Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islss3 Structured version   Unicode version

Theorem islss3 16035
 Description: A linear subspace of a module is a subset which is a module in its own right. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islss3.x s
islss3.v
islss3.s
Assertion
Ref Expression
islss3

Proof of Theorem islss3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islss3.v . . . . 5
2 islss3.s . . . . 5
31, 2lssss 16013 . . . 4
5 islss3.x . . . . . . 7 s
65, 1ressbas2 13520 . . . . . 6
76adantl 453 . . . . 5
83, 7sylan2 461 . . . 4
9 eqid 2436 . . . . . 6
105, 9ressplusg 13571 . . . . 5
1110adantl 453 . . . 4
12 eqid 2436 . . . . . 6 Scalar Scalar
135, 12resssca 13604 . . . . 5 Scalar Scalar
1413adantl 453 . . . 4 Scalar Scalar
15 eqid 2436 . . . . . 6
165, 15ressvsca 13605 . . . . 5
1716adantl 453 . . . 4
18 eqidd 2437 . . . 4 Scalar Scalar
19 eqidd 2437 . . . 4 Scalar Scalar
20 eqidd 2437 . . . 4 Scalar Scalar
21 eqidd 2437 . . . 4 Scalar Scalar
2212lmodrng 15958 . . . . 5 Scalar
2322adantr 452 . . . 4 Scalar
242lsssubg 16033 . . . . 5 SubGrp
255subggrp 14947 . . . . 5 SubGrp
2624, 25syl 16 . . . 4
27 eqid 2436 . . . . . 6 Scalar Scalar
2812, 15, 27, 2lssvscl 16031 . . . . 5 Scalar
29283impb 1149 . . . 4 Scalar
30 simpll 731 . . . . 5 Scalar
31 simpr1 963 . . . . 5 Scalar Scalar
323ad2antlr 708 . . . . . 6 Scalar
33 simpr2 964 . . . . . 6 Scalar
3432, 33sseldd 3349 . . . . 5 Scalar
35 simpr3 965 . . . . . 6 Scalar
3632, 35sseldd 3349 . . . . 5 Scalar
371, 9, 12, 15, 27lmodvsdi 15973 . . . . 5 Scalar
3830, 31, 34, 36, 37syl13anc 1186 . . . 4 Scalar
39 simpll 731 . . . . 5 Scalar Scalar
40 simpr1 963 . . . . 5 Scalar Scalar Scalar
41 simpr2 964 . . . . 5 Scalar Scalar Scalar
423ad2antlr 708 . . . . . 6 Scalar Scalar
43 simpr3 965 . . . . . 6 Scalar Scalar
4442, 43sseldd 3349 . . . . 5 Scalar Scalar
45 eqid 2436 . . . . . 6 Scalar Scalar
461, 9, 12, 15, 27, 45lmodvsdir 15974 . . . . 5 Scalar Scalar Scalar
4739, 40, 41, 44, 46syl13anc 1186 . . . 4 Scalar Scalar Scalar
48 eqid 2436 . . . . . 6 Scalar Scalar
491, 12, 15, 27, 48lmodvsass 15975 . . . . 5 Scalar Scalar Scalar
5039, 40, 41, 44, 49syl13anc 1186 . . . 4 Scalar Scalar Scalar
514sselda 3348 . . . . 5
52 eqid 2436 . . . . . . 7 Scalar Scalar
531, 12, 15, 52lmodvs1 15978 . . . . . 6 Scalar
5453adantlr 696 . . . . 5 Scalar
5551, 54syldan 457 . . . 4 Scalar
568, 11, 14, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 26, 29, 38, 47, 50, 55islmodd 15956 . . 3
574, 56jca 519 . 2
58 simprl 733 . . . 4
5958, 6syl 16 . . 3
60 fvex 5742 . . . . . . 7
6159, 60syl6eqel 2524 . . . . . 6
625, 12resssca 13604 . . . . . 6 Scalar Scalar
6361, 62syl 16 . . . . 5 Scalar Scalar
6463eqcomd 2441 . . . 4 Scalar Scalar
65 eqidd 2437 . . . 4 Scalar Scalar
661a1i 11 . . . 4
675, 9ressplusg 13571 . . . . . 6
6861, 67syl 16 . . . . 5
6968eqcomd 2441 . . . 4
705, 15ressvsca 13605 . . . . . 6
7161, 70syl 16 . . . . 5
7271eqcomd 2441 . . . 4
732a1i 11 . . . 4
7459, 58eqsstr3d 3383 . . . 4
75 lmodgrp 15957 . . . . . 6
7675ad2antll 710 . . . . 5
77 eqid 2436 . . . . . 6
7877grpbn0 14834 . . . . 5
7976, 78syl 16 . . . 4
80 eqid 2436 . . . . . . 7
8177, 80lss1 16015 . . . . . 6
8281ad2antll 710 . . . . 5
83 eqid 2436 . . . . . 6 Scalar Scalar
84 eqid 2436 . . . . . 6 Scalar Scalar
85 eqid 2436 . . . . . 6
86 eqid 2436 . . . . . 6
8783, 84, 85, 86, 80lsscl 16019 . . . . 5 Scalar
8882, 87sylan 458 . . . 4 Scalar
8964, 65, 66, 69, 72, 73, 74, 79, 88islssd 16012 . . 3
9059, 89eqeltrd 2510 . 2
9157, 90impbida 806 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  cvv 2956   wss 3320  c0 3628  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469   ↾s cress 13470   cplusg 13529  cmulr 13530  Scalarcsca 13532  cvsca 13533  cgrp 14685  SubGrpcsubg 14938  crg 15660  cur 15662  clmod 15950  clss 16008 This theorem is referenced by:  lsslmod  16036  lsslss  16037  issubassa  16383 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-lmod 15952  df-lss 16009
 Copyright terms: Public domain W3C validator