Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islpln5 Unicode version

Theorem islpln5 29724
Description: The predicate "is a lattice plane" in terms of atoms. (Contributed by NM, 24-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islpln5.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
islpln5.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
islpln5.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
islpln5.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
islpln5.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
islpln5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  P  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
Distinct variable groups:    q, p, r, A    B, p, q, r    .\/ , p, q, r    K, p, q, r    .<_ , p, q, r    X, p, q, r
Allowed substitution hints:    P( r, q, p)

Proof of Theorem islpln5
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islpln5.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 islpln5.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 islpln5.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 islpln5.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
5 eqid 2283 . . 3  |-  ( LLines `  K )  =  (
LLines `  K )
6 islpln5.p . . 3  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
71, 2, 3, 4, 5, 6islpln3 29722 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  P  <->  E. y  e.  ( LLines `  K ) E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) )
8 rexcom4 2807 . . . . . . 7  |-  ( E. q  e.  A  E. y E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) )  <->  E. y E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
98rexbii 2568 . . . . . 6  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. y E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) )  <->  E. p  e.  A  E. y E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
10 rexcom4 2807 . . . . . 6  |-  ( E. p  e.  A  E. y E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) )  <->  E. y E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
119, 10bitri 240 . . . . 5  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. y E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) )  <->  E. y E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
12 simpll 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A ) )  ->  K  e.  HL )
13 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A ) )  ->  p  e.  A )
14 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A ) )  -> 
q  e.  A )
151, 3, 4hlatjcl 29556 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  q  e.  A )  ->  ( p  .\/  q
)  e.  B )
1612, 13, 14, 15syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A ) )  -> 
( p  .\/  q
)  e.  B )
1716biantrurd 494 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A ) )  -> 
( E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  <->  ( (
p  .\/  q )  e.  B  /\  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) ) )
18 r19.41v 2693 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <-> 
( E. r  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
19 an13 774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. r  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <-> 
( y  =  ( p  .\/  q )  /\  ( p  =/=  q  /\  E. r  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) ) ) )
2018, 19bitri 240 . . . . . . . . 9  |-  ( E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <-> 
( y  =  ( p  .\/  q )  /\  ( p  =/=  q  /\  E. r  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) ) ) )
2120exbii 1569 . . . . . . . 8  |-  ( E. y E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) )  <->  E. y
( y  =  ( p  .\/  q )  /\  ( p  =/=  q  /\  E. r  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) ) ) )
22 ovex 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( p 
.\/  q )  e. 
_V
23 an12 772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  =/=  q  /\  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) )  <->  ( y  e.  B  /\  (
p  =/=  q  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) ) )
24 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  (
y  e.  B  <->  ( p  .\/  q )  e.  B
) )
25 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  (
r  .<_  y  <->  r  .<_  ( p  .\/  q ) ) )
2625notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  ( -.  r  .<_  y  <->  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) ) )
27 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  (
y  .\/  r )  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r ) )
2827eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  ( X  =  ( y  .\/  r )  <->  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )
2926, 28anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  (
( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) )  <->  ( -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
3029anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  (
( p  =/=  q  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  <->  ( p  =/=  q  /\  ( -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) ) )
31 3anass 938 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) )  <->  ( p  =/=  q  /\  ( -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
3230, 31syl6bbr 254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  (
( p  =/=  q  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  <->  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
3324, 32anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  (
( y  e.  B  /\  ( p  =/=  q  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) )  <->  ( (
p  .\/  q )  e.  B  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) ) )
3423, 33syl5bb 248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  (
( p  =/=  q  /\  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) )  <->  ( (
p  .\/  q )  e.  B  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) ) )
3534rexbidv 2564 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  ( E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) )  <->  E. r  e.  A  ( (
p  .\/  q )  e.  B  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) ) )
36 r19.42v 2694 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) )  <->  ( p  =/=  q  /\  E. r  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) ) )
37 r19.42v 2694 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. r  e.  A  ( ( p  .\/  q
)  e.  B  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <-> 
( ( p  .\/  q )  e.  B  /\  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
3835, 36, 373bitr3g 278 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( p  .\/  q )  ->  (
( p  =/=  q  /\  E. r  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) )  <->  ( (
p  .\/  q )  e.  B  /\  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) ) )
3922, 38ceqsexv 2823 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( y  =  ( p  .\/  q
)  /\  ( p  =/=  q  /\  E. r  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) ) )  <->  ( (
p  .\/  q )  e.  B  /\  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
4021, 39bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( E. y E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) )  <->  ( (
p  .\/  q )  e.  B  /\  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
4117, 40syl6rbbr 255 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A ) )  -> 
( E. y E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <->  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
42412rexbidva 2584 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. y E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
4311, 42syl5rbbr 251 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  <->  E. y E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) ) )
441, 3, 4, 5islln2 29700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  (
y  e.  ( LLines `  K )  <->  ( y  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) ) ) )
4544adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( y  e.  (
LLines `  K )  <->  ( y  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) ) ) )
4645anbi1d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  <->  ( (
y  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r
) ) ) ) )
47 r19.42v 2694 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. p  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  E. q  e.  A  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <-> 
( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
48 r19.42v 2694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. q  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <-> 
( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
4948rexbii 2568 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <->  E. p  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
50 an32 773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  y  =  (
p  .\/  q )
) )  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  <-> 
( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
5147, 49, 503bitr4ri 269 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( p  =/=  q  /\  y  =  (
p  .\/  q )
) )  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
5246, 51syl6bb 252 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( (
y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) ) ) )
5352rexbidv 2564 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. r  e.  A  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  <->  E. r  e.  A  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( (
y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) ) ) )
54 rexcom 2701 . . . . . . . . 9  |-  ( E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <->  E. r  e.  A  E. q  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
5554rexbii 2568 . . . . . . . 8  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <->  E. p  e.  A  E. r  e.  A  E. q  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
56 rexcom 2701 . . . . . . . 8  |-  ( E. p  e.  A  E. r  e.  A  E. q  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <->  E. r  e.  A  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
5755, 56bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <->  E. r  e.  A  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) ) )
5853, 57syl6rbbr 255 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) )  <->  E. r  e.  A  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) ) )
59 r19.42v 2694 . . . . . 6  |-  ( E. r  e.  A  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  <-> 
( y  e.  (
LLines `  K )  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) )
6058, 59syl6bb 252 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q
) ) )  <->  ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) ) )
6160exbidv 1612 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. y E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  y  =  ( p  .\/  q ) ) )  <->  E. y ( y  e.  ( LLines `  K )  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) ) )
6243, 61bitrd 244 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  X  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  <->  E. y
( y  e.  (
LLines `  K )  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) ) )
63 df-rex 2549 . . 3  |-  ( E. y  e.  ( LLines `  K ) E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) )  <->  E. y
( y  e.  (
LLines `  K )  /\  E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) ) ) )
6462, 63syl6rbbr 255 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. y  e.  ( LLines `  K ) E. r  e.  A  ( -.  r  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  r ) )  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
657, 64bitrd 244 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  P  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  X  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   joincjn 14078   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   LLinesclln 29680   LPlanesclpl 29681
This theorem is referenced by:  islpln2  29725  lplni2  29726
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688
  Copyright terms: Public domain W3C validator