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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ismbfd | Unicode version |
Description: Deduction to prove measurability of a real function. The third hypothesis is not necessary, but the proof of this requires countable choice, so we derive this separately as ismbf3d 19507. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) |
Ref | Expression |
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ismbfd.1 |
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ismbfd.2 |
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ismbfd.3 |
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Ref | Expression |
---|---|
ismbfd |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | ioof 10966 |
. . . . 5
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2 | ffn 5558 |
. . . . 5
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3 | ovelrn 6189 |
. . . . 5
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4 | 1, 2, 3 | mp2b 10 |
. . . 4
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5 | simprl 733 |
. . . . . . . . . . 11
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6 | pnfxr 10677 |
. . . . . . . . . . . 12
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7 | 6 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
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8 | mnfxr 10678 |
. . . . . . . . . . . 12
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9 | 8 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
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10 | simprr 734 |
. . . . . . . . . . 11
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11 | iooin 10914 |
. . . . . . . . . . 11
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12 | 5, 7, 9, 10, 11 | syl22anc 1185 |
. . . . . . . . . 10
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13 | mnfle 10693 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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14 | xrleid 10707 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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15 | breq1 4183 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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16 | breq1 4183 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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17 | 15, 16 | ifboth 3738 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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18 | 13, 14, 17 | syl2anc 643 |
. . . . . . . . . . . . 13
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19 | 18 | ad2antrl 709 |
. . . . . . . . . . . 12
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20 | xrmax1 10727 |
. . . . . . . . . . . . 13
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21 | 5, 8, 20 | sylancl 644 |
. . . . . . . . . . . 12
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22 | ifcl 3743 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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23 | 8, 5, 22 | sylancr 645 |
. . . . . . . . . . . . 13
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24 | xrletri3 10709 |
. . . . . . . . . . . . 13
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25 | 23, 5, 24 | syl2anc 643 |
. . . . . . . . . . . 12
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26 | 19, 21, 25 | mpbir2and 889 |
. . . . . . . . . . 11
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27 | xrmin2 10730 |
. . . . . . . . . . . . 13
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28 | 6, 10, 27 | sylancr 645 |
. . . . . . . . . . . 12
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29 | pnfge 10691 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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30 | xrleid 10707 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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31 | breq2 4184 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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32 | breq2 4184 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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33 | 31, 32 | ifboth 3738 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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34 | 29, 30, 33 | syl2anc 643 |
. . . . . . . . . . . . 13
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35 | 34 | ad2antll 710 |
. . . . . . . . . . . 12
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36 | ifcl 3743 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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37 | 6, 10, 36 | sylancr 645 |
. . . . . . . . . . . . 13
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38 | xrletri3 10709 |
. . . . . . . . . . . . 13
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39 | 37, 10, 38 | syl2anc 643 |
. . . . . . . . . . . 12
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40 | 28, 35, 39 | mpbir2and 889 |
. . . . . . . . . . 11
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41 | 26, 40 | oveq12d 6066 |
. . . . . . . . . 10
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42 | 12, 41 | eqtrd 2444 |
. . . . . . . . 9
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43 | 42 | imaeq2d 5170 |
. . . . . . . 8
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44 | ismbfd.1 |
. . . . . . . . . . 11
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45 | 44 | adantr 452 |
. . . . . . . . . 10
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46 | ffun 5560 |
. . . . . . . . . 10
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47 | 45, 46 | syl 16 |
. . . . . . . . 9
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48 | inpreima 5824 |
. . . . . . . . 9
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49 | 47, 48 | syl 16 |
. . . . . . . 8
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50 | 43, 49 | eqtr3d 2446 |
. . . . . . 7
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51 | ismbfd.2 |
. . . . . . . . 9
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52 | 51 | adantrr 698 |
. . . . . . . 8
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53 | ismbfd.3 |
. . . . . . . . . . 11
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54 | 53 | ralrimiva 2757 |
. . . . . . . . . 10
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55 | oveq2 6056 |
. . . . . . . . . . . . 13
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56 | 55 | imaeq2d 5170 |
. . . . . . . . . . . 12
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57 | 56 | eleq1d 2478 |
. . . . . . . . . . 11
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58 | 57 | rspccva 3019 |
. . . . . . . . . 10
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59 | 54, 58 | sylan 458 |
. . . . . . . . 9
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60 | 59 | adantrl 697 |
. . . . . . . 8
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61 | inmbl 19397 |
. . . . . . . 8
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62 | 52, 60, 61 | syl2anc 643 |
. . . . . . 7
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63 | 50, 62 | eqeltrd 2486 |
. . . . . 6
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64 | imaeq2 5166 |
. . . . . . 7
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65 | 64 | eleq1d 2478 |
. . . . . 6
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66 | 63, 65 | syl5ibrcom 214 |
. . . . 5
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67 | 66 | rexlimdvva 2805 |
. . . 4
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68 | 4, 67 | syl5bi 209 |
. . 3
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69 | 68 | ralrimiv 2756 |
. 2
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70 | ismbf 19483 |
. . 3
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71 | 44, 70 | syl 16 |
. 2
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72 | 69, 71 | mpbird 224 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem is referenced by: ismbf2d 19494 mbfmax 19502 |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-3 7 ax-mp 8 ax-gen 1552 ax-5 1563 ax-17 1623 ax-9 1662 ax-8 1683 ax-13 1723 ax-14 1725 ax-6 1740 ax-7 1745 ax-11 1757 ax-12 1946 ax-ext 2393 ax-rep 4288 ax-sep 4298 ax-nul 4306 ax-pow 4345 ax-pr 4371 ax-un 4668 ax-inf2 7560 ax-cnex 9010 ax-resscn 9011 ax-1cn 9012 ax-icn 9013 ax-addcl 9014 ax-addrcl 9015 ax-mulcl 9016 ax-mulrcl 9017 ax-mulcom 9018 ax-addass 9019 ax-mulass 9020 ax-distr 9021 ax-i2m1 9022 ax-1ne0 9023 ax-1rid 9024 ax-rnegex 9025 ax-rrecex 9026 ax-cnre 9027 ax-pre-lttri 9028 ax-pre-lttrn 9029 ax-pre-ltadd 9030 ax-pre-mulgt0 9031 ax-pre-sup 9032 |
This theorem depends on definitions: df-bi 178 df-or 360 df-an 361 df-3or 937 df-3an 938 df-tru 1325 df-ex 1548 df-nf 1551 df-sb 1656 df-eu 2266 df-mo 2267 df-clab 2399 df-cleq 2405 df-clel 2408 df-nfc 2537 df-ne 2577 df-nel 2578 df-ral 2679 df-rex 2680 df-reu 2681 df-rmo 2682 df-rab 2683 df-v 2926 df-sbc 3130 df-csb 3220 df-dif 3291 df-un 3293 df-in 3295 df-ss 3302 df-pss 3304 df-nul 3597 df-if 3708 df-pw 3769 df-sn 3788 df-pr 3789 df-tp 3790 df-op 3791 df-uni 3984 df-int 4019 df-iun 4063 df-br 4181 df-opab 4235 df-mpt 4236 df-tr 4271 df-eprel 4462 df-id 4466 df-po 4471 df-so 4472 df-fr 4509 df-se 4510 df-we 4511 df-ord 4552 df-on 4553 df-lim 4554 df-suc 4555 df-om 4813 df-xp 4851 df-rel 4852 df-cnv 4853 df-co 4854 df-dm 4855 df-rn 4856 df-res 4857 df-ima 4858 df-iota 5385 df-fun 5423 df-fn 5424 df-f 5425 df-f1 5426 df-fo 5427 df-f1o 5428 df-fv 5429 df-isom 5430 df-ov 6051 df-oprab 6052 df-mpt2 6053 df-of 6272 df-1st 6316 df-2nd 6317 df-riota 6516 df-recs 6600 df-rdg 6635 df-1o 6691 df-2o 6692 df-oadd 6695 df-er 6872 df-map 6987 df-pm 6988 df-en 7077 df-dom 7078 df-sdom 7079 df-fin 7080 df-sup 7412 df-oi 7443 df-card 7790 df-cda 8012 df-pnf 9086 df-mnf 9087 df-xr 9088 df-ltxr 9089 df-le 9090 df-sub 9257 df-neg 9258 df-div 9642 df-nn 9965 df-2 10022 df-3 10023 df-n0 10186 df-z 10247 df-uz 10453 df-q 10539 df-rp 10577 df-xadd 10675 df-ioo 10884 df-ico 10886 df-icc 10887 df-fz 11008 df-fzo 11099 df-fl 11165 df-seq 11287 df-exp 11346 df-hash 11582 df-cj 11867 df-re 11868 df-im 11869 df-sqr 12003 df-abs 12004 df-clim 12245 df-sum 12443 df-xmet 16658 df-met 16659 df-ovol 19322 df-vol 19323 df-mbf 19473 |
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