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Theorem islss 15692
Description: The predicate "is a subspace" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssset.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lssset.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
lssset.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lssset.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lssset.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lssset.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
islss  |-  ( U  e.  S  <->  ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( ( x 
.x.  a )  .+  b )  e.  U
) )
Distinct variable groups:    x, B    a, b, x, W    U, a, b, x
Allowed substitution hints:    B( a, b)    .+ ( x, a, b)    S( x, a, b)    .x. ( x, a, b)    F( x, a, b)    V( x, a, b)

Proof of Theorem islss
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5555 . . 3  |-  ( U  e.  ( LSubSp `  W
)  ->  W  e.  _V )
2 lssset.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
31, 2eleq2s 2375 . 2  |-  ( U  e.  S  ->  W  e.  _V )
4 lssset.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 fvprc 5519 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (
Base `  W )  =  (/) )
64, 5syl5eq 2327 . . . . . . . 8  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  V  =  (/) )
76sseq2d 3206 . . . . . . 7  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( U  C_  V  <->  U  C_  (/) ) )
87biimpcd 215 . . . . . 6  |-  ( U 
C_  V  ->  ( -.  W  e.  _V  ->  U  C_  (/) ) )
9 ss0 3485 . . . . . 6  |-  ( U 
C_  (/)  ->  U  =  (/) )
108, 9syl6 29 . . . . 5  |-  ( U 
C_  V  ->  ( -.  W  e.  _V  ->  U  =  (/) ) )
1110necon1ad 2513 . . . 4  |-  ( U 
C_  V  ->  ( U  =/=  (/)  ->  W  e.  _V ) )
1211imp 418 . . 3  |-  ( ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/) )  ->  W  e.  _V )
13123adant3 975 . 2  |-  ( ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  U
)  ->  W  e.  _V )
14 lssset.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
15 lssset.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  F
)
16 lssset.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  W )
17 lssset.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
1814, 15, 4, 16, 17, 2lssset 15691 . . . 4  |-  ( W  e.  _V  ->  S  =  { s  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  A. x  e.  B  A. a  e.  s  A. b  e.  s  (
( x  .x.  a
)  .+  b )  e.  s } )
1918eleq2d 2350 . . 3  |-  ( W  e.  _V  ->  ( U  e.  S  <->  U  e.  { s  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  A. x  e.  B  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  s } ) )
20 eldifsn 3749 . . . . . 6  |-  ( U  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  <->  ( U  e.  ~P V  /\  U  =/=  (/) ) )
21 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  W )  e.  _V
224, 21eqeltri 2353 . . . . . . . 8  |-  V  e. 
_V
2322elpw2 4175 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  ~P V  <->  U  C_  V
)
2423anbi1i 676 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  ~P V  /\  U  =/=  (/) )  <->  ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/) ) )
2520, 24bitri 240 . . . . 5  |-  ( U  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  <->  ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/) ) )
2625anbi1i 676 . . . 4  |-  ( ( U  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  U
)  <->  ( ( U 
C_  V  /\  U  =/=  (/) )  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  (
( x  .x.  a
)  .+  b )  e.  U ) )
27 eleq2 2344 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  U  ->  (
( ( x  .x.  a )  .+  b
)  e.  s  <->  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  U
) )
2827raleqbi1dv 2744 . . . . . . 7  |-  ( s  =  U  ->  ( A. b  e.  s 
( ( x  .x.  a )  .+  b
)  e.  s  <->  A. b  e.  U  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  U
) )
2928raleqbi1dv 2744 . . . . . 6  |-  ( s  =  U  ->  ( A. a  e.  s  A. b  e.  s 
( ( x  .x.  a )  .+  b
)  e.  s  <->  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  U
) )
3029ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( s  =  U  ->  ( A. x  e.  B  A. a  e.  s  A. b  e.  s 
( ( x  .x.  a )  .+  b
)  e.  s  <->  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  U
) )
3130elrab 2923 . . . 4  |-  ( U  e.  { s  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  | 
A. x  e.  B  A. a  e.  s  A. b  e.  s 
( ( x  .x.  a )  .+  b
)  e.  s }  <-> 
( U  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  (
( x  .x.  a
)  .+  b )  e.  U ) )
32 df-3an 936 . . . 4  |-  ( ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  U
)  <->  ( ( U 
C_  V  /\  U  =/=  (/) )  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  (
( x  .x.  a
)  .+  b )  e.  U ) )
3326, 31, 323bitr4i 268 . . 3  |-  ( U  e.  { s  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  | 
A. x  e.  B  A. a  e.  s  A. b  e.  s 
( ( x  .x.  a )  .+  b
)  e.  s }  <-> 
( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  (
( x  .x.  a
)  .+  b )  e.  U ) )
3419, 33syl6bb 252 . 2  |-  ( W  e.  _V  ->  ( U  e.  S  <->  ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( ( x 
.x.  a )  .+  b )  e.  U
) ) )
353, 13, 34pm5.21nii 342 1  |-  ( U  e.  S  <->  ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( ( x 
.x.  a )  .+  b )  e.  U
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   LSubSpclss 15689
This theorem is referenced by:  islssd  15693  lssss  15694  lssn0  15698  lsscl  15700  islss4  15719  lsspropd  15774  islidl  15963  ocvlss  16572  lkrlss  29285  lclkr  31723  lclkrs  31729  lcfr  31775
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-lss 15690
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