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Theorem ismbfd 18995
Description: Deduction to prove measurability of a real function. The third hypothesis is not necessary, but the proof of this requires countable choice, so we derive this separately as ismbf3d 19009. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbfd.1  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
ismbfd.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR* )  ->  ( `' F " ( x (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol )
ismbfd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR* )  ->  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
Assertion
Ref Expression
ismbfd  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, F    ph, x
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem ismbfd
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 10741 . . . . 5  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
2 ffn 5389 . . . . 5  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
3 ovelrn 5996 . . . . 5  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( z  e. 
ran  (,)  <->  E. x  e.  RR*  E. y  e.  RR*  z  =  ( x (,) y ) ) )
41, 2, 3mp2b 9 . . . 4  |-  ( z  e.  ran  (,)  <->  E. x  e.  RR*  E. y  e. 
RR*  z  =  ( x (,) y ) )
5 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  x  e.  RR* )
6 pnfxr 10455 . . . . . . . . . . . 12  |-  +oo  e.  RR*
76a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  +oo  e.  RR* )
8 mnfxr 10456 . . . . . . . . . . . 12  |-  -oo  e.  RR*
98a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  -oo  e.  RR* )
10 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
y  e.  RR* )
11 iooin 10690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\ 
+oo  e.  RR* )  /\  (  -oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* ) )  -> 
( ( x (,) 
+oo )  i^i  (  -oo (,) y ) )  =  ( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x ) (,) if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) ) )
125, 7, 9, 10, 11syl22anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( ( x (,) 
+oo )  i^i  (  -oo (,) y ) )  =  ( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x ) (,) if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) ) )
13 mnfle 10470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR*  ->  -oo  <_  x )
14 xrleid 10484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR*  ->  x  <_  x )
15 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  -oo  =  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x
)  ->  (  -oo  <_  x  <->  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x
)  <_  x )
)
16 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  ->  (
x  <_  x  <->  if (
x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  <_  x
) )
1715, 16ifboth 3596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
-oo  <_  x  /\  x  <_  x )  ->  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  <_  x )
1813, 14, 17syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR*  ->  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  <_  x
)
1918ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  <_  x )
20 xrmax1 10504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  -oo  e.  RR* )  ->  x  <_  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x
) )
215, 8, 20sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  x  <_  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x ) )
22 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  e. 
RR* )
238, 5, 22sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  e. 
RR* )
24 xrletri3 10486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x
)  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  ( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  =  x  <->  ( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  <_  x  /\  x  <_  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x ) ) ) )
2523, 5, 24syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  =  x  <-> 
( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  <_  x  /\  x  <_  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x ) ) ) )
2619, 21, 25mpbir2and 888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  =  x )
27 xrmin2 10507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
+oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  <_ 
y )
286, 10, 27sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  <_  y )
29 pnfge 10469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_  +oo )
30 xrleid 10484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_ 
y )
31 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  +oo  =  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  ->  ( y  <_  +oo  <->  y  <_  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) ) )
32 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  if (  +oo  <_  y ,  +oo , 
y )  ->  (
y  <_  y  <->  y  <_  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) ) )
3331, 32ifboth 3596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  <_  +oo  /\  y  <_  y )  ->  y  <_  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) )
3429, 30, 33syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) )
3534ad2antll 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
y  <_  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) )
36 ifcl 3601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
+oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  e. 
RR* )
376, 10, 36sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  e.  RR* )
38 xrletri3 10486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  =  y  <->  ( if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  <_ 
y  /\  y  <_  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) ) ) )
3937, 10, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( if (  +oo  <_  y ,  +oo , 
y )  =  y  <-> 
( if (  +oo  <_  y ,  +oo , 
y )  <_  y  /\  y  <_  if ( 
+oo  <_  y ,  +oo ,  y ) ) ) )
4028, 35, 39mpbir2and 888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  =  y )
4126, 40oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x ) (,) if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) )  =  ( x (,) y ) )
4212, 41eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( ( x (,) 
+oo )  i^i  (  -oo (,) y ) )  =  ( x (,) y ) )
4342imaeq2d 5012 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( ( x (,) 
+oo )  i^i  (  -oo (,) y ) ) )  =  ( `' F " ( x (,) y ) ) )
44 ismbfd.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
4544adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  F : A --> RR )
46 ffun 5391 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> RR  ->  Fun 
F )
4745, 46syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  Fun  F )
48 inpreima 5652 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( ( x (,)  +oo )  i^i  (  -oo (,) y ) ) )  =  ( ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  i^i  ( `' F "
(  -oo (,) y ) ) ) )
4947, 48syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( ( x (,) 
+oo )  i^i  (  -oo (,) y ) ) )  =  ( ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  i^i  ( `' F "
(  -oo (,) y ) ) ) )
5043, 49eqtr3d 2317 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( x (,) y
) )  =  ( ( `' F "
( x (,)  +oo ) )  i^i  ( `' F " (  -oo (,) y ) ) ) )
51 ismbfd.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR* )  ->  ( `' F " ( x (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol )
5251adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
53 ismbfd.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR* )  ->  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
5453ralrimiva 2626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR*  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
55 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (  -oo (,) x )  =  (  -oo (,) y
) )
5655imaeq2d 5012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  =  ( `' F "
(  -oo (,) y ) ) )
5756eleq1d 2349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( `' F "
(  -oo (,) x ) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " (  -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol ) )
5857rspccva 2883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  RR*  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol  /\  y  e. 
RR* )  ->  ( `' F " (  -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
5954, 58sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' F " (  -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
6059adantrl 696 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
(  -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
61 inmbl 18899 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F "
( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( `' F " (  -oo (,) y
) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  i^i  ( `' F "
(  -oo (,) y ) ) )  e.  dom  vol )
6252, 60, 61syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  i^i  ( `' F " (  -oo (,) y ) ) )  e.  dom  vol )
6350, 62eqeltrd 2357 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( x (,) y
) )  e.  dom  vol )
64 imaeq2 5008 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( x (,) y )  ->  ( `' F " z )  =  ( `' F " ( x (,) y
) ) )
6564eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( x (,) y )  ->  (
( `' F "
z )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( x (,) y ) )  e.  dom  vol )
)
6663, 65syl5ibrcom 213 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( z  =  ( x (,) y )  ->  ( `' F " z )  e.  dom  vol ) )
6766rexlimdvva 2674 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. x  e. 
RR*  E. y  e.  RR*  z  =  ( x (,) y )  ->  ( `' F " z )  e.  dom  vol )
)
684, 67syl5bi 208 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ran  (,) 
->  ( `' F "
z )  e.  dom  vol ) )
6968ralrimiv 2625 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ran  (,) ( `' F "
z )  e.  dom  vol )
70 ismbf 18985 . . 3  |-  ( F : A --> RR  ->  ( F  e. MblFn  <->  A. z  e.  ran  (,) ( `' F "
z )  e.  dom  vol ) )
7144, 70syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e. MblFn  <->  A. z  e.  ran  (,) ( `' F " z )  e.  dom  vol )
)
7269, 71mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251  (class class class)co 5858   RRcr 8736    +oocpnf 8864    -oocmnf 8865   RR*cxr 8866    <_ cle 8868   (,)cioo 10656   volcvol 18823  MblFncmbf 18969
This theorem is referenced by:  ismbf2d  18996  mbfmax  19004
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975
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