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Theorem ismbfd 19535
Description: Deduction to prove measurability of a real function. The third hypothesis is not necessary, but the proof of this requires countable choice, so we derive this separately as ismbf3d 19549. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ismbfd.1  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
ismbfd.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR* )  ->  ( `' F " ( x (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol )
ismbfd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR* )  ->  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
Assertion
Ref Expression
ismbfd  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, F    ph, x
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem ismbfd
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 11007 . . . . 5  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
2 ffn 5594 . . . . 5  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
3 ovelrn 6225 . . . . 5  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( z  e. 
ran  (,)  <->  E. x  e.  RR*  E. y  e.  RR*  z  =  ( x (,) y ) ) )
41, 2, 3mp2b 10 . . . 4  |-  ( z  e.  ran  (,)  <->  E. x  e.  RR*  E. y  e. 
RR*  z  =  ( x (,) y ) )
5 simprl 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  x  e.  RR* )
6 pnfxr 10718 . . . . . . . . . . . 12  |-  +oo  e.  RR*
76a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  +oo  e.  RR* )
8 mnfxr 10719 . . . . . . . . . . . 12  |-  -oo  e.  RR*
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  -oo  e.  RR* )
10 simprr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
y  e.  RR* )
11 iooin 10955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR*  /\ 
+oo  e.  RR* )  /\  (  -oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* ) )  -> 
( ( x (,) 
+oo )  i^i  (  -oo (,) y ) )  =  ( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x ) (,) if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) ) )
125, 7, 9, 10, 11syl22anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( ( x (,) 
+oo )  i^i  (  -oo (,) y ) )  =  ( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x ) (,) if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) ) )
13 mnfle 10734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR*  ->  -oo  <_  x )
14 xrleid 10748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR*  ->  x  <_  x )
15 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  -oo  =  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x
)  ->  (  -oo  <_  x  <->  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x
)  <_  x )
)
16 breq1 4218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  ->  (
x  <_  x  <->  if (
x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  <_  x
) )
1715, 16ifboth 3772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
-oo  <_  x  /\  x  <_  x )  ->  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  <_  x )
1813, 14, 17syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR*  ->  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  <_  x
)
1918ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  <_  x )
20 xrmax1 10768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  -oo  e.  RR* )  ->  x  <_  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x
) )
215, 8, 20sylancl 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  x  <_  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x ) )
22 ifcl 3777 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  e. 
RR* )
238, 5, 22sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  e. 
RR* )
24 xrletri3 10750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x
)  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  ( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  =  x  <->  ( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  <_  x  /\  x  <_  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x ) ) ) )
2523, 5, 24syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  =  x  <-> 
( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  <_  x  /\  x  <_  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x ) ) ) )
2619, 21, 25mpbir2and 890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x )  =  x )
27 xrmin2 10771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 
+oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  <_ 
y )
286, 10, 27sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  <_  y )
29 pnfge 10732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_  +oo )
30 xrleid 10748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_ 
y )
31 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  +oo  =  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  ->  ( y  <_  +oo  <->  y  <_  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) ) )
32 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  if (  +oo  <_  y ,  +oo , 
y )  ->  (
y  <_  y  <->  y  <_  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) ) )
3331, 32ifboth 3772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  <_  +oo  /\  y  <_  y )  ->  y  <_  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) )
3429, 30, 33syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR*  ->  y  <_  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) )
3534ad2antll 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
y  <_  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) )
36 ifcl 3777 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
+oo  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  e. 
RR* )
376, 10, 36sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  e.  RR* )
38 xrletri3 10750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  ( if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  =  y  <->  ( if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  <_ 
y  /\  y  <_  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) ) ) )
3937, 10, 38syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( if (  +oo  <_  y ,  +oo , 
y )  =  y  <-> 
( if (  +oo  <_  y ,  +oo , 
y )  <_  y  /\  y  <_  if ( 
+oo  <_  y ,  +oo ,  y ) ) ) )
4028, 35, 39mpbir2and 890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y )  =  y )
4126, 40oveq12d 6102 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( if ( x  <_  -oo ,  -oo ,  x ) (,) if (  +oo  <_  y ,  +oo ,  y ) )  =  ( x (,) y ) )
4212, 41eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( ( x (,) 
+oo )  i^i  (  -oo (,) y ) )  =  ( x (,) y ) )
4342imaeq2d 5206 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( ( x (,) 
+oo )  i^i  (  -oo (,) y ) ) )  =  ( `' F " ( x (,) y ) ) )
44 ismbfd.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
4544adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  F : A --> RR )
46 ffun 5596 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> RR  ->  Fun 
F )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  ->  Fun  F )
48 inpreima 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( ( x (,)  +oo )  i^i  (  -oo (,) y ) ) )  =  ( ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  i^i  ( `' F "
(  -oo (,) y ) ) ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( ( x (,) 
+oo )  i^i  (  -oo (,) y ) ) )  =  ( ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  i^i  ( `' F "
(  -oo (,) y ) ) ) )
5043, 49eqtr3d 2472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( x (,) y
) )  =  ( ( `' F "
( x (,)  +oo ) )  i^i  ( `' F " (  -oo (,) y ) ) ) )
51 ismbfd.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR* )  ->  ( `' F " ( x (,) 
+oo ) )  e. 
dom  vol )
5251adantrr 699 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
53 ismbfd.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR* )  ->  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
5453ralrimiva 2791 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR*  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol )
55 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (  -oo (,) x )  =  (  -oo (,) y
) )
5655imaeq2d 5206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  =  ( `' F "
(  -oo (,) y ) ) )
5756eleq1d 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( `' F "
(  -oo (,) x ) )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " (  -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol ) )
5857rspccva 3053 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  RR*  ( `' F " (  -oo (,) x ) )  e. 
dom  vol  /\  y  e. 
RR* )  ->  ( `' F " (  -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
5954, 58sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR* )  ->  ( `' F " (  -oo (,) y ) )  e. 
dom  vol )
6059adantrl 698 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
(  -oo (,) y ) )  e.  dom  vol )
61 inmbl 19441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F "
( x (,)  +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( `' F " (  -oo (,) y
) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  i^i  ( `' F "
(  -oo (,) y ) ) )  e.  dom  vol )
6252, 60, 61syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( ( `' F " ( x (,)  +oo ) )  i^i  ( `' F " (  -oo (,) y ) ) )  e.  dom  vol )
6350, 62eqeltrd 2512 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( `' F "
( x (,) y
) )  e.  dom  vol )
64 imaeq2 5202 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( x (,) y )  ->  ( `' F " z )  =  ( `' F " ( x (,) y
) ) )
6564eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( x (,) y )  ->  (
( `' F "
z )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( x (,) y ) )  e.  dom  vol )
)
6663, 65syl5ibrcom 215 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )  -> 
( z  =  ( x (,) y )  ->  ( `' F " z )  e.  dom  vol ) )
6766rexlimdvva 2839 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. x  e. 
RR*  E. y  e.  RR*  z  =  ( x (,) y )  ->  ( `' F " z )  e.  dom  vol )
)
684, 67syl5bi 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ran  (,) 
->  ( `' F "
z )  e.  dom  vol ) )
6968ralrimiv 2790 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ran  (,) ( `' F "
z )  e.  dom  vol )
70 ismbf 19525 . . 3  |-  ( F : A --> RR  ->  ( F  e. MblFn  <->  A. z  e.  ran  (,) ( `' F "
z )  e.  dom  vol ) )
7144, 70syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e. MblFn  <->  A. z  e.  ran  (,) ( `' F " z )  e.  dom  vol )
)
7269, 71mpbird 225 1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708    i^i cin 3321   ifcif 3741   ~Pcpw 3801   class class class wbr 4215    X. cxp 4879   `'ccnv 4880   dom cdm 4881   ran crn 4882   "cima 4884   Fun wfun 5451    Fn wfn 5452   -->wf 5453  (class class class)co 6084   RRcr 8994    +oocpnf 9122    -oocmnf 9123   RR*cxr 9124    <_ cle 9126   (,)cioo 10921   volcvol 19365  MblFncmbf 19511
This theorem is referenced by:  ismbf2d  19536  mbfmax  19544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xadd 10716  df-ioo 10925  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485  df-xmet 16700  df-met 16701  df-ovol 19366  df-vol 19367  df-mbf 19516
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