Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismbfd Structured version   Unicode version

Theorem ismbfd 19535
 Description: Deduction to prove measurability of a real function. The third hypothesis is not necessary, but the proof of this requires countable choice, so we derive this separately as ismbf3d 19549. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbfd.1
ismbfd.2
ismbfd.3
Assertion
Ref Expression
ismbfd MblFn
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem ismbfd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 11007 . . . . 5
2 ffn 5594 . . . . 5
3 ovelrn 6225 . . . . 5
41, 2, 3mp2b 10 . . . 4
5 simprl 734 . . . . . . . . . . 11
6 pnfxr 10718 . . . . . . . . . . . 12
76a1i 11 . . . . . . . . . . 11
8 mnfxr 10719 . . . . . . . . . . . 12
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11
10 simprr 735 . . . . . . . . . . 11
11 iooin 10955 . . . . . . . . . . 11
125, 7, 9, 10, 11syl22anc 1186 . . . . . . . . . 10
13 mnfle 10734 . . . . . . . . . . . . . 14
14 xrleid 10748 . . . . . . . . . . . . . 14
15 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . . . 15
16 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . . . 15
1715, 16ifboth 3772 . . . . . . . . . . . . . 14
1813, 14, 17syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13
1918ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . 12
20 xrmax1 10768 . . . . . . . . . . . . 13
215, 8, 20sylancl 645 . . . . . . . . . . . 12
22 ifcl 3777 . . . . . . . . . . . . . 14
238, 5, 22sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13
24 xrletri3 10750 . . . . . . . . . . . . 13
2523, 5, 24syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12
2619, 21, 25mpbir2and 890 . . . . . . . . . . 11
27 xrmin2 10771 . . . . . . . . . . . . 13
286, 10, 27sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12
29 pnfge 10732 . . . . . . . . . . . . . 14
30 xrleid 10748 . . . . . . . . . . . . . 14
31 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . . 15
32 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . . 15
3331, 32ifboth 3772 . . . . . . . . . . . . . 14
3429, 30, 33syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13
3534ad2antll 711 . . . . . . . . . . . 12
36 ifcl 3777 . . . . . . . . . . . . . 14
376, 10, 36sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13
38 xrletri3 10750 . . . . . . . . . . . . 13
3937, 10, 38syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12
4028, 35, 39mpbir2and 890 . . . . . . . . . . 11
4126, 40oveq12d 6102 . . . . . . . . . 10
4212, 41eqtrd 2470 . . . . . . . . 9
4342imaeq2d 5206 . . . . . . . 8
44 ismbfd.1 . . . . . . . . . . 11
4544adantr 453 . . . . . . . . . 10
46 ffun 5596 . . . . . . . . . 10
4745, 46syl 16 . . . . . . . . 9
48 inpreima 5860 . . . . . . . . 9
4947, 48syl 16 . . . . . . . 8
5043, 49eqtr3d 2472 . . . . . . 7
51 ismbfd.2 . . . . . . . . 9
5251adantrr 699 . . . . . . . 8
53 ismbfd.3 . . . . . . . . . . 11
5453ralrimiva 2791 . . . . . . . . . 10
55 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . 13
5655imaeq2d 5206 . . . . . . . . . . . 12
5756eleq1d 2504 . . . . . . . . . . 11
5857rspccva 3053 . . . . . . . . . 10
5954, 58sylan 459 . . . . . . . . 9
6059adantrl 698 . . . . . . . 8
61 inmbl 19441 . . . . . . . 8
6252, 60, 61syl2anc 644 . . . . . . 7
6350, 62eqeltrd 2512 . . . . . 6
64 imaeq2 5202 . . . . . . 7
6564eleq1d 2504 . . . . . 6
6663, 65syl5ibrcom 215 . . . . 5
6766rexlimdvva 2839 . . . 4
684, 67syl5bi 210 . . 3
6968ralrimiv 2790 . 2
70 ismbf 19525 . . 3 MblFn
7144, 70syl 16 . 2 MblFn
7269, 71mpbird 225 1 MblFn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708   cin 3321  cif 3741  cpw 3801   class class class wbr 4215   cxp 4879  ccnv 4880   cdm 4881   crn 4882  cima 4884   wfun 5451   wfn 5452  wf 5453  (class class class)co 6084  cr 8994   cpnf 9122   cmnf 9123  cxr 9124   cle 9126  cioo 10921  cvol 19365  MblFncmbf 19511 This theorem is referenced by:  ismbf2d  19536  mbfmax  19544 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xadd 10716  df-ioo 10925  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485  df-xmet 16700  df-met 16701  df-ovol 19366  df-vol 19367  df-mbf 19516
 Copyright terms: Public domain W3C validator