MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islss4 Structured version   Unicode version

Theorem islss4 16043
Description: A linear subspace is a subgroup which respects scalar multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
islss4.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
islss4.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
islss4.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
islss4.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
islss4.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
islss4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( U  e.  S  <->  ( U  e.  (SubGrp `  W )  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b
)  e.  U ) ) )
Distinct variable groups:    F, a,
b    W, a, b    B, a, b    V, a, b    .x. , a, b    S, a, b    U, a, b

Proof of Theorem islss4
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islss4.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
21lsssubg 16038 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  e.  (SubGrp `  W )
)
3 islss4.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
4 islss4.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
5 islss4.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  F
)
63, 4, 5, 1lssvscl 16036 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  U ) )  -> 
( a  .x.  b
)  e.  U )
76ralrimivva 2800 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b )  e.  U
)
82, 7jca 520 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b )  e.  U
) )
9 islss4.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
109subgss 14950 . . . 4  |-  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  ->  U  C_  V
)
1110ad2antrl 710 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b )  e.  U
) )  ->  U  C_  V )
12 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
1312subg0cl 14957 . . . . 5  |-  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  ->  ( 0g `  W )  e.  U
)
14 ne0i 3636 . . . . 5  |-  ( ( 0g `  W )  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
1513, 14syl 16 . . . 4  |-  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  ->  U  =/=  (/) )
1615ad2antrl 710 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b )  e.  U
) )  ->  U  =/=  (/) )
17 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
1817subgcl 14959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  W )  /\  (
a  .x.  b )  e.  U  /\  c  e.  U )  ->  (
( a  .x.  b
) ( +g  `  W
) c )  e.  U )
19183exp 1153 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  ->  ( (
a  .x.  b )  e.  U  ->  ( c  e.  U  ->  (
( a  .x.  b
) ( +g  `  W
) c )  e.  U ) ) )
2019adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( (
a  .x.  b )  e.  U  ->  ( c  e.  U  ->  (
( a  .x.  b
) ( +g  `  W
) c )  e.  U ) ) )
2120ralrimdv 2797 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( (
a  .x.  b )  e.  U  ->  A. c  e.  U  ( (
a  .x.  b )
( +g  `  W ) c )  e.  U
) )
2221ralimdv 2787 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( A. b  e.  U  (
a  .x.  b )  e.  U  ->  A. b  e.  U  A. c  e.  U  ( (
a  .x.  b )
( +g  `  W ) c )  e.  U
) )
2322ralimdv 2787 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  U  (
a  .x.  b )  e.  U  ->  A. a  e.  B  A. b  e.  U  A. c  e.  U  ( (
a  .x.  b )
( +g  `  W ) c )  e.  U
) )
2423impr 604 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b )  e.  U
) )  ->  A. a  e.  B  A. b  e.  U  A. c  e.  U  ( (
a  .x.  b )
( +g  `  W ) c )  e.  U
)
253, 5, 9, 17, 4, 1islss 16016 . . 3  |-  ( U  e.  S  <->  ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  A. c  e.  U  ( ( a 
.x.  b ) ( +g  `  W ) c )  e.  U
) )
2611, 16, 24, 25syl3anbrc 1139 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b )  e.  U
) )  ->  U  e.  S )
278, 26impbida 807 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( U  e.  S  <->  ( U  e.  (SubGrp `  W )  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b
)  e.  U ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   +g cplusg 13534  Scalarcsca 13537   .scvsca 13538   0gc0g 13728  SubGrpcsubg 14943   LModclmod 15955   LSubSpclss 16013
This theorem is referenced by:  lssacs  16048  lmhmima  16128  lmhmpreima  16129  lmhmeql  16136  lsmcl  16160  issubassa2  16408  mplind  16567  dsmmlss  27201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-lmod 15957  df-lss 16014
  Copyright terms: Public domain W3C validator