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Theorem islss 15939
Description: The predicate "is a subspace" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssset.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lssset.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
lssset.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lssset.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lssset.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lssset.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
islss  |-  ( U  e.  S  <->  ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( ( x 
.x.  a )  .+  b )  e.  U
) )
Distinct variable groups:    x, B    a, b, x, W    U, a, b, x
Allowed substitution hints:    B( a, b)    .+ ( x, a, b)    S( x, a, b)    .x. ( x, a, b)    F( x, a, b)    V( x, a, b)

Proof of Theorem islss
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5699 . . 3  |-  ( U  e.  ( LSubSp `  W
)  ->  W  e.  _V )
2 lssset.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
31, 2eleq2s 2480 . 2  |-  ( U  e.  S  ->  W  e.  _V )
4 lssset.v . . . . . . . . 9  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 fvprc 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  (
Base `  W )  =  (/) )
64, 5syl5eq 2432 . . . . . . . 8  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  V  =  (/) )
76sseq2d 3320 . . . . . . 7  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( U  C_  V  <->  U  C_  (/) ) )
87biimpcd 216 . . . . . 6  |-  ( U 
C_  V  ->  ( -.  W  e.  _V  ->  U  C_  (/) ) )
9 ss0 3602 . . . . . 6  |-  ( U 
C_  (/)  ->  U  =  (/) )
108, 9syl6 31 . . . . 5  |-  ( U 
C_  V  ->  ( -.  W  e.  _V  ->  U  =  (/) ) )
1110necon1ad 2618 . . . 4  |-  ( U 
C_  V  ->  ( U  =/=  (/)  ->  W  e.  _V ) )
1211imp 419 . . 3  |-  ( ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/) )  ->  W  e.  _V )
13123adant3 977 . 2  |-  ( ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  U
)  ->  W  e.  _V )
14 lssset.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
15 lssset.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  F
)
16 lssset.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  W )
17 lssset.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
1814, 15, 4, 16, 17, 2lssset 15938 . . . 4  |-  ( W  e.  _V  ->  S  =  { s  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  A. x  e.  B  A. a  e.  s  A. b  e.  s  (
( x  .x.  a
)  .+  b )  e.  s } )
1918eleq2d 2455 . . 3  |-  ( W  e.  _V  ->  ( U  e.  S  <->  U  e.  { s  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  A. x  e.  B  A. a  e.  s  A. b  e.  s  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  s } ) )
20 eldifsn 3871 . . . . . 6  |-  ( U  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  <->  ( U  e.  ~P V  /\  U  =/=  (/) ) )
21 fvex 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  W )  e.  _V
224, 21eqeltri 2458 . . . . . . . 8  |-  V  e. 
_V
2322elpw2 4306 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  ~P V  <->  U  C_  V
)
2423anbi1i 677 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  ~P V  /\  U  =/=  (/) )  <->  ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/) ) )
2520, 24bitri 241 . . . . 5  |-  ( U  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  <->  ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/) ) )
2625anbi1i 677 . . . 4  |-  ( ( U  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  U
)  <->  ( ( U 
C_  V  /\  U  =/=  (/) )  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  (
( x  .x.  a
)  .+  b )  e.  U ) )
27 eleq2 2449 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  U  ->  (
( ( x  .x.  a )  .+  b
)  e.  s  <->  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  U
) )
2827raleqbi1dv 2856 . . . . . . 7  |-  ( s  =  U  ->  ( A. b  e.  s 
( ( x  .x.  a )  .+  b
)  e.  s  <->  A. b  e.  U  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  U
) )
2928raleqbi1dv 2856 . . . . . 6  |-  ( s  =  U  ->  ( A. a  e.  s  A. b  e.  s 
( ( x  .x.  a )  .+  b
)  e.  s  <->  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  U
) )
3029ralbidv 2670 . . . . 5  |-  ( s  =  U  ->  ( A. x  e.  B  A. a  e.  s  A. b  e.  s 
( ( x  .x.  a )  .+  b
)  e.  s  <->  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  U
) )
3130elrab 3036 . . . 4  |-  ( U  e.  { s  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  | 
A. x  e.  B  A. a  e.  s  A. b  e.  s 
( ( x  .x.  a )  .+  b
)  e.  s }  <-> 
( U  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  (
( x  .x.  a
)  .+  b )  e.  U ) )
32 df-3an 938 . . . 4  |-  ( ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( (
x  .x.  a )  .+  b )  e.  U
)  <->  ( ( U 
C_  V  /\  U  =/=  (/) )  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  (
( x  .x.  a
)  .+  b )  e.  U ) )
3326, 31, 323bitr4i 269 . . 3  |-  ( U  e.  { s  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  | 
A. x  e.  B  A. a  e.  s  A. b  e.  s 
( ( x  .x.  a )  .+  b
)  e.  s }  <-> 
( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  (
( x  .x.  a
)  .+  b )  e.  U ) )
3419, 33syl6bb 253 . 2  |-  ( W  e.  _V  ->  ( U  e.  S  <->  ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( ( x 
.x.  a )  .+  b )  e.  U
) ) )
353, 13, 34pm5.21nii 343 1  |-  ( U  e.  S  <->  ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. x  e.  B  A. a  e.  U  A. b  e.  U  ( ( x 
.x.  a )  .+  b )  e.  U
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   A.wral 2650   {crab 2654   _Vcvv 2900    \ cdif 3261    C_ wss 3264   (/)c0 3572   ~Pcpw 3743   {csn 3758   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   Basecbs 13397   +g cplusg 13457  Scalarcsca 13460   .scvsca 13461   LSubSpclss 15936
This theorem is referenced by:  islssd  15940  lssss  15941  lssn0  15945  lsscl  15947  islss4  15966  lsspropd  16021  islidl  16210  ocvlss  16823  lkrlss  29211  lclkr  31649  lclkrs  31655  lcfr  31701
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fv 5403  df-ov 6024  df-lss 15937
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