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Theorem ismbf3d 19538
Description: Simplified form of ismbfd 19524. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbf3d.1  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
ismbf3d.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
Assertion
Ref Expression
ismbf3d  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, F    ph, x
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem ismbf3d
Dummy variables  v  u  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbf3d.1 . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
2 fimacnv 5854 . . . 4  |-  ( F : A --> RR  ->  ( `' F " RR )  =  A )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' F " RR )  =  A
)
4 imaiun 5984 . . . . 5  |-  ( `' F " U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo ) )  = 
U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,)  +oo ) )
5 ioossre 10964 . . . . . . . . 9  |-  ( -u y (,)  +oo )  C_  RR
65rgenw 2765 . . . . . . . 8  |-  A. y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo )  C_  RR
7 iunss 4124 . . . . . . . 8  |-  ( U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo )  C_  RR  <->  A. y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo )  C_  RR )
86, 7mpbir 201 . . . . . . 7  |-  U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo )  C_  RR
9 renegcl 9356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  RR  ->  -u z  e.  RR )
10 arch 10210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u z  e.  RR  ->  E. y  e.  NN  -u z  <  y )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  E. y  e.  NN  -u z  <  y
)
12 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  z  e.  RR )
1312biantrurd 495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u y  < 
z  <->  ( z  e.  RR  /\  -u y  <  z ) ) )
14 nnre 9999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
15 ltnegcon1 9521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u z  < 
y  <->  -u y  <  z
) )
1614, 15sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u z  < 
y  <->  -u y  <  z
) )
1714adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  RR )
1817renegcld 9456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  -> 
-u y  e.  RR )
1918rexrd 9126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  -> 
-u y  e.  RR* )
20 elioopnf 10990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u y  e.  RR*  ->  (
z  e.  ( -u y (,)  +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  -u y  <  z ) ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  ( z  e.  (
-u y (,)  +oo ) 
<->  ( z  e.  RR  /\  -u y  <  z ) ) )
2213, 16, 213bitr4d 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u z  < 
y  <->  z  e.  (
-u y (,)  +oo ) ) )
2322rexbidva 2714 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  ( E. y  e.  NN  -u z  <  y  <->  E. y  e.  NN  z  e.  (
-u y (,)  +oo ) ) )
2411, 23mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR  ->  E. y  e.  NN  z  e.  (
-u y (,)  +oo ) )
25 eliun 4089 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo )  <->  E. y  e.  NN  z  e.  (
-u y (,)  +oo ) )
2624, 25sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo ) )
2726ssriv 3344 . . . . . . 7  |-  RR  C_  U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo )
288, 27eqssi 3356 . . . . . 6  |-  U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo )  =  RR
2928imaeq2i 5193 . . . . 5  |-  ( `' F " U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo ) )  =  ( `' F " RR )
304, 29eqtr3i 2457 . . . 4  |-  U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,) 
+oo ) )  =  ( `' F " RR )
31 ismbf3d.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
3231ralrimiva 2781 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
3314renegcld 9456 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  -u y  e.  RR )
34 oveq1 6080 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  -u y  ->  (
x (,)  +oo )  =  ( -u y (,) 
+oo ) )
3534imaeq2d 5195 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -u y  ->  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  =  ( `' F "
( -u y (,)  +oo ) ) )
3635eleq1d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u y  ->  (
( `' F "
( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( -u y (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol ) )
3736rspccva 3043 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  RR  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol  /\  -u y  e.  RR )  ->  ( `' F " ( -u y (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
3832, 33, 37syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( -u y (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
3938ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
40 iunmbl 19439 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol )
4139, 40syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
4230, 41syl5eqelr 2520 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' F " RR )  e.  dom  vol )
433, 42eqeltrrd 2510 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
44 imaiun 5984 . . . . . . 7  |-  ( `' F " U_ y  e.  NN  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  = 
U_ y  e.  NN  ( `' F " (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )
45 eliun 4089 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U_ y  e.  NN  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  <->  E. y  e.  NN  x  e.  ( 
-oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) ) )
46 3simpb 955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -oo 
<  x  /\  x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) ) )  ->  (
x  e.  RR  /\  x  <_  ( z  -  ( 1  /  y
) ) ) )
47 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  z  e.  RR )
48 nnrp 10613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR+ )
4948ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  y  e.  RR+ )
5049rpreccld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( 1  /  y )  e.  RR+ )
5147, 50ltsubrpd 10668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  < 
z )
52 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  x  e.  RR )
53 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  z  e.  RR )
54 nnrecre 10028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  /  y )  e.  RR )
55 resubcl 9357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( 1  /  y
)  e.  RR )  ->  ( z  -  ( 1  /  y
) )  e.  RR )
5653, 54, 55syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR )
5756adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  e.  RR )
58 lelttr 9157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( x  <_ 
( z  -  (
1  /  y ) )  /\  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  < 
z )  ->  x  <  z ) )
5952, 57, 47, 58syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
x  <_  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  <  z )  ->  x  <  z
) )
6051, 59mpan2d 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) )  ->  x  <  z ) )
6160anassrs 630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <_ 
( z  -  (
1  /  y ) )  ->  x  <  z ) )
6261imdistanda 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( x  e.  RR  /\  x  <_  ( z  -  ( 1  / 
y ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
6346, 62syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( x  e.  RR  /\ 
-oo  <  x  /\  x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) ) )  ->  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) ) )
64 mnfxr 10706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -oo  e.  RR*
65 elioc2 10965 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR )  -> 
( x  e.  ( 
-oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  -oo  <  x  /\  x  <_  (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) ) )
6664, 56, 65sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
x  e.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  -oo  <  x  /\  x  <_  (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) ) )
67 rexr 9122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  RR* )
6867adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  z  e. 
RR* )
69 elioomnf 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( x  e.  (  -oo (,) z )  <->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( x  e.  (  -oo (,) z )  <->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
7170adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
x  e.  (  -oo (,) z )  <->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
7263, 66, 713imtr4d 260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
x  e.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  ->  x  e.  (  -oo (,) z
) ) )
7372rexlimdva 2822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  x  e.  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  ->  x  e.  (  -oo (,) z ) ) )
7473, 70sylibd 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  x  e.  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
75 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  z  e.  RR )
76 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  x  e.  RR )
7775, 76resubcld 9457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  ( z  -  x )  e.  RR )
78 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  x  <  z
)
7976, 75posdifd 9605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  ( x  < 
z  <->  0  <  (
z  -  x ) ) )
8078, 79mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  0  <  (
z  -  x ) )
81 nnrecl 10211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  -  x
)  e.  RR  /\  0  <  ( z  -  x ) )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  ( z  -  x ) )
8277, 80, 81syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  ( z  -  x ) )
8376adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
84 mnflt 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  -oo  <  x )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  -oo  <  x )
8656ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  ( z  -  ( 1  /  y
) )  e.  RR )
8754ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  ( 1  / 
y )  e.  RR )
8875adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  z  e.  RR )
89 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  ( 1  / 
y )  <  (
z  -  x ) )
9087, 88, 83, 89ltsub13d 9624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  x  <  (
z  -  ( 1  /  y ) ) )
9183, 86, 90ltled 9213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  x  <_  (
z  -  ( 1  /  y ) ) )
9266ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  ( x  e.  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  -oo  <  x  /\  x  <_  (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) ) )
9383, 85, 91, 92mpbir3and 1137 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  x  e.  ( 
-oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) ) )
9493expr 599 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( 1  /  y
)  <  ( z  -  x )  ->  x  e.  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) ) )
9594reximdva 2810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  ( E. y  e.  NN  ( 1  / 
y )  <  (
z  -  x )  ->  E. y  e.  NN  x  e.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) ) )
9682, 95mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  E. y  e.  NN  x  e.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )
9796ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  x  <  z )  ->  E. y  e.  NN  x  e.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) ) )
9874, 97impbid 184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  x  e.  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
9998, 70bitr4d 248 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  x  e.  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  <->  x  e.  (  -oo (,) z ) ) )
10045, 99syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( x  e.  U_ y  e.  NN  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  <->  x  e.  (  -oo (,) z ) ) )
101100eqrdv 2433 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  U_ y  e.  NN  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  =  ( 
-oo (,) z ) )
102101imaeq2d 5195 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( `' F " U_ y  e.  NN  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  ( `' F "
(  -oo (,) z ) ) )
10344, 102syl5eqr 2481 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  =  ( `' F " (  -oo (,) z ) ) )
1041ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  F : A --> RR )
105 ffun 5585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> RR  ->  Fun 
F )
106104, 105syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  Fun  F )
107 funcnvcnv 5501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  `' `' F )
108 imadif 5520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  `' `' F  ->  ( `' F " ( RR 
\  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo ) ) )  =  ( ( `' F " RR ) 
\  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) ) ) )
109106, 107, 1083syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( RR 
\  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo ) ) )  =  ( ( `' F " RR ) 
\  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) ) ) )
11064a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  -oo  e.  RR* )
11156rexrd 9126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR* )
112 pnfxr 10705 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  +oo  e.  RR*
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  +oo  e.  RR* )
114 mnflt 10714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR  ->  -oo  <  ( z  -  ( 1  /  y ) ) )
11556, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  -oo  <  ( z  -  ( 1  /  y ) ) )
116 ltpnf 10713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR  ->  (
z  -  ( 1  /  y ) )  <  +oo )
11756, 116syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
z  -  ( 1  /  y ) )  <  +oo )
118 df-ioc 10913 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,]  =  ( u  e.  RR* ,  v  e.  RR*  |->  { w  e.  RR*  |  ( u  <  w  /\  w  <_  v ) } )
119 df-ioo 10912 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,)  =  ( u  e.  RR* ,  v  e.  RR*  |->  { w  e.  RR*  |  ( u  <  w  /\  w  <  v ) } )
120 xrltnle 9136 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  -  (
1  /  y ) )  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
( z  -  (
1  /  y ) )  <  x  <->  -.  x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )
121 xrlelttr 10738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( (
x  <_  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  <  +oo )  ->  x  <  +oo )
)
122 xrlttr 10725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
(  -oo  <  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  -oo  <  x ) )
123118, 119, 120, 119, 121, 122ixxun 10924 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  RR*  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  /\  (  -oo  <  ( z  -  ( 1  /  y
) )  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  <  +oo ) )  -> 
( (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  u.  (
( z  -  (
1  /  y ) ) (,)  +oo )
)  =  (  -oo (,) 
+oo ) )
124110, 111, 113, 115, 117, 123syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
(  -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) )  u.  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo ) )  =  (  -oo (,)  +oo ) )
125 uncom 3483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
-oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) )  u.  ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) )  =  ( ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo )  u.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )
126 ioomax 10977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  -oo (,) 
+oo )  =  RR
127124, 125, 1263eqtr3g 2490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo )  u.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  RR )
128 ioossre 10964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,)  +oo )  C_  RR
129 incom 3525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  -  (
1  /  y ) ) (,)  +oo )  i^i  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  =  ( (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  i^i  ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,)  +oo ) )
130118, 119, 120ixxdisj 10923 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( (  -oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) )  i^i  ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) )  =  (/) )
13164, 112, 130mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR*  ->  ( ( 
-oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) )  i^i  ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) )  =  (/) )
132111, 131syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
(  -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) )  i^i  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo ) )  =  (/) )
133129, 132syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo )  i^i  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  (/) )
134 uneqdifeq 3708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo )  C_  RR  /\  (
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo )  i^i  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  (/) )  ->  ( ( ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo )  u.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  RR  <->  ( RR  \ 
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) )  =  ( 
-oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) ) ) )
135128, 133, 134sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo )  u.  (  -oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) ) )  =  RR  <->  ( RR  \  ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) )  =  ( 
-oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) ) ) )
136127, 135mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( RR  \  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo ) )  =  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )
137136imaeq2d 5195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( RR 
\  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo ) ) )  =  ( `' F " (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) ) )
138109, 137eqtr3d 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( `' F " RR )  \  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,)  +oo ) ) )  =  ( `' F " (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) ) )
13942ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " RR )  e.  dom  vol )
14032ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
141 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( z  -  ( 1  /  y
) )  ->  (
x (,)  +oo )  =  ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) )
142141imaeq2d 5195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( z  -  ( 1  /  y
) )  ->  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  =  ( `' F "
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) ) )
143142eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( z  -  ( 1  /  y
) )  ->  (
( `' F "
( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol ) )
144143rspcv 3040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR  ->  ( A. x  e.  RR  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol  ->  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol ) )
14556, 140, 144sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
146 difmbl 19429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F " RR )  e.  dom  vol 
/\  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " RR ) 
\  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
147139, 145, 146syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( `' F " RR )  \  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,)  +oo ) ) )  e.  dom  vol )
148138, 147eqeltrrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  e. 
dom  vol )
149148ralrimiva 2781 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  A. y  e.  NN  ( `' F " (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  e.  dom  vol )
150 iunmbl 19439 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  NN  ( `' F " (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  e. 
dom  vol  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  e.  dom  vol )
151149, 150syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  e.  dom  vol )
152103, 151eqeltrrd 2510 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( `' F " (  -oo (,) z ) )  e. 
dom  vol )
153152ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  RR  ( `' F " (  -oo (,) z ) )  e. 
dom  vol )
154 oveq2 6081 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (  -oo (,) z )  =  (  -oo (,) x
) )
155154imaeq2d 5195 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  ( `' F " (  -oo (,) z ) )  =  ( `' F "
(  -oo (,) x ) ) )
156155eleq1d 2501 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
( `' F "
(  -oo (,) z ) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol ) )
157156cbvralv 2924 . . . 4  |-  ( A. z  e.  RR  ( `' F " (  -oo (,) z ) )  e. 
dom  vol  <->  A. x  e.  RR  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
158153, 157sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
159158r19.21bi 2796 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
1601, 43, 31, 159ismbf2d 19525 1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    \ cdif 3309    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   U_ciun 4085   class class class wbr 4204   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   "cima 4873   Fun wfun 5440   -->wf 5442  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    +oocpnf 9109    -oocmnf 9110   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283   -ucneg 9284    / cdiv 9669   NNcn 9992   RR+crp 10604   (,)cioo 10908   (,]cioc 10909   volcvol 19352  MblFncmbf 19498
This theorem is referenced by:  mbfaddlem  19544  mbfsup  19548
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cc 8307  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xadd 10703  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-xmet 16687  df-met 16688  df-ovol 19353  df-vol 19354  df-mbf 19504
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