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Theorem ismbfcn 19002
Description: A complex function is measurable iff the real and imaginary components of the function are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismbfcn  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn ) )
)

Proof of Theorem ismbfcn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfdm 18999 . . 3  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
2 fdm 5409 . . . 4  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
32eleq1d 2362 . . 3  |-  ( F : A --> CC  ->  ( dom  F  e.  dom  vol  <->  A  e.  dom  vol )
)
41, 3syl5ib 210 . 2  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  e. MblFn  ->  A  e. 
dom  vol ) )
5 mbfdm 18999 . . . 4  |-  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  ->  dom  ( Re  o.  F )  e.  dom  vol )
65adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  /\  (
Im  o.  F )  e. MblFn )  ->  dom  ( Re  o.  F )  e. 
dom  vol )
7 ref 11613 . . . . . 6  |-  Re : CC
--> RR
8 fco 5414 . . . . . 6  |-  ( ( Re : CC --> RR  /\  F : A --> CC )  ->  ( Re  o.  F ) : A --> RR )
97, 8mpan 651 . . . . 5  |-  ( F : A --> CC  ->  ( Re  o.  F ) : A --> RR )
10 fdm 5409 . . . . 5  |-  ( ( Re  o.  F ) : A --> RR  ->  dom  ( Re  o.  F
)  =  A )
119, 10syl 15 . . . 4  |-  ( F : A --> CC  ->  dom  ( Re  o.  F
)  =  A )
1211eleq1d 2362 . . 3  |-  ( F : A --> CC  ->  ( dom  ( Re  o.  F )  e.  dom  vol  <->  A  e.  dom  vol )
)
136, 12syl5ib 210 . 2  |-  ( F : A --> CC  ->  ( ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  (
Im  o.  F )  e. MblFn )  ->  A  e.  dom  vol ) )
149adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( Re  o.  F
) : A --> RR )
15 ismbf 19001 . . . . . . . 8  |-  ( ( Re  o.  F ) : A --> RR  ->  ( ( Re  o.  F
)  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol ) )
1614, 15syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
)
17 imf 11614 . . . . . . . . . 10  |-  Im : CC
--> RR
18 fco 5414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Im : CC --> RR  /\  F : A --> CC )  ->  ( Im  o.  F ) : A --> RR )
1917, 18mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> CC  ->  ( Im  o.  F ) : A --> RR )
2019adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( Im  o.  F
) : A --> RR )
21 ismbf 19001 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im  o.  F ) : A --> RR  ->  ( ( Im  o.  F
)  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol ) )
2220, 21syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( Im  o.  F )  e. MblFn  <->  A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
)
2316, 22anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn )  <->  ( A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol  /\ 
A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol ) ) )
24 r19.26 2688 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ran  (,) (
( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol 
/\  ( `' ( Im  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol )  <->  ( A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol  /\ 
A. x  e.  ran  (,) ( `' ( Im  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol ) )
2523, 24syl6bbr 254 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn )  <->  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol ) ) )
26 mblss 18906 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
27 cnex 8834 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
28 reex 8844 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
29 elpm2r 6804 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
3027, 28, 29mpanl12 663 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  ->  F  e.  ( CC  ^pm 
RR ) )
3126, 30sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  dom  vol )  ->  F  e.  ( CC 
^pm  RR ) )
3231biantrurd 494 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( A. x  e. 
ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F
) " x )  e.  dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol ) 
<->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
) ) )
3325, 32bitrd 244 . . . 4  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn )  <->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  A. x  e. 
ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F
) " x )  e.  dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol ) ) ) )
34 ismbf1 18997 . . . 4  |-  ( F  e. MblFn 
<->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
) )
3533, 34syl6rbbr 255 . . 3  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( (
Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F )  e. MblFn )
) )
3635ex 423 . 2  |-  ( F : A --> CC  ->  ( A  e.  dom  vol  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( (
Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F )  e. MblFn )
) ) )
374, 13, 36pm5.21ndd 343 1  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  e. MblFn  <->  ( ( Re  o.  F )  e. MblFn  /\  ( Im  o.  F
)  e. MblFn ) )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708    o. ccom 4709   -->wf 5267  (class class class)co 5874    ^pm cpm 6789   CCcc 8751   RRcr 8752   (,)cioo 10672   Recre 11598   Imcim 11599   volcvol 18839  MblFncmbf 18985
This theorem is referenced by:  ismbfcn2  19010  mbfres  19015  mbfimaopnlem  19026  itgaddnc  25011  itgmulc2nc  25019
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xadd 10469  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-xmet 16389  df-met 16390  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991
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