MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islpir2 Unicode version

Theorem islpir2 16285
Description: Principal ideal rings are where all ideals are principal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lpival.p  |-  P  =  (LPIdeal `  R )
lpiss.u  |-  U  =  (LIdeal `  R )
Assertion
Ref Expression
islpir2  |-  ( R  e. LPIR 
<->  ( R  e.  Ring  /\  U  C_  P )
)

Proof of Theorem islpir2
StepHypRef Expression
1 lpival.p . . 3  |-  P  =  (LPIdeal `  R )
2 lpiss.u . . 3  |-  U  =  (LIdeal `  R )
31, 2islpir 16283 . 2  |-  ( R  e. LPIR 
<->  ( R  e.  Ring  /\  U  =  P ) )
41, 2lpiss 16284 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  C_  U )
54biantrud 494 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( U 
C_  P  <->  ( U  C_  P  /\  P  C_  U ) ) )
6 eqss 3331 . . . 4  |-  ( U  =  P  <->  ( U  C_  P  /\  P  C_  U ) )
75, 6syl6rbbr 256 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( U  =  P  <->  U  C_  P
) )
87pm5.32i 619 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  U  =  P )  <->  ( R  e.  Ring  /\  U  C_  P
) )
93, 8bitri 241 1  |-  ( R  e. LPIR 
<->  ( R  e.  Ring  /\  U  C_  P )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3288   ` cfv 5421   Ringcrg 15623  LIdealclidl 16205  LPIdealclpidl 16275  LPIRclpir 16276
This theorem is referenced by:  drnglpir  16287  zlpir  16734  ply1lpir  20062
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-0g 13690  df-mnd 14653  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-sbg 14777  df-subg 14904  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-ur 15628  df-subrg 15829  df-lmod 15915  df-lss 15972  df-lsp 16011  df-sra 16207  df-rgmod 16208  df-lidl 16209  df-rsp 16210  df-lpidl 16277  df-lpir 16278
  Copyright terms: Public domain W3C validator