Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islvol3 Unicode version

Theorem islvol3 30387
Description: The predicate "is a 3-dim lattice volume". (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islvol3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
islvol3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
islvol3.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
islvol3.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
islvol3.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
islvol3.v  |-  V  =  ( LVols `  K )
Assertion
Ref Expression
islvol3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  V  <->  E. y  e.  P  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  p ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    y, p, B    K, p, y   
.<_ , p    P, p, y    X, p, y
Allowed substitution hints:    A( y)    .\/ ( y, p)   
.<_ ( y)    V( y, p)

Proof of Theorem islvol3
StepHypRef Expression
1 islvol3.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2296 . . 3  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
3 islvol3.p . . 3  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
4 islvol3.v . . 3  |-  V  =  ( LVols `  K )
51, 2, 3, 4islvol4 30385 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  V  <->  E. y  e.  P  y (  <o  `  K ) X ) )
6 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  P
)  ->  K  e.  HL )
71, 3lplnbase 30345 . . . . . 6  |-  ( y  e.  P  ->  y  e.  B )
87adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  P
)  ->  y  e.  B )
9 simplr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  P
)  ->  X  e.  B )
10 islvol3.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
11 islvol3.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
12 islvol3.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
131, 10, 11, 2, 12cvrval3 30224 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( y (  <o  `  K ) X  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  (
y  .\/  p )  =  X ) ) )
146, 8, 9, 13syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  P
)  ->  ( y
(  <o  `  K ) X 
<->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  ( y  .\/  p )  =  X ) ) )
15 eqcom 2298 . . . . . . 7  |-  ( ( y  .\/  p )  =  X  <->  X  =  ( y  .\/  p
) )
1615a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  P )  /\  p  e.  A )  ->  (
( y  .\/  p
)  =  X  <->  X  =  ( y  .\/  p
) ) )
1716anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  P )  /\  p  e.  A )  ->  (
( -.  p  .<_  y  /\  ( y  .\/  p )  =  X )  <->  ( -.  p  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  p
) ) ) )
1817rexbidva 2573 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  P
)  ->  ( E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  ( y  .\/  p
)  =  X )  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  p ) ) ) )
1914, 18bitrd 244 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  P
)  ->  ( y
(  <o  `  K ) X 
<->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  p ) ) ) )
2019rexbidva 2573 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. y  e.  P  y (  <o  `  K ) X  <->  E. y  e.  P  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  p ) ) ) )
215, 20bitrd 244 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  V  <->  E. y  e.  P  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  p ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   joincjn 14094    <o ccvr 30074   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   LPlanesclpl 30303   LVolsclvol 30304
This theorem is referenced by:  lvoli3  30388  islvol5  30390
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-lplanes 30310  df-lvols 30311
  Copyright terms: Public domain W3C validator