Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islvol5 Unicode version

Theorem islvol5 30073
Description: The predicate "is a 3-dim lattice volume" in terms of atoms. (Contributed by NM, 1-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islvol5.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
islvol5.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
islvol5.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
islvol5.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
islvol5.v  |-  V  =  ( LVols `  K )
Assertion
Ref Expression
islvol5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  V  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  (
( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) )
Distinct variable groups:    q, p, r, s, A    B, p, q, r, s    .\/ , p, q, r, s    K, p, q, r, s    .<_ , p, q, r, s    X, p, q, r, s
Allowed substitution hints:    V( s, r, q, p)

Proof of Theorem islvol5
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islvol5.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 islvol5.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 islvol5.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 islvol5.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
5 eqid 2412 . . 3  |-  ( LPlanes `  K )  =  (
LPlanes `  K )
6 islvol5.v . . 3  |-  V  =  ( LVols `  K )
71, 2, 3, 4, 5, 6islvol3 30070 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  V  <->  E. y  e.  ( LPlanes `  K ) E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) )
8 rexcom4 2943 . . . . . . . . 9  |-  ( E. r  e.  A  E. y E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  E. y E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
98rexbii 2699 . . . . . . . 8  |-  ( E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. y E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  E. q  e.  A  E. y E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
10 rexcom4 2943 . . . . . . . 8  |-  ( E. q  e.  A  E. y E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  E. y E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
119, 10bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. y E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  E. y E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
1211rexbii 2699 . . . . . 6  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. y E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  E. p  e.  A  E. y E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
13 rexcom4 2943 . . . . . 6  |-  ( E. p  e.  A  E. y E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  E. y E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
1412, 13bitri 241 . . . . 5  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. y E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  E. y E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
15 hllat 29858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1615ad3antrrr 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  A  /\  q  e.  A )
)  /\  r  e.  A )  ->  K  e.  Lat )
17 simplll 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  A  /\  q  e.  A )
)  /\  r  e.  A )  ->  K  e.  HL )
18 simplrl 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  A  /\  q  e.  A )
)  /\  r  e.  A )  ->  p  e.  A )
19 simplrr 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  A  /\  q  e.  A )
)  /\  r  e.  A )  ->  q  e.  A )
201, 3, 4hlatjcl 29861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  q  e.  A )  ->  ( p  .\/  q
)  e.  B )
2117, 18, 19, 20syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  A  /\  q  e.  A )
)  /\  r  e.  A )  ->  (
p  .\/  q )  e.  B )
221, 4atbase 29784 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  A  ->  r  e.  B )
2322adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  A  /\  q  e.  A )
)  /\  r  e.  A )  ->  r  e.  B )
241, 3latjcl 14442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  .\/  q )  e.  B  /\  r  e.  B )  ->  (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  e.  B )
2516, 21, 23, 24syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  A  /\  q  e.  A )
)  /\  r  e.  A )  ->  (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  e.  B )
2625biantrurd 495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  A  /\  q  e.  A )
)  /\  r  e.  A )  ->  ( E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  .\/  s ) )  <->  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  e.  B  /\  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) ) )
27 r19.41v 2829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <-> 
( E. s  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
28 df-3an 938 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) )  <->  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q ) )  /\  y  =  ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )
) )
2928anbi2i 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E. s  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <-> 
( E. s  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q ) )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
30 an13 775 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E. s  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q ) )  /\  y  =  ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )
) )  <->  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  /\  (
( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q ) )  /\  E. s  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) ) ) )
3129, 30bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E. s  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <-> 
( y  =  ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )  /\  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  E. s  e.  A  (
y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) ) ) )
3227, 31bitri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <-> 
( y  =  ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )  /\  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  E. s  e.  A  (
y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) ) ) )
3332exbii 1589 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  E. y
( y  =  ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )  /\  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  E. s  e.  A  (
y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) ) ) )
34 ovex 6073 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  e. 
_V
35 an12 773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q ) )  /\  ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) )  <->  ( y  e.  B  /\  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q ) )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s
) ) ) ) )
36 eleq1 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  (
y  e.  B  <->  ( (
p  .\/  q )  .\/  r )  e.  B
) )
37 breq2 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  (
s  .<_  y  <->  s  .<_  ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )
) )
3837notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  ( -.  s  .<_  y  <->  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )
39 oveq1 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  (
y  .\/  s )  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  .\/  s ) )
4039eqeq2d 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  ( X  =  ( y  .\/  s )  <->  X  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  .\/  s
) ) )
4138, 40anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  (
( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) )  <->  ( -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  /\  X  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  .\/  s
) ) ) )
4241anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  (
( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  <-> 
( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  ( -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  /\  X  =  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) ) ) ) )
43 anass 631 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  -.  s  .<_  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r ) )  /\  X  =  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) )  <->  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  /\  X  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  .\/  s
) ) ) )
44 df-3an 938 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  <-> 
( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  -.  s  .<_  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r ) ) )
4544bicomi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q ) )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  <->  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )
4645anbi1i 677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  -.  s  .<_  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r ) )  /\  X  =  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) )  <->  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) )
4743, 46bitr3i 243 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q ) )  /\  ( -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  /\  X  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  .\/  s
) ) )  <->  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) )
4842, 47syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  (
( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  <-> 
( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  .\/  s ) ) ) )
4936, 48anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  (
( y  e.  B  /\  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) )  <->  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  e.  B  /\  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) ) )
5035, 49syl5bb 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  (
( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  (
y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) )  <->  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  e.  B  /\  (
( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) ) )
5150rexbidv 2695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  ( E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  (
y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) )  <->  E. s  e.  A  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  e.  B  /\  (
( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) ) )
52 r19.42v 2830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q ) )  /\  ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) )  <->  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q ) )  /\  E. s  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) ) )
53 r19.42v 2830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. s  e.  A  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  e.  B  /\  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  .\/  s ) ) )  <-> 
( ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  e.  B  /\  E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  .\/  s ) ) ) )
5451, 52, 533bitr3g 279 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  ->  (
( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
) )  /\  E. s  e.  A  (
y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) )  <->  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  e.  B  /\  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) ) )
5534, 54ceqsexv 2959 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y ( y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  /\  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q ) )  /\  E. s  e.  A  ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) ) )  <->  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  e.  B  /\  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) )
5633, 55bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( E. y E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  e.  B  /\  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) )
5726, 56syl6rbbr 256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  (
p  e.  A  /\  q  e.  A )
)  /\  r  e.  A )  ->  ( E. y E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) )
5857rexbidva 2691 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  /\  ( p  e.  A  /\  q  e.  A ) )  -> 
( E. r  e.  A  E. y E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  .\/  s ) ) ) )
59582rexbidva 2715 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. y E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  .\/  s ) ) ) )
6014, 59syl5rbbr 252 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r ) )  /\  X  =  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) )  <->  E. y E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) ) )
611, 2, 3, 4, 5islpln2 30030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  <->  ( y  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) ) )
6261adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  <->  ( y  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) ) )
6362anbi1d 686 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( ( y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  <->  ( (
y  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s
) ) ) ) )
64 r19.42v 2830 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. p  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <-> 
( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
65 r19.42v 2830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <-> 
( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
6665rexbii 2699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. q  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
67 r19.42v 2830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. q  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  E. r  e.  A  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <-> 
( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
6866, 67bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <-> 
( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
6968rexbii 2699 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. p  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
70 an32 774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s
) ) )  <->  ( (
y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
7164, 69, 703bitr4ri 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  B  /\  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s
) ) )  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( (
y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) )
7263, 71syl6bb 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( ( y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( (
y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) ) )
7372rexbidv 2695 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. s  e.  A  ( y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  <->  E. s  e.  A  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( (
y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) ) ) )
74 rexcom 2837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. r  e.  A  E. s  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. s  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
7574rexbii 2699 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. q  e.  A  E. s  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
76 rexcom 2837 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. q  e.  A  E. s  e.  A  E. r  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. s  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
7775, 76bitri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. s  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
7877rexbii 2699 . . . . . . . 8  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. p  e.  A  E. s  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
79 rexcom 2837 . . . . . . . 8  |-  ( E. p  e.  A  E. s  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. s  e.  A  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
8078, 79bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. s  e.  A  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) ) )
8173, 80syl6rbbr 256 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  E. s  e.  A  ( y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) ) )
82 r19.42v 2830 . . . . . 6  |-  ( E. s  e.  A  ( y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  <-> 
( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) )
8381, 82syl6bb 253 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  y  =  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) ) )  <->  ( y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) ) )
8483exbidv 1633 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. y E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  (
( y  e.  B  /\  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) )  /\  (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  y  =  ( (
p  .\/  q )  .\/  r ) ) )  <->  E. y ( y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) ) )
8560, 84bitrd 245 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r ) )  /\  X  =  ( (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) )  <->  E. y
( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) ) )
86 df-rex 2680 . . 3  |-  ( E. y  e.  ( LPlanes `  K ) E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) )  <->  E. y
( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) ) ) )
8785, 86syl6rbbr 256 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( E. y  e.  ( LPlanes `  K ) E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  y  /\  X  =  ( y  .\/  s ) )  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  .\/  s ) ) ) )
887, 87bitrd 245 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  e.  V  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  (
( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  X  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   E.wrex 2675   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Basecbs 13432   lecple 13499   joincjn 14364   Latclat 14437   Atomscatm 29758   HLchlt 29845   LPlanesclpl 29986   LVolsclvol 29987
This theorem is referenced by:  islvol2  30074  lvoli2  30075
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-undef 6510  df-riota 6516  df-poset 14366  df-plt 14378  df-lub 14394  df-glb 14395  df-join 14396  df-meet 14397  df-p0 14431  df-lat 14438  df-clat 14500  df-oposet 29671  df-ol 29673  df-oml 29674  df-covers 29761  df-ats 29762  df-atl 29793  df-cvlat 29817  df-hlat 29846  df-llines 29992  df-lplanes 29993  df-lvols 29994
  Copyright terms: Public domain W3C validator