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Theorem islpolN 32281
Description: The predicate "is a polarity". (Contributed by NM, 24-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lpolset.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lpolset.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lpolset.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lpolset.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lpolset.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lpolset.p  |-  P  =  (LPol `  W )
Assertion
Ref Expression
islpolN  |-  ( W  e.  X  ->  (  ._|_  e.  P  <->  (  ._|_  : ~P V --> S  /\  ( (  ._|_  `  V
)  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, W    x,  ._|_ , y
Allowed substitution hints:    A( y)    P( x, y)    S( x, y)    H( x, y)    V( x, y)    X( x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem islpolN
Dummy variable  o is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lpolset.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lpolset.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
3 lpolset.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
4 lpolset.a . . . 4  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
5 lpolset.h . . . 4  |-  H  =  (LSHyp `  W )
6 lpolset.p . . . 4  |-  P  =  (LPol `  W )
71, 2, 3, 4, 5, 6lpolsetN 32280 . . 3  |-  ( W  e.  X  ->  P  =  { o  e.  ( S  ^m  ~P V
)  |  ( ( o `  V )  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y
( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  ( o `  y )  C_  (
o `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (
o `  x )  e.  H  /\  (
o `  ( o `  x ) )  =  x ) ) } )
87eleq2d 2503 . 2  |-  ( W  e.  X  ->  (  ._|_  e.  P  <->  ._|_  e.  {
o  e.  ( S  ^m  ~P V )  |  ( ( o `
 V )  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  -> 
( o `  y
)  C_  ( o `  x ) )  /\  A. x  e.  A  ( ( o `  x
)  e.  H  /\  ( o `  (
o `  x )
)  =  x ) ) } ) )
9 fveq1 5727 . . . . . 6  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( o `
 V )  =  (  ._|_  `  V ) )
109eqeq1d 2444 . . . . 5  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( ( o `  V )  =  {  .0.  }  <->  ( 
._|_  `  V )  =  {  .0.  } ) )
11 fveq1 5727 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( o `
 y )  =  (  ._|_  `  y ) )
12 fveq1 5727 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( o `
 x )  =  (  ._|_  `  x ) )
1311, 12sseq12d 3377 . . . . . . 7  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( ( o `  y ) 
C_  ( o `  x )  <->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x ) ) )
1413imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( ( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  -> 
( o `  y
)  C_  ( o `  x ) )  <->  ( (
x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
) ) )
15142albidv 1637 . . . . 5  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( A. x A. y ( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (
o `  y )  C_  ( o `  x
) )  <->  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
) ) )
1612eleq1d 2502 . . . . . . 7  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( ( o `  x )  e.  H  <->  (  ._|_  `  x )  e.  H
) )
17 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( o  =  ._|_  ->  o  = 
._|_  )
1817, 12fveq12d 5734 . . . . . . . 8  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( o `
 ( o `  x ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) ) )
1918eqeq1d 2444 . . . . . . 7  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( ( o `  ( o `
 x ) )  =  x  <->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) )
2016, 19anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( ( ( o `  x
)  e.  H  /\  ( o `  (
o `  x )
)  =  x )  <-> 
( (  ._|_  `  x
)  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) )
2120ralbidv 2725 . . . . 5  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( A. x  e.  A  (
( o `  x
)  e.  H  /\  ( o `  (
o `  x )
)  =  x )  <->  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x
)  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) )
2210, 15, 213anbi123d 1254 . . . 4  |-  ( o  =  ._|_  ->  ( ( ( o `  V
)  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (
o `  y )  C_  ( o `  x
) )  /\  A. x  e.  A  (
( o `  x
)  e.  H  /\  ( o `  (
o `  x )
)  =  x ) )  <->  ( (  ._|_  `  V )  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) ) )
2322elrab 3092 . . 3  |-  (  ._|_  e. 
{ o  e.  ( S  ^m  ~P V
)  |  ( ( o `  V )  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y
( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  ( o `  y )  C_  (
o `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (
o `  x )  e.  H  /\  (
o `  ( o `  x ) )  =  x ) ) }  <-> 
(  ._|_  e.  ( S  ^m  ~P V )  /\  ( (  ._|_  `  V )  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) ) )
24 fvex 5742 . . . . . 6  |-  ( LSubSp `  W )  e.  _V
252, 24eqeltri 2506 . . . . 5  |-  S  e. 
_V
26 fvex 5742 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  e.  _V
271, 26eqeltri 2506 . . . . . 6  |-  V  e. 
_V
2827pwex 4382 . . . . 5  |-  ~P V  e.  _V
2925, 28elmap 7042 . . . 4  |-  (  ._|_  e.  ( S  ^m  ~P V )  <->  ._|_  : ~P V
--> S )
3029anbi1i 677 . . 3  |-  ( ( 
._|_  e.  ( S  ^m  ~P V )  /\  ( (  ._|_  `  V
)  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) )  <->  (  ._|_  : ~P V --> S  /\  ( (  ._|_  `  V
)  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) ) )
3123, 30bitri 241 . 2  |-  (  ._|_  e. 
{ o  e.  ( S  ^m  ~P V
)  |  ( ( o `  V )  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y
( ( x  C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  ( o `  y )  C_  (
o `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (
o `  x )  e.  H  /\  (
o `  ( o `  x ) )  =  x ) ) }  <-> 
(  ._|_  : ~P V --> S  /\  ( (  ._|_  `  V )  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) ) )
328, 31syl6bb 253 1  |-  ( W  e.  X  ->  (  ._|_  e.  P  <->  (  ._|_  : ~P V --> S  /\  ( (  ._|_  `  V
)  =  {  .0.  }  /\  A. x A. y ( ( x 
C_  V  /\  y  C_  V  /\  x  C_  y )  ->  (  ._|_  `  y )  C_  (  ._|_  `  x )
)  /\  A. x  e.  A  ( (  ._|_  `  x )  e.  H  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   {crab 2709   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799   {csn 3814   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ^m cmap 7018   Basecbs 13469   0gc0g 13723   LSubSpclss 16008  LSAtomsclsa 29772  LSHypclsh 29773  LPolclpoN 32278
This theorem is referenced by:  islpoldN  32282  lpolfN  32283  lpolvN  32284  lpolconN  32285  lpolsatN  32286  lpolpolsatN  32287
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-map 7020  df-lpolN 32279
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