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Theorem ismbfd 19493
Description: Deduction to prove measurability of a real function. The third hypothesis is not necessary, but the proof of this requires countable choice, so we derive this separately as ismbf3d 19507. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbfd.1  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
ismbfd.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR* )  ->  ( `' F " ( x (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol )
ismbfd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR* )  ->  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
Assertion
Ref Expression
ismbfd  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, F    ph, x
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem ismbfd
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 10966 . . . . 5  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
2 ffn 5558 . . . . 5  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
3 ovelrn 6189 . . . . 5  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( z  e. 
ran  (,)  <->  E. x  e.  RR*  E. y  e.  RR*  z  =  ( x (,) y ) ) )
41, 2, 3mp2b 10 . . . 4  |-  ( z  e.  ran  (,)  <->  E. x  e.  RR*  E. y  e. 
RR*  z  =  ( x (,) y ) )
5 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  x  e.  RR* )
6 pnfxr 10677 . . . . . . . . . . . 12  |-  +oo  e.  RR*
76a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  +oo  e.  RR* )
8 mnfxr 10678 . . . . . . . . . . . 12  |-  -oo  e.  RR*
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  -oo  e.  RR* )
10 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
y  e.  RR* )
11 iooin 10914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\ 
+oo  e.  RR* )  /\  (  -oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* ) )  -> 
( ( x (,) 
+oo )  i^i  (  -oo (,) y ) )  =  ( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x ) (,) if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) ) )
125, 7, 9, 10, 11syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( ( x (,) 
+oo )  i^i  (  -oo (,) y ) )  =  ( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x ) (,) if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) ) )
13 mnfle 10693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR*  ->  -oo  <_  x )
14 xrleid 10707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR*  ->  x  <_  x )
15 breq1 4183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  -oo  =  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x
)  ->  (  -oo  <_  x  <->  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x
)  <_  x )
)
16 breq1 4183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  ->  (
x  <_  x  <->  if (
x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  <_  x
) )
1715, 16ifboth 3738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
-oo  <_  x  /\  x  <_  x )  ->  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  <_  x )
1813, 14, 17syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR*  ->  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  <_  x
)
1918ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  <_  x )
20 xrmax1 10727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  -oo  e.  RR* )  ->  x  <_  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x
) )
215, 8, 20sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  x  <_  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x ) )
22 ifcl 3743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  e. 
RR* )
238, 5, 22sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  e. 
RR* )
24 xrletri3 10709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x
)  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  ( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  =  x  <->  ( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  <_  x  /\  x  <_  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x ) ) ) )
2523, 5, 24syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  =  x  <-> 
( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  <_  x  /\  x  <_  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x ) ) ) )
2619, 21, 25mpbir2and 889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  =  x )
27 xrmin2 10730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
+oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  <_ 
y )
286, 10, 27sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  <_  y )
29 pnfge 10691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_  +oo )
30 xrleid 10707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_ 
y )
31 breq2 4184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  +oo  =  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  ->  ( y  <_  +oo  <->  y  <_  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) ) )
32 breq2 4184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  if (  +oo  <_  y ,  +oo , 
y )  ->  (
y  <_  y  <->  y  <_  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) ) )
3331, 32ifboth 3738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  <_  +oo  /\  y  <_  y )  ->  y  <_  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) )
3429, 30, 33syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) )
3534ad2antll 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
y  <_  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) )
36 ifcl 3743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
+oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  e. 
RR* )
376, 10, 36sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  e.  RR* )
38 xrletri3 10709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  =  y  <->  ( if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  <_ 
y  /\  y  <_  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) ) ) )
3937, 10, 38syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( if (  +oo  <_  y ,  +oo , 
y )  =  y  <-> 
( if (  +oo  <_  y ,  +oo , 
y )  <_  y  /\  y  <_  if ( 
+oo  <_  y ,  +oo ,  y ) ) ) )
4028, 35, 39mpbir2and 889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  =  y )
4126, 40oveq12d 6066 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x ) (,) if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) )  =  ( x (,) y ) )
4212, 41eqtrd 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( ( x (,) 
+oo )  i^i  (  -oo (,) y ) )  =  ( x (,) y ) )
4342imaeq2d 5170 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( ( x (,) 
+oo )  i^i  (  -oo (,) y ) ) )  =  ( `' F " ( x (,) y ) ) )
44 ismbfd.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
4544adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  F : A --> RR )
46 ffun 5560 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> RR  ->  Fun 
F )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  Fun  F )
48 inpreima 5824 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( ( x (,)  +oo )  i^i  (  -oo (,) y ) ) )  =  ( ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  i^i  ( `' F "
(  -oo (,) y ) ) ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( ( x (,) 
+oo )  i^i  (  -oo (,) y ) ) )  =  ( ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  i^i  ( `' F "
(  -oo (,) y ) ) ) )
5043, 49eqtr3d 2446 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( x (,) y
) )  =  ( ( `' F "
( x (,)  +oo ) )  i^i  ( `' F " (  -oo (,) y ) ) ) )
51 ismbfd.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR* )  ->  ( `' F " ( x (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol )
5251adantrr 698 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
53 ismbfd.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR* )  ->  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
5453ralrimiva 2757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR*  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
55 oveq2 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (  -oo (,) x )  =  (  -oo (,) y
) )
5655imaeq2d 5170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  =  ( `' F "
(  -oo (,) y ) ) )
5756eleq1d 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( `' F "
(  -oo (,) x ) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " (  -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol ) )
5857rspccva 3019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  RR*  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol  /\  y  e. 
RR* )  ->  ( `' F " (  -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
5954, 58sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' F " (  -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
6059adantrl 697 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
(  -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
61 inmbl 19397 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F "
( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( `' F " (  -oo (,) y
) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  i^i  ( `' F "
(  -oo (,) y ) ) )  e.  dom  vol )
6252, 60, 61syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  i^i  ( `' F " (  -oo (,) y ) ) )  e.  dom  vol )
6350, 62eqeltrd 2486 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( x (,) y
) )  e.  dom  vol )
64 imaeq2 5166 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( x (,) y )  ->  ( `' F " z )  =  ( `' F " ( x (,) y
) ) )
6564eleq1d 2478 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( x (,) y )  ->  (
( `' F "
z )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( x (,) y ) )  e.  dom  vol )
)
6663, 65syl5ibrcom 214 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( z  =  ( x (,) y )  ->  ( `' F " z )  e.  dom  vol ) )
6766rexlimdvva 2805 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. x  e. 
RR*  E. y  e.  RR*  z  =  ( x (,) y )  ->  ( `' F " z )  e.  dom  vol )
)
684, 67syl5bi 209 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ran  (,) 
->  ( `' F "
z )  e.  dom  vol ) )
6968ralrimiv 2756 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ran  (,) ( `' F "
z )  e.  dom  vol )
70 ismbf 19483 . . 3  |-  ( F : A --> RR  ->  ( F  e. MblFn  <->  A. z  e.  ran  (,) ( `' F "
z )  e.  dom  vol ) )
7144, 70syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e. MblFn  <->  A. z  e.  ran  (,) ( `' F " z )  e.  dom  vol )
)
7269, 71mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   E.wrex 2675    i^i cin 3287   ifcif 3707   ~Pcpw 3767   class class class wbr 4180    X. cxp 4843   `'ccnv 4844   dom cdm 4845   ran crn 4846   "cima 4848   Fun wfun 5415    Fn wfn 5416   -->wf 5417  (class class class)co 6048   RRcr 8953    +oocpnf 9081    -oocmnf 9082   RR*cxr 9083    <_ cle 9085   (,)cioo 10880   volcvol 19321  MblFncmbf 19467
This theorem is referenced by:  ismbf2d  19494  mbfmax  19502
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xadd 10675  df-ioo 10884  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-clim 12245  df-sum 12443  df-xmet 16658  df-met 16659  df-ovol 19322  df-vol 19323  df-mbf 19473
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