Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islssfgi Unicode version

Theorem islssfgi 27273
Description: Finitely spanned subspaces are finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islssfgi.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
islssfgi.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
islssfgi.x  |-  X  =  ( Ws  ( N `  B ) )
Assertion
Ref Expression
islssfgi  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  C_  V  /\  B  e. 
Fin )  ->  X  e. LFinGen )

Proof of Theorem islssfgi
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islssfgi.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 fvex 5555 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  W )  e.  _V
31, 2eqeltri 2366 . . . . . . 7  |-  V  e. 
_V
43elpw2 4191 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ~P V  <->  B  C_  V
)
54biimpri 197 . . . . 5  |-  ( B 
C_  V  ->  B  e.  ~P V )
653ad2ant2 977 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  C_  V  /\  B  e. 
Fin )  ->  B  e.  ~P V )
7 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  C_  V  /\  B  e. 
Fin )  ->  B  e.  Fin )
8 elin 3371 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  <->  ( B  e.  ~P V  /\  B  e.  Fin ) )
96, 7, 8sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  C_  V  /\  B  e. 
Fin )  ->  B  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) )
10 eqid 2296 . . 3  |-  ( N `
 B )  =  ( N `  B
)
11 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( a  =  B  ->  ( N `  a )  =  ( N `  B ) )
1211eqeq1d 2304 . . . 4  |-  ( a  =  B  ->  (
( N `  a
)  =  ( N `
 B )  <->  ( N `  B )  =  ( N `  B ) ) )
1312rspcev 2897 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( N `  B
)  =  ( N `
 B ) )  ->  E. a  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) ( N `  a )  =  ( N `  B ) )
149, 10, 13sylancl 643 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  C_  V  /\  B  e. 
Fin )  ->  E. a  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) ( N `  a )  =  ( N `  B ) )
15 simp1 955 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  C_  V  /\  B  e. 
Fin )  ->  W  e.  LMod )
16 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
17 islssfgi.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
181, 16, 17lspcl 15749 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  C_  V )  ->  ( N `  B )  e.  ( LSubSp `  W )
)
19183adant3 975 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  C_  V  /\  B  e. 
Fin )  ->  ( N `  B )  e.  ( LSubSp `  W )
)
20 islssfgi.x . . . 4  |-  X  =  ( Ws  ( N `  B ) )
2120, 16, 17, 1islssfg2 27272 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  B )  e.  ( LSubSp `  W )
)  ->  ( X  e. LFinGen  <->  E. a  e.  ( ~P V  i^i  Fin )
( N `  a
)  =  ( N `
 B ) ) )
2215, 19, 21syl2anc 642 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  C_  V  /\  B  e. 
Fin )  ->  ( X  e. LFinGen  <->  E. a  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) ( N `  a )  =  ( N `  B ) ) )
2314, 22mpbird 223 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  C_  V  /\  B  e. 
Fin )  ->  X  e. LFinGen )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   LModclmod 15643   LSubSpclss 15705   LSpanclspn 15744  LFinGenclfig 27268
This theorem is referenced by:  lsmfgcl  27275  lmhmfgima  27285  lmhmfgsplit  27287
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lfig 27269
  Copyright terms: Public domain W3C validator