MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islpir2 Unicode version

Theorem islpir2 16102
Description: Principal ideal rings are where all ideals are principal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lpival.p  |-  P  =  (LPIdeal `  R )
lpiss.u  |-  U  =  (LIdeal `  R )
Assertion
Ref Expression
islpir2  |-  ( R  e. LPIR 
<->  ( R  e.  Ring  /\  U  C_  P )
)

Proof of Theorem islpir2
StepHypRef Expression
1 lpival.p . . 3  |-  P  =  (LPIdeal `  R )
2 lpiss.u . . 3  |-  U  =  (LIdeal `  R )
31, 2islpir 16100 . 2  |-  ( R  e. LPIR 
<->  ( R  e.  Ring  /\  U  =  P ) )
41, 2lpiss 16101 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  C_  U )
54biantrud 493 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( U 
C_  P  <->  ( U  C_  P  /\  P  C_  U ) ) )
6 eqss 3270 . . . 4  |-  ( U  =  P  <->  ( U  C_  P  /\  P  C_  U ) )
75, 6syl6rbbr 255 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( U  =  P  <->  U  C_  P
) )
87pm5.32i 618 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  U  =  P )  <->  ( R  e.  Ring  /\  U  C_  P
) )
93, 8bitri 240 1  |-  ( R  e. LPIR 
<->  ( R  e.  Ring  /\  U  C_  P )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    C_ wss 3228   ` cfv 5337   Ringcrg 15436  LIdealclidl 16022  LPIdealclpidl 16092  LPIRclpir 16093
This theorem is referenced by:  drnglpir  16104  zlpir  16550  ply1lpir  19668
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-0g 13503  df-mnd 14466  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-sbg 14590  df-subg 14717  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-ur 15441  df-subrg 15642  df-lmod 15728  df-lss 15789  df-lsp 15828  df-sra 16024  df-rgmod 16025  df-lidl 16026  df-rsp 16027  df-lpidl 16094  df-lpir 16095
  Copyright terms: Public domain W3C validator