Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islvol2 Unicode version

Theorem islvol2 29769
Description: The predicate "is a 3-dim lattice volume" in terms of atoms. (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islvol5.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
islvol5.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
islvol5.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
islvol5.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
islvol5.v  |-  V  =  ( LVols `  K )
Assertion
Ref Expression
islvol2  |-  ( K  e.  HL  ->  ( X  e.  V  <->  ( X  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) ) )
Distinct variable groups:    q, p, r, s, A    B, p, q, r, s    .\/ , p, q, r, s    K, p, q, r, s    .<_ , p, q, r, s    X, p, q, r, s
Allowed substitution hints:    V( s, r, q, p)

Proof of Theorem islvol2
StepHypRef Expression
1 islvol5.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 islvol5.v . . . 4  |-  V  =  ( LVols `  K )
31, 2lvolbase 29767 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  B )
43pm4.71ri 614 . 2  |-  ( X  e.  V  <->  ( X  e.  B  /\  X  e.  V ) )
5 islvol5.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 islvol5.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
7 islvol5.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
81, 5, 6, 7, 2islvol5 29768 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  V  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  (
( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) )
98pm5.32da 622 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( X  e.  B  /\  X  e.  V
)  <->  ( X  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) ) )
104, 9syl5bb 248 1  |-  ( K  e.  HL  ->  ( X  e.  V  <->  ( X  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   joincjn 14078   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   LVolsclvol 29682
This theorem is referenced by:  lplncvrlvol2  29804
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689
  Copyright terms: Public domain W3C validator