 g ) ) )
Distinct variable groups:    g, i, R    i, N, g    U, i, g    B, i, g

Proof of Theorem islnr2
StepHypRef Expression
1 islnr 27293 . 2  |-  ( R  e. LNoeR 
<->  ( R  e.  Ring  /\  (ringLMod `  R )  e. LNoeM ) )
2 rlmlmod 16277 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  (ringLMod `  R
)  e.  LMod )
3 islnr2.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
4 rlmbas 16268 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (ringLMod `  R
) )
53, 4eqtri 2457 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  (ringLMod `  R ) )
6 islnr2.u . . . . . . 7  |-  U  =  (LIdeal `  R )
7 lidlval 16266 . . . . . . 7  |-  (LIdeal `  R )  =  (
LSubSp `  (ringLMod `  R
) )
86, 7eqtri 2457 . . . . . 6  |-  U  =  ( LSubSp `  (ringLMod `  R
) )
9 islnr2.n . . . . . . 7  |-  N  =  (RSpan `  R )
10 rspval 16267 . . . . . . 7  |-  (RSpan `  R )  =  (
LSpan `  (ringLMod `  R
) )
119, 10eqtri 2457 . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  (ringLMod `  R
) )
125, 8, 11islnm2 27154 . . . . 5  |-  ( (ringLMod `  R )  e. LNoeM  <->  ( (ringLMod `  R )  e.  LMod  /\ 
A. i  e.  U  E. g  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
i  =  ( N `
 g ) ) )
1312baib 873 . . . 4  |-  ( (ringLMod `  R )  e.  LMod  -> 
( (ringLMod `  R )  e. LNoeM  <->  A. i  e.  U  E. g  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
i  =  ( N `
 g ) ) )
142, 13syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (ringLMod `  R )  e. LNoeM  <->  A. i  e.  U  E. g  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) i  =  ( N `  g ) ) )
1514pm5.32i 620 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (ringLMod `  R )  e. LNoeM )  <->  ( R  e.  Ring  /\  A. i  e.  U  E. g  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) i  =  ( N `  g ) ) )
161, 15bitri 242 1  |-  ( R  e. LNoeR 
<->  ( R  e.  Ring  /\ 
A. i  e.  U  E. g  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
i  =  ( N `
 g ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   E.wrex 2707    i^i cin 3320   ~Pcpw 3800   ` cfv 5455   Fincfn 7110   Basecbs 13470   Ringcrg 15661   LModclmod 15951   LSubSpclss 16009   LSpanclspn 16048  ringLModcrglmod 16242  LIdealclidl 16243  RSpancrsp 16244  LNoeMclnm 27151  LNoeRclnr 27291
This theorem is referenced by:  islnr3  27297  lnr2i  27298  lpirlnr  27299  hbt  27312
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-0g 13728  df-mnd 14691  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-subg 14942  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-ur 15666  df-subrg 15867  df-lmod 15953  df-lss 16010  df-lsp 16049  df-sra 16245  df-rgmod 16246  df-lidl 16247  df-rsp 16248  df-lfig 27144  df-lnm 27152  df-lnr 27292
  Copyright terms: Public domain W3C validator