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Theorem islocfin 25620
Description: The statement "is a locally finite cover." (Contributed by Jeff Hankins, 21-Jan-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
islocfin.1  |-  X  = 
U. J
islocfin.2  |-  Y  = 
U. A
Assertion
Ref Expression
islocfin  |-  ( A  e.  ( LocFin `  J
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  X  =  Y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
Distinct variable groups:    n, s, x, A    n, J, x   
x, X
Allowed substitution hints:    J( s)    X( n, s)    Y( x, n, s)

Proof of Theorem islocfin
Dummy variables  j 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-locfin 25590 . . . . 5  |-  LocFin  =  ( j  e.  Top  |->  { y  |  ( U. j  =  U. y  /\  A. x  e.  U. j E. n  e.  j  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) } )
21dmmptss 5248 . . . 4  |-  dom  LocFin  C_  Top
3 elfvdm 5634 . . . 4  |-  ( A  e.  ( LocFin `  J
)  ->  J  e.  dom  LocFin )
42, 3sseldi 3254 . . 3  |-  ( A  e.  ( LocFin `  J
)  ->  J  e.  Top )
5 eqimss2 3307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  =  U. y  ->  U. y  C_  X )
6 sspwuni 4066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  ~P X  <->  U. y  C_  X )
75, 6sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  U. y  -> 
y  C_  ~P X
)
8 vex 2867 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
98elpw 3707 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~P ~P X  <->  y 
C_  ~P X )
107, 9sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  U. y  -> 
y  e.  ~P ~P X )
1110adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  ->  y  e.  ~P ~P X )
1211abssi 3324 . . . . . . 7  |-  { y  |  ( X  = 
U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) }  C_  ~P ~P X
13 islocfin.1 . . . . . . . . 9  |-  X  = 
U. J
1413topopn 16752 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
15 pwexg 4273 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  J  ->  ~P X  e.  _V )
16 pwexg 4273 . . . . . . . 8  |-  ( ~P X  e.  _V  ->  ~P ~P X  e.  _V )
1714, 15, 163syl 18 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  ~P ~P X  e.  _V )
18 ssexg 4239 . . . . . . 7  |-  ( ( { y  |  ( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) }  C_  ~P ~P X  /\  ~P ~P X  e.  _V )  ->  { y  |  ( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) }  e.  _V )
1912, 17, 18sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  { y  |  ( X  = 
U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) }  e.  _V )
20 unieq 3915 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  J  ->  U. j  =  U. J )
2120, 13syl6eqr 2408 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  J  ->  U. j  =  X )
2221eqeq1d 2366 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  ( U. j  =  U. y 
<->  X  =  U. y
) )
23 rexeq 2813 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  J  ->  ( E. n  e.  j 
( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin )  <->  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
2421, 23raleqbidv 2824 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  ( A. x  e.  U. j E. n  e.  j 
( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin )  <->  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
2522, 24anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  (
( U. j  = 
U. y  /\  A. x  e.  U. j E. n  e.  j 
( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  <->  ( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) ) )
2625abbidv 2472 . . . . . . 7  |-  ( j  =  J  ->  { y  |  ( U. j  =  U. y  /\  A. x  e.  U. j E. n  e.  j 
( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) }  =  { y  |  ( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) } )
2726, 1fvmptg 5680 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  { y  |  ( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) }  e.  _V )  ->  ( LocFin `  J )  =  {
y  |  ( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) } )
2819, 27mpdan 649 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( LocFin `
 J )  =  { y  |  ( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) } )
2928eleq2d 2425 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  ( LocFin `  J )  <->  A  e.  { y  |  ( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) } ) )
30 elex 2872 . . . . . 6  |-  ( A  e.  { y  |  ( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) }  ->  A  e.  _V )
3130adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  { y  |  ( X  = 
U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) } )  ->  A  e.  _V )
32 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  Y )  ->  X  =  Y )
33 islocfin.2 . . . . . . . . . 10  |-  Y  = 
U. A
3432, 33syl6eq 2406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  Y )  ->  X  =  U. A
)
3514adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  Y )  ->  X  e.  J )
3634, 35eqeltrrd 2433 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  Y )  ->  U. A  e.  J
)
37 elex 2872 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  e.  J  ->  U. A  e.  _V )
3836, 37syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  Y )  ->  U. A  e.  _V )
39 uniexb 4642 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  <->  U. A  e. 
_V )
4038, 39sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  Y )  ->  A  e.  _V )
4140adantrr 697 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )  ->  A  e.  _V )
42 unieq 3915 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  U. y  =  U. A )
4342, 33syl6eqr 2408 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  U. y  =  Y )
4443eqeq2d 2369 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  ( X  =  U. y  <->  X  =  Y ) )
45 rabeq 2858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  =  {
s  e.  A  | 
( s  i^i  n
)  =/=  (/) } )
4645eleq1d 2424 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  ( { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin 
<->  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )
4746anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  (
( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin )  <->  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
4847rexbidv 2640 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  ( E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin )  <->  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
4948ralbidv 2639 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  ( A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin )  <->  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
5044, 49anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
( X  =  U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  <->  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) ) )
5150elabg 2991 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  { y  |  ( X  = 
U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) }  <->  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) ) )
5231, 41, 51pm5.21nd 868 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  { y  |  ( X  = 
U. y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  y  |  ( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) }  <->  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) ) )
5329, 52bitrd 244 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A  e.  ( LocFin `  J )  <->  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) ) )
544, 53biadan2 623 . 2  |-  ( A  e.  ( LocFin `  J
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) ) )
55 3anass 938 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  =  Y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  A  | 
( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) )  <->  ( J  e.  Top  /\  ( X  =  Y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  (
x  e.  n  /\  { s  e.  A  | 
( s  i^i  n
)  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) ) )
5654, 55bitr4i 243 1  |-  ( A  e.  ( LocFin `  J
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  X  =  Y  /\  A. x  e.  X  E. n  e.  J  ( x  e.  n  /\  { s  e.  A  |  ( s  i^i  n )  =/=  (/) }  e.  Fin ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   {cab 2344    =/= wne 2521   A.wral 2619   E.wrex 2620   {crab 2623   _Vcvv 2864    i^i cin 3227    C_ wss 3228   (/)c0 3531   ~Pcpw 3701   U.cuni 3906   dom cdm 4768   ` cfv 5334   Fincfn 6948   Topctop 16731   LocFinclocfin 25586
This theorem is referenced by:  finlocfin  25623  locfintop  25624  locfinbas  25625  locfinnei  25626  locfindis  25629  locfincf  25630
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3907  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-id 4388  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fv 5342  df-top 16736  df-locfin 25590
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