Theorem islpi 7690

Description: A point belonging to a set's closure but not the set itself is a limit point.

Hypothesis

Ref	Expression
lpfval.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
islpi	|- (((J e. Top /\ S (_ X) /\ (P e. ((cls` J)` S) /\ -. P e. S)) -> P e. ((limPt` J)` S))

Proof of Theorem islpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpfval.1	. . . . . 6 |- X = U.J
2	1	clslp 7689	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((cls` J)` S) = (S u. ((limPt` J)` S)))
3	2	eleq2d 1533	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (P e. ((cls` J)` S) <-> P e. (S u. ((limPt` J)` S))))
4		elun 2163	. . . . 5 |- (P e. (S u. ((limPt` J)` S)) <-> (P e. S \/ P e. ((limPt` J)` S)))
5		df-or 224	. . . . 5 |- ((P e. S \/ P e. ((limPt` J)` S)) <-> (-. P e. S -> P e. ((limPt` J)` S)))
6	4, 5	bitr 173	. . . 4 |- (P e. (S u. ((limPt` J)` S)) <-> (-. P e. S -> P e. ((limPt` J)` S)))
7	3, 6	syl6bb 534	. . 3 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (P e. ((cls` J)` S) <-> (-. P e. S -> P e. ((limPt` J)` S))))
8	7	biimpd 153	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (P e. ((cls` J)` S) -> (-. P e. S -> P e. ((limPt` J)` S))))
9	8	imp32 363	1 |- (((J e. Top /\ S (_ X) /\ (P e. ((cls` J)` S) /\ -. P e. S)) -> P e. ((limPt` J)` S))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   u. cun 2035   (_ wss 2037  U.cuni 2493  ` cfv 3172  Topctop 7530  clsccl 7604  limPtclp 7681

This theorem is referenced by:  metelcls 7900

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-iin 2559  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188  df-top 7534  df-cld 7605  df-ntr 7606  df-cls 7607  df-nei 7654  df-lp 7682

Copyright terms: Public domain