Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islvol5 Structured version   Unicode version

Theorem islvol5 30550
Description: The predicate "is a 3-dim lattice volume" in terms of atoms. (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islvol5.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
islvol5.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
islvol5.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
islvol5.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
islvol5.v  |-  V  =  ( LVols `  K )
Assertion
Ref Expression
islvol5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  V  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  (
( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) )
Distinct variable groups:    q, p, r, s, A    B, p, q, r, s    .\/ , p, q, r, s    K, p, q, r, s    .<_ , p, q, r, s    X, p, q, r, s
Allowed substitution hints:    V( s, r, q, p)

Proof of Theorem islvol5
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islvol5.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 islvol5.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 islvol5.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 islvol5.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
5 eqid 2443 . . 3  |-  ( LPlanes `  K )  =  (
LPlanes `  K )
6 islvol5.v . . 3  |-  V  =  ( LVols `  K )
71, 2, 3, 4, 5, 6islvol3 30547 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  V  <->  E. y  e.  ( LPlanes `  K ) E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) )
8 rexcom4 2984 . . . . . . . . 9  |-  ( E. r  e.  A  E. y E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  E. y E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
98rexbii 2737 . . . . . . . 8  |-  ( E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. y E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  E. q  e.  A  E. y E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
10 rexcom4 2984 . . . . . . . 8  |-  ( E. q  e.  A  E. y E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  E. y E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
119, 10bitri 242 . . . . . . 7  |-  ( E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. y E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  E. y E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
1211rexbii 2737 . . . . . 6  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. y E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  E. p  e.  A  E. y E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
13 rexcom4 2984 . . . . . 6  |-  ( E. p  e.  A  E. y E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  E. y E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
1412, 13bitri 242 . . . . 5  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. y E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  E. y E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
15 hllat 30335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1615ad3antrrr 712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  A  /\  q  e.  A )
)  /\  r  e.  A )  ->  K  e.  Lat )
17 simplll 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  A  /\  q  e.  A )
)  /\  r  e.  A )  ->  K  e.  HL )
18 simplrl 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  A  /\  q  e.  A )
)  /\  r  e.  A )  ->  p  e.  A )
19 simplrr 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  A  /\  q  e.  A )
)  /\  r  e.  A )  ->  q  e.  A )
201, 3, 4hlatjcl 30338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  q  e.  A )  ->  ( p  .\/  q
)  e.  B )
2117, 18, 19, 20syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  A  /\  q  e.  A )
)  /\  r  e.  A )  ->  (
p  .\/  q )  e.  B )
221, 4atbase 30261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  A  ->  r  e.  B )
2322adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  A  /\  q  e.  A )
)  /\  r  e.  A )  ->  r  e.  B )
241, 3latjcl 14517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  .\/  q )  e.  B  /\  r  e.  B )  ->  (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  e.  B )
2516, 21, 23, 24syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  A  /\  q  e.  A )
)  /\  r  e.  A )  ->  (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  e.  B )
2625biantrurd 496 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  A  /\  q  e.  A )
)  /\  r  e.  A )  ->  ( E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  .\/  s ) )  <->  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  e.  B  /\  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) ) )
27 r19.41v 2868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <-> 
( E. s  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
28 df-3an 939 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) )  <->  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q ) )  /\  y  =  ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )
) )
2928anbi2i 677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E. s  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <-> 
( E. s  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q ) )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
30 an13 776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E. s  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q ) )  /\  y  =  ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )
) )  <->  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  /\  (
( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q ) )  /\  E. s  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) ) ) )
3129, 30bitri 242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E. s  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <-> 
( y  =  ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )  /\  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  E. s  e.  A  (
y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) ) ) )
3227, 31bitri 242 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <-> 
( y  =  ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )  /\  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  E. s  e.  A  (
y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) ) ) )
3332exbii 1593 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  E. y
( y  =  ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )  /\  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  E. s  e.  A  (
y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) ) ) )
34 ovex 6142 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  e. 
_V
35 an12 774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q ) )  /\  ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) )  <->  ( y  e.  B  /\  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q ) )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s
) ) ) ) )
36 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  (
y  e.  B  <->  ( (
p  .\/  q )  .\/  r )  e.  B
) )
37 breq2 4247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  (
s  .<_  y  <->  s  .<_  ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )
) )
3837notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  ( -.  s  .<_  y  <->  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )
39 oveq1 6124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  (
y  .\/  s )  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  .\/  s ) )
4039eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  ( X  =  ( y  .\/  s )  <->  X  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  .\/  s
) ) )
4138, 40anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  (
( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) )  <->  ( -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  /\  X  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  .\/  s
) ) ) )
4241anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  (
( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  <-> 
( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  ( -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  /\  X  =  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) ) ) ) )
43 anass 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  -.  s  .<_  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r ) )  /\  X  =  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) )  <->  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  /\  X  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  .\/  s
) ) ) )
44 df-3an 939 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  <-> 
( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  -.  s  .<_  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r ) ) )
4544bicomi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q ) )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  <->  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )
4645anbi1i 678 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  -.  s  .<_  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r ) )  /\  X  =  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) )  <->  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) )
4743, 46bitr3i 244 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  /\  X  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  .\/  s
) ) )  <->  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) )
4842, 47syl6bb 254 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  (
( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  <-> 
( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  .\/  s ) ) ) )
4936, 48anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  (
( y  e.  B  /\  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) )  <->  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  e.  B  /\  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) ) )
5035, 49syl5bb 250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  (
( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  (
y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) )  <->  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  e.  B  /\  (
( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) ) )
5150rexbidv 2733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  ( E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  (
y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) )  <->  E. s  e.  A  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  e.  B  /\  (
( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) ) )
52 r19.42v 2869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q ) )  /\  ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) )  <->  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q ) )  /\  E. s  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) ) )
53 r19.42v 2869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. s  e.  A  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  e.  B  /\  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  .\/  s ) ) )  <-> 
( ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  e.  B  /\  E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  .\/  s ) ) ) )
5451, 52, 533bitr3g 280 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  (
( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  E. s  e.  A  (
y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) )  <->  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  e.  B  /\  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) ) )
5534, 54ceqsexv 3000 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y ( y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  /\  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q ) )  /\  E. s  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) ) )  <->  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  e.  B  /\  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) )
5633, 55bitri 242 . . . . . . . 8  |-  ( E. y E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  e.  B  /\  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) )
5726, 56syl6rbbr 257 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  A  /\  q  e.  A )
)  /\  r  e.  A )  ->  ( E. y E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) )
5857rexbidva 2729 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A ) )  -> 
( E. r  e.  A  E. y E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  .\/  s ) ) ) )
59582rexbidva 2753 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. y E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  .\/  s ) ) ) )
6014, 59syl5rbbr 253 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r ) )  /\  X  =  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) )  <->  E. y E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) ) )
611, 2, 3, 4, 5islpln2 30507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  <->  ( y  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) ) )
6261adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  <->  ( y  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) ) )
6362anbi1d 687 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( ( y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  <->  ( (
y  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s
) ) ) ) )
64 r19.42v 2869 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. p  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <-> 
( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
65 r19.42v 2869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <-> 
( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
6665rexbii 2737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. q  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
67 r19.42v 2869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. q  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  E. r  e.  A  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <-> 
( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
6866, 67bitri 242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <-> 
( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
6968rexbii 2737 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. p  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
70 an32 775 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s
) ) )  <->  ( (
y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
7164, 69, 703bitr4ri 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s
) ) )  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( (
y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
7263, 71syl6bb 254 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( ( y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( (
y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) ) )
7372rexbidv 2733 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. s  e.  A  ( y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  <->  E. s  e.  A  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( (
y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) ) )
74 rexcom 2876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. r  e.  A  E. s  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. s  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
7574rexbii 2737 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. q  e.  A  E. s  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
76 rexcom 2876 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. q  e.  A  E. s  e.  A  E. r  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. s  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
7775, 76bitri 242 . . . . . . . . 9  |-  ( E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. s  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
7877rexbii 2737 . . . . . . . 8  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. p  e.  A  E. s  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
79 rexcom 2876 . . . . . . . 8  |-  ( E. p  e.  A  E. s  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. s  e.  A  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
8078, 79bitri 242 . . . . . . 7  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. s  e.  A  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
8173, 80syl6rbbr 257 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  E. s  e.  A  ( y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) ) )
82 r19.42v 2869 . . . . . 6  |-  ( E. s  e.  A  ( y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  <-> 
( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) )
8381, 82syl6bb 254 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  ( y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) ) )
8483exbidv 1638 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. y E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. y ( y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) ) )
8560, 84bitrd 246 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r ) )  /\  X  =  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) )  <->  E. y
( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) ) )
86 df-rex 2718 . . 3  |-  ( E. y  e.  ( LPlanes `  K ) E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) )  <->  E. y
( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) )
8785, 86syl6rbbr 257 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. y  e.  ( LPlanes `  K ) E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) )  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  .\/  s ) ) ) )
887, 87bitrd 246 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  V  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  (
( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1654    e. wcel 1728    =/= wne 2606   E.wrex 2713   class class class wbr 4243   ` cfv 5489  (class class class)co 6117   Basecbs 13507   lecple 13574   joincjn 14439   Latclat 14512   Atomscatm 30235   HLchlt 30322   LPlanesclpl 30463   LVolsclvol 30464
This theorem is referenced by:  islvol2  30551  lvoli2  30552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-op 3852  df-uni 4045  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-id 4533  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-undef 6579  df-riota 6585  df-poset 14441  df-plt 14453  df-lub 14469  df-glb 14470  df-join 14471  df-meet 14472  df-p0 14506  df-lat 14513  df-clat 14575  df-oposet 30148  df-ol 30150  df-oml 30151  df-covers 30238  df-ats 30239  df-atl 30270  df-cvlat 30294  df-hlat 30323  df-llines 30469  df-lplanes 30470  df-lvols 30471
  Copyright terms: Public domain W3C validator