Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islssfgi Structured version   Unicode version

Theorem islssfgi 27148
Description: Finitely spanned subspaces are finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islssfgi.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
islssfgi.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
islssfgi.x  |-  X  =  ( Ws  ( N `  B ) )
Assertion
Ref Expression
islssfgi  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  C_  V  /\  B  e. 
Fin )  ->  X  e. LFinGen )

Proof of Theorem islssfgi
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islssfgi.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 fvex 5743 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  W )  e.  _V
31, 2eqeltri 2507 . . . . . . 7  |-  V  e. 
_V
43elpw2 4365 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ~P V  <->  B  C_  V
)
54biimpri 199 . . . . 5  |-  ( B 
C_  V  ->  B  e.  ~P V )
653ad2ant2 980 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  C_  V  /\  B  e. 
Fin )  ->  B  e.  ~P V )
7 simp3 960 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  C_  V  /\  B  e. 
Fin )  ->  B  e.  Fin )
8 elin 3531 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  <->  ( B  e.  ~P V  /\  B  e.  Fin ) )
96, 7, 8sylanbrc 647 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  C_  V  /\  B  e. 
Fin )  ->  B  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) )
10 eqid 2437 . . 3  |-  ( N `
 B )  =  ( N `  B
)
11 fveq2 5729 . . . . 5  |-  ( a  =  B  ->  ( N `  a )  =  ( N `  B ) )
1211eqeq1d 2445 . . . 4  |-  ( a  =  B  ->  (
( N `  a
)  =  ( N `
 B )  <->  ( N `  B )  =  ( N `  B ) ) )
1312rspcev 3053 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( ~P V  i^i  Fin )  /\  ( N `  B
)  =  ( N `
 B ) )  ->  E. a  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) ( N `  a )  =  ( N `  B ) )
149, 10, 13sylancl 645 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  C_  V  /\  B  e. 
Fin )  ->  E. a  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) ( N `  a )  =  ( N `  B ) )
15 simp1 958 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  C_  V  /\  B  e. 
Fin )  ->  W  e.  LMod )
16 eqid 2437 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
17 islssfgi.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
181, 16, 17lspcl 16053 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  C_  V )  ->  ( N `  B )  e.  ( LSubSp `  W )
)
19183adant3 978 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  C_  V  /\  B  e. 
Fin )  ->  ( N `  B )  e.  ( LSubSp `  W )
)
20 islssfgi.x . . . 4  |-  X  =  ( Ws  ( N `  B ) )
2120, 16, 17, 1islssfg2 27147 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  B )  e.  ( LSubSp `  W )
)  ->  ( X  e. LFinGen  <->  E. a  e.  ( ~P V  i^i  Fin )
( N `  a
)  =  ( N `
 B ) ) )
2215, 19, 21syl2anc 644 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  C_  V  /\  B  e. 
Fin )  ->  ( X  e. LFinGen  <->  E. a  e.  ( ~P V  i^i  Fin ) ( N `  a )  =  ( N `  B ) ) )
2314, 22mpbird 225 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  C_  V  /\  B  e. 
Fin )  ->  X  e. LFinGen )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2707   _Vcvv 2957    i^i cin 3320    C_ wss 3321   ~Pcpw 3800   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   Fincfn 7110   Basecbs 13470   ↾s cress 13471   LModclmod 15951   LSubSpclss 16009   LSpanclspn 16048  LFinGenclfig 27143
This theorem is referenced by:  lsmfgcl  27150  lmhmfgima  27160  lmhmfgsplit  27162
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-0g 13728  df-mnd 14691  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-subg 14942  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-ur 15666  df-lmod 15953  df-lss 16010  df-lsp 16049  df-lfig 27144
  Copyright terms: Public domain W3C validator