MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islss4 Unicode version

Theorem islss4 15818
Description: A linear subspace is a subgroup which respects scalar multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
islss4.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
islss4.b  |-  B  =  ( Base `  F
)
islss4.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
islss4.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
islss4.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
islss4  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( U  e.  S  <->  ( U  e.  (SubGrp `  W )  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b
)  e.  U ) ) )
Distinct variable groups:    F, a,
b    W, a, b    B, a, b    V, a, b    .x. , a, b    S, a, b    U, a, b

Proof of Theorem islss4
Dummy variable  c is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islss4.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
21lsssubg 15813 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  e.  (SubGrp `  W )
)
3 islss4.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
4 islss4.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
5 islss4.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  F
)
63, 4, 5, 1lssvscl 15811 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  U ) )  -> 
( a  .x.  b
)  e.  U )
76ralrimivva 2711 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b )  e.  U
)
82, 7jca 518 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b )  e.  U
) )
9 islss4.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
109subgss 14721 . . . 4  |-  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  ->  U  C_  V
)
1110ad2antrl 708 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b )  e.  U
) )  ->  U  C_  V )
12 eqid 2358 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
1312subg0cl 14728 . . . . 5  |-  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  ->  ( 0g `  W )  e.  U
)
14 ne0i 3537 . . . . 5  |-  ( ( 0g `  W )  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
1513, 14syl 15 . . . 4  |-  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  ->  U  =/=  (/) )
1615ad2antrl 708 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b )  e.  U
) )  ->  U  =/=  (/) )
17 eqid 2358 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
1817subgcl 14730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  W )  /\  (
a  .x.  b )  e.  U  /\  c  e.  U )  ->  (
( a  .x.  b
) ( +g  `  W
) c )  e.  U )
19183exp 1150 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  ->  ( (
a  .x.  b )  e.  U  ->  ( c  e.  U  ->  (
( a  .x.  b
) ( +g  `  W
) c )  e.  U ) ) )
2019adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( (
a  .x.  b )  e.  U  ->  ( c  e.  U  ->  (
( a  .x.  b
) ( +g  `  W
) c )  e.  U ) ) )
2120ralrimdv 2708 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( (
a  .x.  b )  e.  U  ->  A. c  e.  U  ( (
a  .x.  b )
( +g  `  W ) c )  e.  U
) )
2221ralimdv 2698 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( A. b  e.  U  (
a  .x.  b )  e.  U  ->  A. b  e.  U  A. c  e.  U  ( (
a  .x.  b )
( +g  `  W ) c )  e.  U
) )
2322ralimdv 2698 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  U  (
a  .x.  b )  e.  U  ->  A. a  e.  B  A. b  e.  U  A. c  e.  U  ( (
a  .x.  b )
( +g  `  W ) c )  e.  U
) )
2423impr 602 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b )  e.  U
) )  ->  A. a  e.  B  A. b  e.  U  A. c  e.  U  ( (
a  .x.  b )
( +g  `  W ) c )  e.  U
)
253, 5, 9, 17, 4, 1islss 15791 . . 3  |-  ( U  e.  S  <->  ( U  C_  V  /\  U  =/=  (/)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  A. c  e.  U  ( ( a 
.x.  b ) ( +g  `  W ) c )  e.  U
) )
2611, 16, 24, 25syl3anbrc 1136 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( U  e.  (SubGrp `  W
)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b )  e.  U
) )  ->  U  e.  S )
278, 26impbida 805 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( U  e.  S  <->  ( U  e.  (SubGrp `  W )  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  U  ( a  .x.  b
)  e.  U ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619    C_ wss 3228   (/)c0 3531   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   Basecbs 13245   +g cplusg 13305  Scalarcsca 13308   .scvsca 13309   0gc0g 13499  SubGrpcsubg 14714   LModclmod 15726   LSubSpclss 15788
This theorem is referenced by:  lssacs  15823  lmhmima  15903  lmhmpreima  15904  lmhmeql  15911  lsmcl  15935  issubassa2  16183  mplind  16342  dsmmlss  26533
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-0g 13503  df-mnd 14466  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-sbg 14590  df-subg 14717  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-ur 15441  df-lmod 15728  df-lss 15789
  Copyright terms: Public domain W3C validator