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Theorem islpolN 32295
Description: The predicate "is a polarity". (Contributed by NM, 24-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lpolset.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lpolset.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lpolset.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lpolset.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lpolset.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lpolset.p  |-  P  =  (LPol `  W )
Assertion
Ref Expression
islpolN  |-  ( W  e.  X  ->  (  ._|_  e.  P  <->  (  ._|_  : ~P V --> S  /\  ( (  ._|_  `  V
)  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, W    x,  ._|_ , y
Allowed substitution hints:    A( y)    P( x, y)    S( x, y)    H( x, y)    V( x, y)    X( x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem islpolN
Dummy variable  o is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lpolset.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lpolset.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
3 lpolset.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
4 lpolset.a . . . 4  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
5 lpolset.h . . . 4  |-  H  =  (LSHyp `  W )
6 lpolset.p . . . 4  |-  P  =  (LPol `  W )
71, 2, 3, 4, 5, 6lpolsetN 32294 . . 3  |-  ( W  e.  X  ->  P  =  { o  e.  ( S  ^m  ~P V
)  |  ( ( o `  V )  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y
( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  ( o `  y )  C_  (
o `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (
o `  x )  e.  H  /\  (
o `  ( o `  x ) )  =  x ) ) } )
87eleq2d 2363 . 2  |-  ( W  e.  X  ->  (  ._|_  e.  P  <->  ._|_  e.  {
o  e.  ( S  ^m  ~P V )  |  ( ( o `
 V )  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  -> 
( o `  y
)  C_  ( o `  x ) )  /\  A. x  e.  A  ( ( o `  x
)  e.  H  /\  ( o `  (
o `  x )
)  =  x ) ) } ) )
9 fveq1 5540 . . . . . 6  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( o `
 V )  =  (  ._|_  `  V ) )
109eqeq1d 2304 . . . . 5  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( ( o `  V )  =  {  .0.  }  <->  ( 
._|_  `  V )  =  {  .0.  } ) )
11 fveq1 5540 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( o `
 y )  =  (  ._|_  `  y ) )
12 fveq1 5540 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( o `
 x )  =  (  ._|_  `  x ) )
1311, 12sseq12d 3220 . . . . . . 7  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( ( o `  y ) 
C_  ( o `  x )  <->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x ) ) )
1413imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( ( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  -> 
( o `  y
)  C_  ( o `  x ) )  <->  ( (
x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
) ) )
15142albidv 1617 . . . . 5  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( A. x A. y ( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (
o `  y )  C_  ( o `  x
) )  <->  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
) ) )
1612eleq1d 2362 . . . . . . 7  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( ( o `  x )  e.  H  <->  (  ._|_  `  x )  e.  H
) )
17 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  ._|_  ->  o  = 
._|_  )
1817, 12fveq12d 5547 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( o `
 ( o `  x ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) ) )
1918eqeq1d 2304 . . . . . . 7  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( ( o `  ( o `
 x ) )  =  x  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) )
2016, 19anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( ( ( o `  x
)  e.  H  /\  ( o `  (
o `  x )
)  =  x )  <-> 
( (  ._|_  `  x
)  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) )
2120ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( A. x  e.  A  (
( o `  x
)  e.  H  /\  ( o `  (
o `  x )
)  =  x )  <->  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x
)  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) )
2210, 15, 213anbi123d 1252 . . . 4  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( ( ( o `  V
)  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (
o `  y )  C_  ( o `  x
) )  /\  A. x  e.  A  (
( o `  x
)  e.  H  /\  ( o `  (
o `  x )
)  =  x ) )  <->  ( (  ._|_  `  V )  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) ) )
2322elrab 2936 . . 3  |-  (  ._|_  e. 
{ o  e.  ( S  ^m  ~P V
)  |  ( ( o `  V )  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y
( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  ( o `  y )  C_  (
o `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (
o `  x )  e.  H  /\  (
o `  ( o `  x ) )  =  x ) ) }  <-> 
(  ._|_  e.  ( S  ^m  ~P V )  /\  ( (  ._|_  `  V )  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) ) )
24 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  W )  e.  _V
252, 24eqeltri 2366 . . . . 5  |-  S  e. 
_V
26 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  e.  _V
271, 26eqeltri 2366 . . . . . 6  |-  V  e. 
_V
2827pwex 4209 . . . . 5  |-  ~P V  e.  _V
2925, 28elmap 6812 . . . 4  |-  (  ._|_  e.  ( S  ^m  ~P V )  <->  ._|_  : ~P V
--> S )
3029anbi1i 676 . . 3  |-  ( ( 
._|_  e.  ( S  ^m  ~P V )  /\  ( (  ._|_  `  V
)  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) )  <->  (  ._|_  : ~P V --> S  /\  ( (  ._|_  `  V
)  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) ) )
3123, 30bitri 240 . 2  |-  (  ._|_  e. 
{ o  e.  ( S  ^m  ~P V
)  |  ( ( o `  V )  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y
( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  ( o `  y )  C_  (
o `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (
o `  x )  e.  H  /\  (
o `  ( o `  x ) )  =  x ) ) }  <-> 
(  ._|_  : ~P V --> S  /\  ( (  ._|_  `  V )  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) ) )
328, 31syl6bb 252 1  |-  ( W  e.  X  ->  (  ._|_  e.  P  <->  (  ._|_  : ~P V --> S  /\  ( (  ._|_  `  V
)  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   {csn 3653   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   Basecbs 13164   0gc0g 13416   LSubSpclss 15705  LSAtomsclsa 29786  LSHypclsh 29787  LPolclpoN 32292
This theorem is referenced by:  islpoldN  32296  lpolfN  32297  lpolvN  32298  lpolconN  32299  lpolsatN  32300  lpolpolsatN  32301
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-lpolN 32293
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