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Theorem islss 16003
Description: The predicate "is a subspace" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssset.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lssset.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
lssset.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lssset.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lssset.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lssset.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
islss  |-  ( U  e.  S  <->  ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( ( x 
.x.  a )  .+  b )  e.  U
) )
Distinct variable groups:    x, B    a, b, x, W    U, a, b, x
Allowed substitution hints:    B( a, b)    .+ ( x, a, b)    S( x, a, b)    .x. ( x, a, b)    F( x, a, b)    V( x, a, b)

Proof of Theorem islss
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5750 . . 3  |-  ( U  e.  ( LSubSp `  W
)  ->  W  e.  _V )
2 lssset.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
31, 2eleq2s 2527 . 2  |-  ( U  e.  S  ->  W  e.  _V )
4 lssset.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 fvprc 5714 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (
Base `  W )  =  (/) )
64, 5syl5eq 2479 . . . . . . . 8  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  V  =  (/) )
76sseq2d 3368 . . . . . . 7  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( U  C_  V  <->  U  C_  (/) ) )
87biimpcd 216 . . . . . 6  |-  ( U 
C_  V  ->  ( -.  W  e.  _V  ->  U  C_  (/) ) )
9 ss0 3650 . . . . . 6  |-  ( U 
C_  (/)  ->  U  =  (/) )
108, 9syl6 31 . . . . 5  |-  ( U 
C_  V  ->  ( -.  W  e.  _V  ->  U  =  (/) ) )
1110necon1ad 2665 . . . 4  |-  ( U 
C_  V  ->  ( U  =/=  (/)  ->  W  e.  _V ) )
1211imp 419 . . 3  |-  ( ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/) )  ->  W  e.  _V )
13123adant3 977 . 2  |-  ( ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  U
)  ->  W  e.  _V )
14 lssset.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
15 lssset.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  F
)
16 lssset.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  W )
17 lssset.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
1814, 15, 4, 16, 17, 2lssset 16002 . . . 4  |-  ( W  e.  _V  ->  S  =  { s  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  A. x  e.  B  A. a  e.  s  A. b  e.  s  (
( x  .x.  a
)  .+  b )  e.  s } )
1918eleq2d 2502 . . 3  |-  ( W  e.  _V  ->  ( U  e.  S  <->  U  e.  { s  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  A. x  e.  B  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  s } ) )
20 eldifsn 3919 . . . . . 6  |-  ( U  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  <->  ( U  e.  ~P V  /\  U  =/=  (/) ) )
21 fvex 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  W )  e.  _V
224, 21eqeltri 2505 . . . . . . . 8  |-  V  e. 
_V
2322elpw2 4356 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  ~P V  <->  U  C_  V
)
2423anbi1i 677 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  ~P V  /\  U  =/=  (/) )  <->  ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/) ) )
2520, 24bitri 241 . . . . 5  |-  ( U  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  <->  ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/) ) )
2625anbi1i 677 . . . 4  |-  ( ( U  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  U
)  <->  ( ( U 
C_  V  /\  U  =/=  (/) )  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  (
( x  .x.  a
)  .+  b )  e.  U ) )
27 eleq2 2496 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  U  ->  (
( ( x  .x.  a )  .+  b
)  e.  s  <->  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  U
) )
2827raleqbi1dv 2904 . . . . . . 7  |-  ( s  =  U  ->  ( A. b  e.  s 
( ( x  .x.  a )  .+  b
)  e.  s  <->  A. b  e.  U  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  U
) )
2928raleqbi1dv 2904 . . . . . 6  |-  ( s  =  U  ->  ( A. a  e.  s  A. b  e.  s 
( ( x  .x.  a )  .+  b
)  e.  s  <->  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  U
) )
3029ralbidv 2717 . . . . 5  |-  ( s  =  U  ->  ( A. x  e.  B  A. a  e.  s  A. b  e.  s 
( ( x  .x.  a )  .+  b
)  e.  s  <->  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  U
) )
3130elrab 3084 . . . 4  |-  ( U  e.  { s  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  | 
A. x  e.  B  A. a  e.  s  A. b  e.  s 
( ( x  .x.  a )  .+  b
)  e.  s }  <-> 
( U  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  (
( x  .x.  a
)  .+  b )  e.  U ) )
32 df-3an 938 . . . 4  |-  ( ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  U
)  <->  ( ( U 
C_  V  /\  U  =/=  (/) )  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  (
( x  .x.  a
)  .+  b )  e.  U ) )
3326, 31, 323bitr4i 269 . . 3  |-  ( U  e.  { s  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  | 
A. x  e.  B  A. a  e.  s  A. b  e.  s 
( ( x  .x.  a )  .+  b
)  e.  s }  <-> 
( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  (
( x  .x.  a
)  .+  b )  e.  U ) )
3419, 33syl6bb 253 . 2  |-  ( W  e.  _V  ->  ( U  e.  S  <->  ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( ( x 
.x.  a )  .+  b )  e.  U
) ) )
353, 13, 34pm5.21nii 343 1  |-  ( U  e.  S  <->  ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( ( x 
.x.  a )  .+  b )  e.  U
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   {crab 2701   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   {csn 3806   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   +g cplusg 13521  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525   LSubSpclss 16000
This theorem is referenced by:  islssd  16004  lssss  16005  lssn0  16009  lsscl  16011  islss4  16030  lsspropd  16085  islidl  16274  ocvlss  16891  lkrlss  29820  lclkr  32258  lclkrs  32264  lcfr  32310
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-ov 6076  df-lss 16001
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