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Theorem ismbfd 19210
Description: Deduction to prove measurability of a real function. The third hypothesis is not necessary, but the proof of this requires countable choice, so we derive this separately as ismbf3d 19224. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbfd.1  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
ismbfd.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR* )  ->  ( `' F " ( x (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol )
ismbfd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR* )  ->  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
Assertion
Ref Expression
ismbfd  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, F    ph, x
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem ismbfd
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 10894 . . . . 5  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
2 ffn 5495 . . . . 5  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
3 ovelrn 6122 . . . . 5  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( z  e. 
ran  (,)  <->  E. x  e.  RR*  E. y  e.  RR*  z  =  ( x (,) y ) ) )
41, 2, 3mp2b 9 . . . 4  |-  ( z  e.  ran  (,)  <->  E. x  e.  RR*  E. y  e. 
RR*  z  =  ( x (,) y ) )
5 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  x  e.  RR* )
6 pnfxr 10606 . . . . . . . . . . . 12  |-  +oo  e.  RR*
76a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  +oo  e.  RR* )
8 mnfxr 10607 . . . . . . . . . . . 12  |-  -oo  e.  RR*
98a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  -oo  e.  RR* )
10 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
y  e.  RR* )
11 iooin 10843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\ 
+oo  e.  RR* )  /\  (  -oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* ) )  -> 
( ( x (,) 
+oo )  i^i  (  -oo (,) y ) )  =  ( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x ) (,) if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) ) )
125, 7, 9, 10, 11syl22anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( ( x (,) 
+oo )  i^i  (  -oo (,) y ) )  =  ( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x ) (,) if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) ) )
13 mnfle 10622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR*  ->  -oo  <_  x )
14 xrleid 10636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR*  ->  x  <_  x )
15 breq1 4128 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  -oo  =  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x
)  ->  (  -oo  <_  x  <->  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x
)  <_  x )
)
16 breq1 4128 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  ->  (
x  <_  x  <->  if (
x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  <_  x
) )
1715, 16ifboth 3685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
-oo  <_  x  /\  x  <_  x )  ->  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  <_  x )
1813, 14, 17syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR*  ->  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  <_  x
)
1918ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  <_  x )
20 xrmax1 10656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  -oo  e.  RR* )  ->  x  <_  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x
) )
215, 8, 20sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  x  <_  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x ) )
22 ifcl 3690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  e. 
RR* )
238, 5, 22sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  e. 
RR* )
24 xrletri3 10638 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x
)  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  ( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  =  x  <->  ( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  <_  x  /\  x  <_  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x ) ) ) )
2523, 5, 24syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  =  x  <-> 
( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  <_  x  /\  x  <_  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x ) ) ) )
2619, 21, 25mpbir2and 888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  =  x )
27 xrmin2 10659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
+oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  <_ 
y )
286, 10, 27sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  <_  y )
29 pnfge 10620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_  +oo )
30 xrleid 10636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_ 
y )
31 breq2 4129 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  +oo  =  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  ->  ( y  <_  +oo  <->  y  <_  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) ) )
32 breq2 4129 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  if (  +oo  <_  y ,  +oo , 
y )  ->  (
y  <_  y  <->  y  <_  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) ) )
3331, 32ifboth 3685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  <_  +oo  /\  y  <_  y )  ->  y  <_  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) )
3429, 30, 33syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) )
3534ad2antll 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
y  <_  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) )
36 ifcl 3690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
+oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  e. 
RR* )
376, 10, 36sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  e.  RR* )
38 xrletri3 10638 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  =  y  <->  ( if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  <_ 
y  /\  y  <_  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) ) ) )
3937, 10, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( if (  +oo  <_  y ,  +oo , 
y )  =  y  <-> 
( if (  +oo  <_  y ,  +oo , 
y )  <_  y  /\  y  <_  if ( 
+oo  <_  y ,  +oo ,  y ) ) ) )
4028, 35, 39mpbir2and 888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  =  y )
4126, 40oveq12d 5999 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x ) (,) if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) )  =  ( x (,) y ) )
4212, 41eqtrd 2398 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( ( x (,) 
+oo )  i^i  (  -oo (,) y ) )  =  ( x (,) y ) )
4342imaeq2d 5115 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( ( x (,) 
+oo )  i^i  (  -oo (,) y ) ) )  =  ( `' F " ( x (,) y ) ) )
44 ismbfd.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
4544adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  F : A --> RR )
46 ffun 5497 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> RR  ->  Fun 
F )
4745, 46syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  Fun  F )
48 inpreima 5759 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( ( x (,)  +oo )  i^i  (  -oo (,) y ) ) )  =  ( ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  i^i  ( `' F "
(  -oo (,) y ) ) ) )
4947, 48syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( ( x (,) 
+oo )  i^i  (  -oo (,) y ) ) )  =  ( ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  i^i  ( `' F "
(  -oo (,) y ) ) ) )
5043, 49eqtr3d 2400 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( x (,) y
) )  =  ( ( `' F "
( x (,)  +oo ) )  i^i  ( `' F " (  -oo (,) y ) ) ) )
51 ismbfd.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR* )  ->  ( `' F " ( x (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol )
5251adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
53 ismbfd.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR* )  ->  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
5453ralrimiva 2711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR*  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
55 oveq2 5989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (  -oo (,) x )  =  (  -oo (,) y
) )
5655imaeq2d 5115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  =  ( `' F "
(  -oo (,) y ) ) )
5756eleq1d 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( `' F "
(  -oo (,) x ) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " (  -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol ) )
5857rspccva 2968 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  RR*  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol  /\  y  e. 
RR* )  ->  ( `' F " (  -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
5954, 58sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' F " (  -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
6059adantrl 696 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
(  -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
61 inmbl 19114 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F "
( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( `' F " (  -oo (,) y
) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  i^i  ( `' F "
(  -oo (,) y ) ) )  e.  dom  vol )
6252, 60, 61syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  i^i  ( `' F " (  -oo (,) y ) ) )  e.  dom  vol )
6350, 62eqeltrd 2440 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( x (,) y
) )  e.  dom  vol )
64 imaeq2 5111 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( x (,) y )  ->  ( `' F " z )  =  ( `' F " ( x (,) y
) ) )
6564eleq1d 2432 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( x (,) y )  ->  (
( `' F "
z )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( x (,) y ) )  e.  dom  vol )
)
6663, 65syl5ibrcom 213 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( z  =  ( x (,) y )  ->  ( `' F " z )  e.  dom  vol ) )
6766rexlimdvva 2759 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. x  e. 
RR*  E. y  e.  RR*  z  =  ( x (,) y )  ->  ( `' F " z )  e.  dom  vol )
)
684, 67syl5bi 208 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ran  (,) 
->  ( `' F "
z )  e.  dom  vol ) )
6968ralrimiv 2710 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ran  (,) ( `' F "
z )  e.  dom  vol )
70 ismbf 19200 . . 3  |-  ( F : A --> RR  ->  ( F  e. MblFn  <->  A. z  e.  ran  (,) ( `' F "
z )  e.  dom  vol ) )
7144, 70syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e. MblFn  <->  A. z  e.  ran  (,) ( `' F " z )  e.  dom  vol )
)
7269, 71mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   E.wrex 2629    i^i cin 3237   ifcif 3654   ~Pcpw 3714   class class class wbr 4125    X. cxp 4790   `'ccnv 4791   dom cdm 4792   ran crn 4793   "cima 4795   Fun wfun 5352    Fn wfn 5353   -->wf 5354  (class class class)co 5981   RRcr 8883    +oocpnf 9011    -oocmnf 9012   RR*cxr 9013    <_ cle 9015   (,)cioo 10809   volcvol 19038  MblFncmbf 19184
This theorem is referenced by:  ismbf2d  19211  mbfmax  19219
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xadd 10604  df-ioo 10813  df-ico 10815  df-icc 10816  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-seq 11211  df-exp 11270  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-clim 12169  df-sum 12367  df-xmet 16586  df-met 16587  df-ovol 19039  df-vol 19040  df-mbf 19190
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