Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islvol5 Unicode version

Theorem islvol5 29768
Description: The predicate "is a 3-dim lattice volume" in terms of atoms. (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islvol5.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
islvol5.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
islvol5.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
islvol5.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
islvol5.v  |-  V  =  ( LVols `  K )
Assertion
Ref Expression
islvol5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  V  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  (
( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) )
Distinct variable groups:    q, p, r, s, A    B, p, q, r, s    .\/ , p, q, r, s    K, p, q, r, s    .<_ , p, q, r, s    X, p, q, r, s
Allowed substitution hints:    V( s, r, q, p)

Proof of Theorem islvol5
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islvol5.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 islvol5.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 islvol5.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 islvol5.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
5 eqid 2283 . . 3  |-  ( LPlanes `  K )  =  (
LPlanes `  K )
6 islvol5.v . . 3  |-  V  =  ( LVols `  K )
71, 2, 3, 4, 5, 6islvol3 29765 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  V  <->  E. y  e.  ( LPlanes `  K ) E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) )
8 rexcom4 2807 . . . . . . . . 9  |-  ( E. r  e.  A  E. y E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  E. y E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
98rexbii 2568 . . . . . . . 8  |-  ( E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. y E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  E. q  e.  A  E. y E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
10 rexcom4 2807 . . . . . . . 8  |-  ( E. q  e.  A  E. y E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  E. y E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
119, 10bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. y E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  E. y E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
1211rexbii 2568 . . . . . 6  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. y E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  E. p  e.  A  E. y E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
13 rexcom4 2807 . . . . . 6  |-  ( E. p  e.  A  E. y E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  E. y E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
1412, 13bitri 240 . . . . 5  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. y E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  E. y E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
15 hllat 29553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1615ad3antrrr 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  A  /\  q  e.  A )
)  /\  r  e.  A )  ->  K  e.  Lat )
17 simplll 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  A  /\  q  e.  A )
)  /\  r  e.  A )  ->  K  e.  HL )
18 simplrl 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  A  /\  q  e.  A )
)  /\  r  e.  A )  ->  p  e.  A )
19 simplrr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  A  /\  q  e.  A )
)  /\  r  e.  A )  ->  q  e.  A )
201, 3, 4hlatjcl 29556 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  q  e.  A )  ->  ( p  .\/  q
)  e.  B )
2117, 18, 19, 20syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  A  /\  q  e.  A )
)  /\  r  e.  A )  ->  (
p  .\/  q )  e.  B )
221, 4atbase 29479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  A  ->  r  e.  B )
2322adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  A  /\  q  e.  A )
)  /\  r  e.  A )  ->  r  e.  B )
241, 3latjcl 14156 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  .\/  q )  e.  B  /\  r  e.  B )  ->  (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  e.  B )
2516, 21, 23, 24syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  A  /\  q  e.  A )
)  /\  r  e.  A )  ->  (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  e.  B )
2625biantrurd 494 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  A  /\  q  e.  A )
)  /\  r  e.  A )  ->  ( E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  .\/  s ) )  <->  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  e.  B  /\  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) ) )
27 r19.41v 2693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <-> 
( E. s  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
28 df-3an 936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) )  <->  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q ) )  /\  y  =  ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )
) )
2928anbi2i 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E. s  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <-> 
( E. s  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q ) )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
30 an13 774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E. s  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q ) )  /\  y  =  ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )
) )  <->  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  /\  (
( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q ) )  /\  E. s  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) ) ) )
3129, 30bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E. s  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <-> 
( y  =  ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )  /\  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  E. s  e.  A  (
y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) ) ) )
3227, 31bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <-> 
( y  =  ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )  /\  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  E. s  e.  A  (
y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) ) ) )
3332exbii 1569 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  E. y
( y  =  ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )  /\  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  E. s  e.  A  (
y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) ) ) )
34 ovex 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  e. 
_V
35 an12 772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q ) )  /\  ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) )  <->  ( y  e.  B  /\  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q ) )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s
) ) ) ) )
36 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  (
y  e.  B  <->  ( (
p  .\/  q )  .\/  r )  e.  B
) )
37 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  (
s  .<_  y  <->  s  .<_  ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )
) )
3837notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  ( -.  s  .<_  y  <->  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )
39 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  (
y  .\/  s )  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  .\/  s ) )
4039eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  ( X  =  ( y  .\/  s )  <->  X  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  .\/  s
) ) )
4138, 40anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  (
( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) )  <->  ( -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  /\  X  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  .\/  s
) ) ) )
4241anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  (
( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  <-> 
( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  ( -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  /\  X  =  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) ) ) ) )
43 anass 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  -.  s  .<_  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r ) )  /\  X  =  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) )  <->  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  /\  X  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  .\/  s
) ) ) )
44 df-3an 936 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  <-> 
( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  -.  s  .<_  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r ) ) )
4544bicomi 193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q ) )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  <->  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )
4645anbi1i 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  -.  s  .<_  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r ) )  /\  X  =  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) )  <->  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) )
4743, 46bitr3i 242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  /\  X  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  .\/  s
) ) )  <->  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) )
4842, 47syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  (
( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  <-> 
( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  .\/  s ) ) ) )
4936, 48anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  (
( y  e.  B  /\  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) )  <->  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  e.  B  /\  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) ) )
5035, 49syl5bb 248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  (
( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  (
y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) )  <->  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  e.  B  /\  (
( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) ) )
5150rexbidv 2564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  ( E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  (
y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) )  <->  E. s  e.  A  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  e.  B  /\  (
( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) ) )
52 r19.42v 2694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q ) )  /\  ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) )  <->  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q ) )  /\  E. s  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) ) )
53 r19.42v 2694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. s  e.  A  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  e.  B  /\  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  .\/  s ) ) )  <-> 
( ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  e.  B  /\  E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  .\/  s ) ) ) )
5451, 52, 533bitr3g 278 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  (
( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  E. s  e.  A  (
y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) )  <->  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  e.  B  /\  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) ) )
5534, 54ceqsexv 2823 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y ( y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  /\  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q ) )  /\  E. s  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) ) )  <->  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  e.  B  /\  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) )
5633, 55bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( E. y E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  e.  B  /\  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) )
5726, 56syl6rbbr 255 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  A  /\  q  e.  A )
)  /\  r  e.  A )  ->  ( E. y E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) )
5857rexbidva 2560 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A ) )  -> 
( E. r  e.  A  E. y E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  .\/  s ) ) ) )
59582rexbidva 2584 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. y E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  .\/  s ) ) ) )
6014, 59syl5rbbr 251 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r ) )  /\  X  =  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) )  <->  E. y E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) ) )
611, 2, 3, 4, 5islpln2 29725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  <->  ( y  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) ) )
6261adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  <->  ( y  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) ) )
6362anbi1d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( ( y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  <->  ( (
y  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s
) ) ) ) )
64 r19.42v 2694 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. p  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <-> 
( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
65 r19.42v 2694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <-> 
( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
6665rexbii 2568 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. q  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
67 r19.42v 2694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. q  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  E. r  e.  A  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <-> 
( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
6866, 67bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <-> 
( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
6968rexbii 2568 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. p  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
70 an32 773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s
) ) )  <->  ( (
y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
7164, 69, 703bitr4ri 269 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s
) ) )  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( (
y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
7263, 71syl6bb 252 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( ( y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( (
y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) ) )
7372rexbidv 2564 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. s  e.  A  ( y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  <->  E. s  e.  A  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( (
y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) ) )
74 rexcom 2701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. r  e.  A  E. s  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. s  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
7574rexbii 2568 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. q  e.  A  E. s  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
76 rexcom 2701 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. q  e.  A  E. s  e.  A  E. r  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. s  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
7775, 76bitri 240 . . . . . . . . 9  |-  ( E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. s  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
7877rexbii 2568 . . . . . . . 8  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. p  e.  A  E. s  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
79 rexcom 2701 . . . . . . . 8  |-  ( E. p  e.  A  E. s  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. s  e.  A  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
8078, 79bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. s  e.  A  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
8173, 80syl6rbbr 255 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  E. s  e.  A  ( y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) ) )
82 r19.42v 2694 . . . . . 6  |-  ( E. s  e.  A  ( y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  <-> 
( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) )
8381, 82syl6bb 252 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  ( y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) ) )
8483exbidv 1612 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. y E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. y ( y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) ) )
8560, 84bitrd 244 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r ) )  /\  X  =  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) )  <->  E. y
( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) ) )
86 df-rex 2549 . . 3  |-  ( E. y  e.  ( LPlanes `  K ) E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) )  <->  E. y
( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) )
8785, 86syl6rbbr 255 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. y  e.  ( LPlanes `  K ) E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) )  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  .\/  s ) ) ) )
887, 87bitrd 244 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  V  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  (
( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   joincjn 14078   Latclat 14151   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   LPlanesclpl 29681   LVolsclvol 29682
This theorem is referenced by:  islvol2  29769  lvoli2  29770
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689
  Copyright terms: Public domain W3C validator