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Theorem ismbf3d 19025
Description: Simplified form of ismbfd 19011. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbf3d.1  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
ismbf3d.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
Assertion
Ref Expression
ismbf3d  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, F    ph, x
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem ismbf3d
Dummy variables  v  u  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbf3d.1 . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
2 fimacnv 5673 . . . 4  |-  ( F : A --> RR  ->  ( `' F " RR )  =  A )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' F " RR )  =  A
)
4 imaiun 5787 . . . . 5  |-  ( `' F " U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo ) )  = 
U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,)  +oo ) )
5 ioossre 10728 . . . . . . . . 9  |-  ( -u y (,)  +oo )  C_  RR
65rgenw 2623 . . . . . . . 8  |-  A. y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo )  C_  RR
7 iunss 3959 . . . . . . . 8  |-  ( U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo )  C_  RR  <->  A. y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo )  C_  RR )
86, 7mpbir 200 . . . . . . 7  |-  U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo )  C_  RR
9 renegcl 9126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  RR  ->  -u z  e.  RR )
10 arch 9978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u z  e.  RR  ->  E. y  e.  NN  -u z  <  y )
119, 10syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  E. y  e.  NN  -u z  <  y
)
12 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  z  e.  RR )
1312biantrurd 494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u y  < 
z  <->  ( z  e.  RR  /\  -u y  <  z ) ) )
14 nnre 9769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
15 ltnegcon1 9291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( -u z  < 
y  <->  -u y  <  z
) )
1614, 15sylan2 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u z  < 
y  <->  -u y  <  z
) )
1714adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  RR )
1817renegcld 9226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  -> 
-u y  e.  RR )
1918rexrd 8897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  -> 
-u y  e.  RR* )
20 elioopnf 10753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u y  e.  RR*  ->  (
z  e.  ( -u y (,)  +oo )  <->  ( z  e.  RR  /\  -u y  <  z ) ) )
2119, 20syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  ( z  e.  (
-u y (,)  +oo ) 
<->  ( z  e.  RR  /\  -u y  <  z ) ) )
2213, 16, 213bitr4d 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u z  < 
y  <->  z  e.  (
-u y (,)  +oo ) ) )
2322rexbidva 2573 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  ( E. y  e.  NN  -u z  <  y  <->  E. y  e.  NN  z  e.  (
-u y (,)  +oo ) ) )
2411, 23mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR  ->  E. y  e.  NN  z  e.  (
-u y (,)  +oo ) )
25 eliun 3925 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo )  <->  E. y  e.  NN  z  e.  (
-u y (,)  +oo ) )
2624, 25sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo ) )
2726ssriv 3197 . . . . . . 7  |-  RR  C_  U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo )
288, 27eqssi 3208 . . . . . 6  |-  U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo )  =  RR
2928imaeq2i 5026 . . . . 5  |-  ( `' F " U_ y  e.  NN  ( -u y (,)  +oo ) )  =  ( `' F " RR )
304, 29eqtr3i 2318 . . . 4  |-  U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,) 
+oo ) )  =  ( `' F " RR )
31 ismbf3d.2 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
3231ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
3314renegcld 9226 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  -u y  e.  RR )
34 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  -u y  ->  (
x (,)  +oo )  =  ( -u y (,) 
+oo ) )
3534imaeq2d 5028 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  -u y  ->  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  =  ( `' F "
( -u y (,)  +oo ) ) )
3635eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  -u y  ->  (
( `' F "
( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( -u y (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol ) )
3736rspccva 2896 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  RR  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol  /\  -u y  e.  RR )  ->  ( `' F " ( -u y (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
3832, 33, 37syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( -u y (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
3938ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
40 iunmbl 18926 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol )
4139, 40syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " ( -u y (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
4230, 41syl5eqelr 2381 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' F " RR )  e.  dom  vol )
433, 42eqeltrrd 2371 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
44 imaiun 5787 . . . . . . 7  |-  ( `' F " U_ y  e.  NN  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  = 
U_ y  e.  NN  ( `' F " (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )
45 eliun 3925 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U_ y  e.  NN  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  <->  E. y  e.  NN  x  e.  ( 
-oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) ) )
46 3simpb 953 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  -oo 
<  x  /\  x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) ) )  ->  (
x  e.  RR  /\  x  <_  ( z  -  ( 1  /  y
) ) ) )
47 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  z  e.  RR )
48 nnrp 10379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR+ )
4948ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  y  e.  RR+ )
5049rpreccld 10416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( 1  /  y )  e.  RR+ )
5147, 50ltsubrpd 10434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  < 
z )
52 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  x  e.  RR )
53 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  z  e.  RR )
54 nnrecre 9798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  /  y )  e.  RR )
55 resubcl 9127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( 1  /  y
)  e.  RR )  ->  ( z  -  ( 1  /  y
) )  e.  RR )
5653, 54, 55syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR )
5756adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  e.  RR )
58 lelttr 8928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( x  <_ 
( z  -  (
1  /  y ) )  /\  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  < 
z )  ->  x  <  z ) )
5952, 57, 47, 58syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( (
x  <_  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  <  z )  ->  x  <  z
) )
6051, 59mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
y  e.  NN  /\  x  e.  RR )
)  ->  ( x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) )  ->  x  <  z ) )
6160anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  <_ 
( z  -  (
1  /  y ) )  ->  x  <  z ) )
6261imdistanda 674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( x  e.  RR  /\  x  <_  ( z  -  ( 1  / 
y ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
6346, 62syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( x  e.  RR  /\ 
-oo  <  x  /\  x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) ) )  ->  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) ) )
64 mnfxr 10472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -oo  e.  RR*
65 elioc2 10729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR )  -> 
( x  e.  ( 
-oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  -oo  <  x  /\  x  <_  (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) ) )
6664, 56, 65sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
x  e.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  -oo  <  x  /\  x  <_  (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) ) )
67 rexr 8893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  RR* )
6867adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  z  e. 
RR* )
69 elioomnf 10754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  RR*  ->  ( x  e.  (  -oo (,) z )  <->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
7068, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( x  e.  (  -oo (,) z )  <->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
7170adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
x  e.  (  -oo (,) z )  <->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
7263, 66, 713imtr4d 259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
x  e.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  ->  x  e.  (  -oo (,) z
) ) )
7372rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  x  e.  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  ->  x  e.  (  -oo (,) z ) ) )
7473, 70sylibd 205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  x  e.  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
75 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  z  e.  RR )
76 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  x  e.  RR )
7775, 76resubcld 9227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  ( z  -  x )  e.  RR )
78 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  x  <  z
)
7976, 75posdifd 9375 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  ( x  < 
z  <->  0  <  (
z  -  x ) ) )
8078, 79mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  0  <  (
z  -  x ) )
81 nnrecl 9979 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  -  x
)  e.  RR  /\  0  <  ( z  -  x ) )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  ( z  -  x ) )
8277, 80, 81syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  ( z  -  x ) )
8376adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
84 mnflt 10480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  -oo  <  x )
8583, 84syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  -oo  <  x )
8656ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  ( z  -  ( 1  /  y
) )  e.  RR )
8754ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  ( 1  / 
y )  e.  RR )
8875adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  z  e.  RR )
89 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  ( 1  / 
y )  <  (
z  -  x ) )
9087, 88, 83, 89ltsub13d 9394 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  x  <  (
z  -  ( 1  /  y ) ) )
9183, 86, 90ltled 8983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  x  <_  (
z  -  ( 1  /  y ) ) )
9266ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  ( x  e.  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  -oo  <  x  /\  x  <_  (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) ) )
9383, 85, 91, 92mpbir3and 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  ( y  e.  NN  /\  (
1  /  y )  <  ( z  -  x ) ) )  ->  x  e.  ( 
-oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) ) )
9493expr 598 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  ( x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( 1  /  y
)  <  ( z  -  x )  ->  x  e.  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) ) )
9594reximdva 2668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  ( E. y  e.  NN  ( 1  / 
y )  <  (
z  -  x )  ->  E. y  e.  NN  x  e.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) ) )
9682, 95mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  (
x  e.  RR  /\  x  <  z ) )  ->  E. y  e.  NN  x  e.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )
9796ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( x  e.  RR  /\  x  <  z )  ->  E. y  e.  NN  x  e.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) ) )
9874, 97impbid 183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  x  e.  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  x  < 
z ) ) )
9998, 70bitr4d 247 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  x  e.  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  <->  x  e.  (  -oo (,) z ) ) )
10045, 99syl5bb 248 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( x  e.  U_ y  e.  NN  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  <->  x  e.  (  -oo (,) z ) ) )
101100eqrdv 2294 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  U_ y  e.  NN  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  =  ( 
-oo (,) z ) )
102101imaeq2d 5028 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( `' F " U_ y  e.  NN  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  ( `' F "
(  -oo (,) z ) ) )
10344, 102syl5eqr 2342 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  =  ( `' F " (  -oo (,) z ) ) )
1041ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  F : A --> RR )
105 ffun 5407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> RR  ->  Fun 
F )
106104, 105syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  Fun  F )
107 funcnvcnv 5324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  `' `' F )
108 imadif 5343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  `' `' F  ->  ( `' F " ( RR 
\  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo ) ) )  =  ( ( `' F " RR ) 
\  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) ) ) )
109106, 107, 1083syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( RR 
\  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo ) ) )  =  ( ( `' F " RR ) 
\  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) ) ) )
11064a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  -oo  e.  RR* )
11156rexrd 8897 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR* )
112 pnfxr 10471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  +oo  e.  RR*
113112a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  +oo  e.  RR* )
114 mnflt 10480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR  ->  -oo  <  ( z  -  ( 1  /  y ) ) )
11556, 114syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  -oo  <  ( z  -  ( 1  /  y ) ) )
116 ltpnf 10479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR  ->  (
z  -  ( 1  /  y ) )  <  +oo )
11756, 116syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
z  -  ( 1  /  y ) )  <  +oo )
118 df-ioc 10677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,]  =  ( u  e.  RR* ,  v  e.  RR*  |->  { w  e.  RR*  |  ( u  <  w  /\  w  <_  v ) } )
119 df-ioo 10676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (,)  =  ( u  e.  RR* ,  v  e.  RR*  |->  { w  e.  RR*  |  ( u  <  w  /\  w  <  v ) } )
120 xrltnle 8907 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  -  (
1  /  y ) )  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
( z  -  (
1  /  y ) )  <  x  <->  -.  x  <_  ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )
121 xrlelttr 10503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( (
x  <_  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  <  +oo )  ->  x  <  +oo )
)
122 xrlttr 10490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
(  -oo  <  ( z  -  ( 1  / 
y ) )  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  <  x )  ->  -oo  <  x ) )
123118, 119, 120, 119, 121, 122ixxun 10688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( (  -oo  e.  RR*  /\  ( z  -  (
1  /  y ) )  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  /\  (  -oo  <  ( z  -  ( 1  /  y
) )  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  <  +oo ) )  -> 
( (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) )  u.  (
( z  -  (
1  /  y ) ) (,)  +oo )
)  =  (  -oo (,) 
+oo ) )
124110, 111, 113, 115, 117, 123syl32anc 1190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
(  -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) )  u.  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo ) )  =  (  -oo (,)  +oo ) )
125 uncom 3332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
-oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) )  u.  ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) )  =  ( ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo )  u.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )
126 ioomax 10740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  -oo (,) 
+oo )  =  RR
127124, 125, 1263eqtr3g 2351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo )  u.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  RR )
128 ioossre 10728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,)  +oo )  C_  RR
129 incom 3374 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  -  (
1  /  y ) ) (,)  +oo )  i^i  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  =  ( (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) )  i^i  ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,)  +oo ) )
130118, 119, 120ixxdisj 10687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  (
z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( (  -oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) )  i^i  ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) )  =  (/) )
13164, 112, 130mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR*  ->  ( ( 
-oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) )  i^i  ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) )  =  (/) )
132111, 131syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
(  -oo (,] ( z  -  ( 1  / 
y ) ) )  i^i  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo ) )  =  (/) )
133129, 132syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo )  i^i  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  (/) )
134 uneqdifeq 3555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo )  C_  RR  /\  (
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo )  i^i  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  (/) )  ->  ( ( ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo )  u.  (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  =  RR  <->  ( RR  \ 
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) )  =  ( 
-oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) ) ) )
135128, 133, 134sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo )  u.  (  -oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) ) )  =  RR  <->  ( RR  \  ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) )  =  ( 
-oo (,] ( z  -  ( 1  /  y
) ) ) ) )
136127, 135mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( RR  \  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo ) )  =  (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )
137136imaeq2d 5028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( RR 
\  ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo ) ) )  =  ( `' F " (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) ) )
138109, 137eqtr3d 2330 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( `' F " RR )  \  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,)  +oo ) ) )  =  ( `' F " (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) ) )
13942ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " RR )  e.  dom  vol )
14032ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
141 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( z  -  ( 1  /  y
) )  ->  (
x (,)  +oo )  =  ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) )
142141imaeq2d 5028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( z  -  ( 1  /  y
) )  ->  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  =  ( `' F "
( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) ) )
143142eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( z  -  ( 1  /  y
) )  ->  (
( `' F "
( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol ) )
144143rspcv 2893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  -  ( 1  /  y ) )  e.  RR  ->  ( A. x  e.  RR  ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol  ->  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  / 
y ) ) (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol ) )
14556, 140, 144sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
146 difmbl 18916 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F " RR )  e.  dom  vol 
/\  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " RR ) 
\  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y
) ) (,)  +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
147139, 145, 146syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  (
( `' F " RR )  \  ( `' F " ( ( z  -  ( 1  /  y ) ) (,)  +oo ) ) )  e.  dom  vol )
148138, 147eqeltrrd 2371 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( `' F " (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  e. 
dom  vol )
149148ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  A. y  e.  NN  ( `' F " (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  e.  dom  vol )
150 iunmbl 18926 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  NN  ( `' F " (  -oo (,] ( z  -  (
1  /  y ) ) ) )  e. 
dom  vol  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  e.  dom  vol )
151149, 150syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  U_ y  e.  NN  ( `' F " (  -oo (,] (
z  -  ( 1  /  y ) ) ) )  e.  dom  vol )
152103, 151eqeltrrd 2371 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  RR )  ->  ( `' F " (  -oo (,) z ) )  e. 
dom  vol )
153152ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  RR  ( `' F " (  -oo (,) z ) )  e. 
dom  vol )
154 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (  -oo (,) z )  =  (  -oo (,) x
) )
155154imaeq2d 5028 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  ( `' F " (  -oo (,) z ) )  =  ( `' F "
(  -oo (,) x ) ) )
156155eleq1d 2362 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
( `' F "
(  -oo (,) z ) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol ) )
157156cbvralv 2777 . . . 4  |-  ( A. z  e.  RR  ( `' F " (  -oo (,) z ) )  e. 
dom  vol  <->  A. x  e.  RR  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
158153, 157sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
159158r19.21bi 2654 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
1601, 43, 31, 159ismbf2d 19012 1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U_ciun 3921   class class class wbr 4039   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   "cima 4708   Fun wfun 5265   -->wf 5267  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    +oocpnf 8880    -oocmnf 8881   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NNcn 9762   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   (,]cioc 10673   volcvol 18839  MblFncmbf 18985
This theorem is referenced by:  mbfaddlem  19031  mbfsup  19035
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xadd 10469  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-xmet 16389  df-met 16390  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991
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