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Theorem ismbf3d 19009
Description: Simplified form of ismbfd 18995. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbf3d.1  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
ismbf3d.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
Assertion
Ref Expression
ismbf3d  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, F    ph, x
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem ismbf3d
Dummy variables  v  u  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbf3d.1 . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
2 fimacnv 5657 . . . 4  |-  ( F : A --> RR  ->  ( `' F " RR )  =  A )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' F " RR )  =  A
)
4 imaiun 5771 . . . . 5  |-  ( `' F " U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo ) )  = 
U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,)  +oo ) )
5 ioossre 10712 . . . . . . . . 9  |-  ( -u y (,)  +oo )  C_  RR
65rgenw 2610 . . . . . . . 8  |-  A. y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo )  C_  RR
7 iunss 3943 . . . . . . . 8  |-  ( U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo )  C_  RR  <->  A. y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo )  C_  RR )
86, 7mpbir 200 . . . . . . 7  |-  U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo )  C_  RR
9 renegcl 9110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  RR  ->  -u z  e.  RR )
10 arch 9962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u z  e.  RR  ->  E. y  e.  NN  -u z  <  y )
119, 10syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  E. y  e.  NN  -u z  <  y
)
12 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  z  e.  RR )
1312biantrurd 494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u y  < 
z  <->  ( z  e.  RR  /\  -u y  <  z ) ) )
14 nnre 9753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
15 ltnegcon1 9275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u z  < 
y  <->  -u y  <  z
) )
1614, 15sylan2 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u z  < 
y  <->  -u y  <  z
) )
1714adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  RR )
1817renegcld 9210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  -> 
-u y  e.  RR )
1918rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  -> 
-u y  e.  RR* )
20 elioopnf 10737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u y  e.  RR*  ->  (
z  e.  ( -u y (,)  +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  -u y  <  z ) ) )
2119, 20syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  ( z  e.  (
-u y (,)  +oo ) 
<->  ( z  e.  RR  /\  -u y  <  z ) ) )
2213, 16, 213bitr4d 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u z  < 
y  <->  z  e.  (
-u y (,)  +oo ) ) )
2322rexbidva 2560 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  ( E. y  e.  NN  -u z  <  y  <->  E. y  e.  NN  z  e.  (
-u y (,)  +oo ) ) )
2411, 23mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR  ->  E. y  e.  NN  z  e.  (
-u y (,)  +oo ) )
25 eliun 3909 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo )  <->  E. y  e.  NN  z  e.  (
-u y (,)  +oo ) )
2624, 25sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo ) )
2726ssriv 3184 . . . . . . 7  |-  RR  C_  U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo )
288, 27eqssi 3195 . . . . . 6  |-  U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo )  =  RR
2928imaeq2i 5010 . . . . 5  |-  ( `' F " U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo ) )  =  ( `' F " RR )
304, 29eqtr3i 2305 . . . 4  |-  U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,) 
+oo ) )  =  ( `' F " RR )
31 ismbf3d.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
3231ralrimiva 2626 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
3314renegcld 9210 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  -u y  e.  RR )
34 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  -u y  ->  (
x (,)  +oo )  =  ( -u y (,) 
+oo ) )
3534imaeq2d 5012 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -u y  ->  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  =  ( `' F "
( -u y (,)  +oo ) ) )
3635eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u y  ->  (
( `' F "
( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( -u y (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol ) )
3736rspccva 2883 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  RR  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol  /\  -u y  e.  RR )  ->  ( `' F " ( -u y (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
3832, 33, 37syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( -u y (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
3938ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
40 iunmbl 18910 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol )
4139, 40syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
4230, 41syl5eqelr 2368 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' F " RR )  e.  dom  vol )
433, 42eqeltrrd 2358 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
44 imaiun 5771 . . . . . . 7  |-  ( `' F " U_ y  e.  NN  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  = 
U_ y  e.  NN  ( `' F " (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )
45 eliun 3909 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U_ y  e.  NN  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  <->  E. y  e.  NN  x  e.  ( 
-oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) ) )
46 3simpb 953 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -oo 
<  x  /\  x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) ) )  ->  (
x  e.  RR  /\  x  <_  ( z  -  ( 1  /  y
) ) ) )
47 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  z  e.  RR )
48 nnrp 10363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR+ )
4948ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  y  e.  RR+ )
5049rpreccld 10400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( 1  /  y )  e.  RR+ )
5147, 50ltsubrpd 10418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  < 
z )
52 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  x  e.  RR )
53 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  z  e.  RR )
54 nnrecre 9782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  /  y )  e.  RR )
55 resubcl 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( 1  /  y
)  e.  RR )  ->  ( z  -  ( 1  /  y
) )  e.  RR )
5653, 54, 55syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR )
5756adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  e.  RR )
58 lelttr 8912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( x  <_ 
( z  -  (
1  /  y ) )  /\  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  < 
z )  ->  x  <  z ) )
5952, 57, 47, 58syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
x  <_  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  <  z )  ->  x  <  z
) )
6051, 59mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) )  ->  x  <  z ) )
6160anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <_ 
( z  -  (
1  /  y ) )  ->  x  <  z ) )
6261imdistanda 674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( x  e.  RR  /\  x  <_  ( z  -  ( 1  / 
y ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
6346, 62syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( x  e.  RR  /\ 
-oo  <  x  /\  x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) ) )  ->  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) ) )
64 mnfxr 10456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -oo  e.  RR*
65 elioc2 10713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR )  -> 
( x  e.  ( 
-oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  -oo  <  x  /\  x  <_  (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) ) )
6664, 56, 65sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
x  e.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  -oo  <  x  /\  x  <_  (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) ) )
67 rexr 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  RR* )
6867adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  z  e. 
RR* )
69 elioomnf 10738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( x  e.  (  -oo (,) z )  <->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
7068, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( x  e.  (  -oo (,) z )  <->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
7170adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
x  e.  (  -oo (,) z )  <->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
7263, 66, 713imtr4d 259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
x  e.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  ->  x  e.  (  -oo (,) z
) ) )
7372rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  x  e.  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  ->  x  e.  (  -oo (,) z ) ) )
7473, 70sylibd 205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  x  e.  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
75 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  z  e.  RR )
76 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  x  e.  RR )
7775, 76resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  ( z  -  x )  e.  RR )
78 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  x  <  z
)
7976, 75posdifd 9359 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  ( x  < 
z  <->  0  <  (
z  -  x ) ) )
8078, 79mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  0  <  (
z  -  x ) )
81 nnrecl 9963 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  -  x
)  e.  RR  /\  0  <  ( z  -  x ) )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  ( z  -  x ) )
8277, 80, 81syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  ( z  -  x ) )
8376adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
84 mnflt 10464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  -oo  <  x )
8583, 84syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  -oo  <  x )
8656ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  ( z  -  ( 1  /  y
) )  e.  RR )
8754ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  ( 1  / 
y )  e.  RR )
8875adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  z  e.  RR )
89 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  ( 1  / 
y )  <  (
z  -  x ) )
9087, 88, 83, 89ltsub13d 9378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  x  <  (
z  -  ( 1  /  y ) ) )
9183, 86, 90ltled 8967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  x  <_  (
z  -  ( 1  /  y ) ) )
9266ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  ( x  e.  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  -oo  <  x  /\  x  <_  (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) ) )
9383, 85, 91, 92mpbir3and 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  x  e.  ( 
-oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) ) )
9493expr 598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( 1  /  y
)  <  ( z  -  x )  ->  x  e.  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) ) )
9594reximdva 2655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  ( E. y  e.  NN  ( 1  / 
y )  <  (
z  -  x )  ->  E. y  e.  NN  x  e.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) ) )
9682, 95mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  E. y  e.  NN  x  e.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )
9796ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  x  <  z )  ->  E. y  e.  NN  x  e.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) ) )
9874, 97impbid 183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  x  e.  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
9998, 70bitr4d 247 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  x  e.  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  <->  x  e.  (  -oo (,) z ) ) )
10045, 99syl5bb 248 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( x  e.  U_ y  e.  NN  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  <->  x  e.  (  -oo (,) z ) ) )
101100eqrdv 2281 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  U_ y  e.  NN  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  =  ( 
-oo (,) z ) )
102101imaeq2d 5012 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( `' F " U_ y  e.  NN  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  ( `' F "
(  -oo (,) z ) ) )
10344, 102syl5eqr 2329 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  =  ( `' F " (  -oo (,) z ) ) )
1041ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  F : A --> RR )
105 ffun 5391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> RR  ->  Fun 
F )
106104, 105syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  Fun  F )
107 funcnvcnv 5308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  `' `' F )
108 imadif 5327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  `' `' F  ->  ( `' F " ( RR 
\  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo ) ) )  =  ( ( `' F " RR ) 
\  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) ) ) )
109106, 107, 1083syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( RR 
\  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo ) ) )  =  ( ( `' F " RR ) 
\  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) ) ) )
11064a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  -oo  e.  RR* )
11156rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR* )
112 pnfxr 10455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  +oo  e.  RR*
113112a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  +oo  e.  RR* )
114 mnflt 10464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR  ->  -oo  <  ( z  -  ( 1  /  y ) ) )
11556, 114syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  -oo  <  ( z  -  ( 1  /  y ) ) )
116 ltpnf 10463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR  ->  (
z  -  ( 1  /  y ) )  <  +oo )
11756, 116syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
z  -  ( 1  /  y ) )  <  +oo )
118 df-ioc 10661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,]  =  ( u  e.  RR* ,  v  e.  RR*  |->  { w  e.  RR*  |  ( u  <  w  /\  w  <_  v ) } )
119 df-ioo 10660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,)  =  ( u  e.  RR* ,  v  e.  RR*  |->  { w  e.  RR*  |  ( u  <  w  /\  w  <  v ) } )
120 xrltnle 8891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  -  (
1  /  y ) )  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
( z  -  (
1  /  y ) )  <  x  <->  -.  x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )
121 xrlelttr 10487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( (
x  <_  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  <  +oo )  ->  x  <  +oo )
)
122 xrlttr 10474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
(  -oo  <  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  -oo  <  x ) )
123118, 119, 120, 119, 121, 122ixxun 10672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  RR*  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  /\  (  -oo  <  ( z  -  ( 1  /  y
) )  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  <  +oo ) )  -> 
( (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  u.  (
( z  -  (
1  /  y ) ) (,)  +oo )
)  =  (  -oo (,) 
+oo ) )
124110, 111, 113, 115, 117, 123syl32anc 1190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
(  -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) )  u.  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo ) )  =  (  -oo (,)  +oo ) )
125 uncom 3319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
-oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) )  u.  ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) )  =  ( ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo )  u.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )
126 ioomax 10724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  -oo (,) 
+oo )  =  RR
127124, 125, 1263eqtr3g 2338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo )  u.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  RR )
128 ioossre 10712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,)  +oo )  C_  RR
129 incom 3361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  -  (
1  /  y ) ) (,)  +oo )  i^i  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  =  ( (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  i^i  ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,)  +oo ) )
130118, 119, 120ixxdisj 10671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( (  -oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) )  i^i  ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) )  =  (/) )
13164, 112, 130mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR*  ->  ( ( 
-oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) )  i^i  ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) )  =  (/) )
132111, 131syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
(  -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) )  i^i  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo ) )  =  (/) )
133129, 132syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo )  i^i  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  (/) )
134 uneqdifeq 3542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo )  C_  RR  /\  (
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo )  i^i  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  (/) )  ->  ( ( ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo )  u.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  RR  <->  ( RR  \ 
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) )  =  ( 
-oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) ) ) )
135128, 133, 134sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo )  u.  (  -oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) ) )  =  RR  <->  ( RR  \  ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) )  =  ( 
-oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) ) ) )
136127, 135mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( RR  \  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo ) )  =  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )
137136imaeq2d 5012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( RR 
\  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo ) ) )  =  ( `' F " (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) ) )
138109, 137eqtr3d 2317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( `' F " RR )  \  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,)  +oo ) ) )  =  ( `' F " (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) ) )
13942ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " RR )  e.  dom  vol )
14032ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
141 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( z  -  ( 1  /  y
) )  ->  (
x (,)  +oo )  =  ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) )
142141imaeq2d 5012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( z  -  ( 1  /  y
) )  ->  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  =  ( `' F "
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) ) )
143142eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( z  -  ( 1  /  y
) )  ->  (
( `' F "
( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol ) )
144143rspcv 2880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR  ->  ( A. x  e.  RR  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol  ->  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol ) )
14556, 140, 144sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
146 difmbl 18900 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F " RR )  e.  dom  vol 
/\  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " RR ) 
\  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
147139, 145, 146syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( `' F " RR )  \  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,)  +oo ) ) )  e.  dom  vol )
148138, 147eqeltrrd 2358 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  e. 
dom  vol )
149148ralrimiva 2626 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  A. y  e.  NN  ( `' F " (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  e.  dom  vol )
150 iunmbl 18910 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  NN  ( `' F " (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  e. 
dom  vol  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  e.  dom  vol )
151149, 150syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  e.  dom  vol )
152103, 151eqeltrrd 2358 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( `' F " (  -oo (,) z ) )  e. 
dom  vol )
153152ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  RR  ( `' F " (  -oo (,) z ) )  e. 
dom  vol )
154 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (  -oo (,) z )  =  (  -oo (,) x
) )
155154imaeq2d 5012 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  ( `' F " (  -oo (,) z ) )  =  ( `' F "
(  -oo (,) x ) ) )
156155eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
( `' F "
(  -oo (,) z ) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol ) )
157156cbvralv 2764 . . . 4  |-  ( A. z  e.  RR  ( `' F " (  -oo (,) z ) )  e. 
dom  vol  <->  A. x  e.  RR  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
158153, 157sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
159158r19.21bi 2641 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
1601, 43, 31, 159ismbf2d 18996 1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U_ciun 3905   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   "cima 4692   Fun wfun 5249   -->wf 5251  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    +oocpnf 8864    -oocmnf 8865   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   (,]cioc 10657   volcvol 18823  MblFncmbf 18969
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975
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