Theorem ismbfd 18995

Description: Deduction to prove measurability of a real function. The third hypothesis is not necessary, but the proof of this requires countable choice, so we derive this separately as ismbf3d 19009. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismbfd.1	|- ( ph -> F : A --> RR )
ismbfd.2	|- ( ( ph /\ x e. RR* ) -> ( `' F " ( x (,) +oo ) ) e. dom vol )
ismbfd.3	|- ( ( ph /\ x e. RR* ) -> ( `' F " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol )

Assertion

Ref	Expression
ismbfd	|- ( ph -> F e. MblFn )

Distinct variable groups:   x, F   ph, x

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem ismbfd

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 10741	. . . . 5 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
2		ffn 5389	. . . . 5 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
3		ovelrn 5996	. . . . 5 |- ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) -> ( z e. ran (,) <-> E. x e. RR* E. y e. RR* z = ( x (,) y ) ) )
4	1, 2, 3	mp2b 9	. . . 4 |- ( z e. ran (,) <-> E. x e. RR* E. y e. RR* z = ( x (,) y ) )
5		simprl 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> x e. RR* )
6		pnfxr 10455	. . . . . . . . . . . 12 |- +oo e. RR*
7	6	a1i 10	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> +oo e. RR* )
8		mnfxr 10456	. . . . . . . . . . . 12 |- -oo e. RR*
9	8	a1i 10	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> -oo e. RR* )
10		simprr 733	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> y e. RR* )
11		iooin 10690	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. RR* /\ +oo e. RR* ) /\ ( -oo e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( ( x (,) +oo ) i^i ( -oo (,) y ) ) = ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) (,) if ( +oo <_ y , +oo , y ) ) )
12	5, 7, 9, 10, 11	syl22anc 1183	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( ( x (,) +oo ) i^i ( -oo (,) y ) ) = ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) (,) if ( +oo <_ y , +oo , y ) ) )
13		mnfle 10470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR* -> -oo <_ x )
14		xrleid 10484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR* -> x <_ x )
15		breq1 4026	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -oo = if ( x <_ -oo , -oo , x ) -> ( -oo <_ x <-> if ( x <_ -oo , -oo , x ) <_ x ) )
16		breq1 4026	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = if ( x <_ -oo , -oo , x ) -> ( x <_ x <-> if ( x <_ -oo , -oo , x ) <_ x ) )
17	15, 16	ifboth 3596	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -oo <_ x /\ x <_ x ) -> if ( x <_ -oo , -oo , x ) <_ x )
18	13, 14, 17	syl2anc 642	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR* -> if ( x <_ -oo , -oo , x ) <_ x )
19	18	ad2antrl 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> if ( x <_ -oo , -oo , x ) <_ x )
20		xrmax1 10504	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> x <_ if ( x <_ -oo , -oo , x ) )
21	5, 8, 20	sylancl 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> x <_ if ( x <_ -oo , -oo , x ) )
22		ifcl 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -oo e. RR* /\ x e. RR* ) -> if ( x <_ -oo , -oo , x ) e. RR* )
23	8, 5, 22	sylancr 644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> if ( x <_ -oo , -oo , x ) e. RR* )
24		xrletri3 10486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) e. RR* /\ x e. RR* ) -> ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) = x <-> ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) <_ x /\ x <_ if ( x <_ -oo , -oo , x ) ) ) )
25	23, 5, 24	syl2anc 642	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) = x <-> ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) <_ x /\ x <_ if ( x <_ -oo , -oo , x ) ) ) )
26	19, 21, 25	mpbir2and 888	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> if ( x <_ -oo , -oo , x ) = x )
27		xrmin2 10507	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( +oo e. RR* /\ y e. RR* ) -> if ( +oo <_ y , +oo , y ) <_ y )
28	6, 10, 27	sylancr 644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> if ( +oo <_ y , +oo , y ) <_ y )
29		pnfge 10469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR* -> y <_ +oo )
30		xrleid 10484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR* -> y <_ y )
31		breq2 4027	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( +oo = if ( +oo <_ y , +oo , y ) -> ( y <_ +oo <-> y <_ if ( +oo <_ y , +oo , y ) ) )
32		breq2 4027	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = if ( +oo <_ y , +oo , y ) -> ( y <_ y <-> y <_ if ( +oo <_ y , +oo , y ) ) )
33	31, 32	ifboth 3596	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y <_ +oo /\ y <_ y ) -> y <_ if ( +oo <_ y , +oo , y ) )
34	29, 30, 33	syl2anc 642	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR* -> y <_ if ( +oo <_ y , +oo , y ) )
35	34	ad2antll 709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> y <_ if ( +oo <_ y , +oo , y ) )
36		ifcl 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( +oo e. RR* /\ y e. RR* ) -> if ( +oo <_ y , +oo , y ) e. RR* )
37	6, 10, 36	sylancr 644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> if ( +oo <_ y , +oo , y ) e. RR* )
38		xrletri3 10486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( if ( +oo <_ y , +oo , y ) e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( if ( +oo <_ y , +oo , y ) = y <-> ( if ( +oo <_ y , +oo , y ) <_ y /\ y <_ if ( +oo <_ y , +oo , y ) ) ) )
39	37, 10, 38	syl2anc 642	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( if ( +oo <_ y , +oo , y ) = y <-> ( if ( +oo <_ y , +oo , y ) <_ y /\ y <_ if ( +oo <_ y , +oo , y ) ) ) )
40	28, 35, 39	mpbir2and 888	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> if ( +oo <_ y , +oo , y ) = y )
41	26, 40	oveq12d 5876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) (,) if ( +oo <_ y , +oo , y ) ) = ( x (,) y ) )
42	12, 41	eqtrd 2315	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( ( x (,) +oo ) i^i ( -oo (,) y ) ) = ( x (,) y ) )
43	42	imaeq2d 5012	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( `' F " ( ( x (,) +oo ) i^i ( -oo (,) y ) ) ) = ( `' F " ( x (,) y ) ) )
44		ismbfd.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : A --> RR )
45	44	adantr 451	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> F : A --> RR )
46		ffun 5391	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A --> RR -> Fun F )
47	45, 46	syl 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> Fun F )
48		inpreima 5652	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> ( `' F " ( ( x (,) +oo ) i^i ( -oo (,) y ) ) ) = ( ( `' F " ( x (,) +oo ) ) i^i ( `' F " ( -oo (,) y ) ) ) )
49	47, 48	syl 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( `' F " ( ( x (,) +oo ) i^i ( -oo (,) y ) ) ) = ( ( `' F " ( x (,) +oo ) ) i^i ( `' F " ( -oo (,) y ) ) ) )
50	43, 49	eqtr3d 2317	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( `' F " ( x (,) y ) ) = ( ( `' F " ( x (,) +oo ) ) i^i ( `' F " ( -oo (,) y ) ) ) )
51		ismbfd.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR* ) -> ( `' F " ( x (,) +oo ) ) e. dom vol )
52	51	adantrr 697	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( `' F " ( x (,) +oo ) ) e. dom vol )
53		ismbfd.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR* ) -> ( `' F " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol )
54	53	ralrimiva 2626	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. RR* ( `' F " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol )
55		oveq2 5866	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( -oo (,) x ) = ( -oo (,) y ) )
56	55	imaeq2d 5012	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( `' F " ( -oo (,) x ) ) = ( `' F " ( -oo (,) y ) ) )
57	56	eleq1d 2349	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( `' F " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol <-> ( `' F " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol ) )
58	57	rspccva 2883	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. RR* ( `' F " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol /\ y e. RR* ) -> ( `' F " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
59	54, 58	sylan 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR* ) -> ( `' F " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
60	59	adantrl 696	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( `' F " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
61		inmbl 18899	. . . . . . . 8 |- ( ( ( `' F " ( x (,) +oo ) ) e. dom vol /\ ( `' F " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol ) -> ( ( `' F " ( x (,) +oo ) ) i^i ( `' F " ( -oo (,) y ) ) ) e. dom vol )
62	52, 60, 61	syl2anc 642	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( ( `' F " ( x (,) +oo ) ) i^i ( `' F " ( -oo (,) y ) ) ) e. dom vol )
63	50, 62	eqeltrd 2357	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( `' F " ( x (,) y ) ) e. dom vol )
64		imaeq2 5008	. . . . . . 7 |- ( z = ( x (,) y ) -> ( `' F " z ) = ( `' F " ( x (,) y ) ) )
65	64	eleq1d 2349	. . . . . 6 |- ( z = ( x (,) y ) -> ( ( `' F " z ) e. dom vol <-> ( `' F " ( x (,) y ) ) e. dom vol ) )
66	63, 65	syl5ibrcom 213	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( z = ( x (,) y ) -> ( `' F " z ) e. dom vol ) )
67	66	rexlimdvva 2674	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. RR* E. y e. RR* z = ( x (,) y ) -> ( `' F " z ) e. dom vol ) )
68	4, 67	syl5bi 208	. . 3 |- ( ph -> ( z e. ran (,) -> ( `' F " z ) e. dom vol ) )
69	68	ralrimiv 2625	. 2 |- ( ph -> A. z e. ran (,) ( `' F " z ) e. dom vol )
70		ismbf 18985	. . 3 |- ( F : A --> RR -> ( F e. MblFn <-> A. z e. ran (,) ( `' F " z ) e. dom vol ) )
71	44, 70	syl 15	. 2 |- ( ph -> ( F e. MblFn <-> A. z e. ran (,) ( `' F " z ) e. dom vol ) )
72	69, 71	mpbird 223	1 |- ( ph -> F e. MblFn )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358   = wceq 1623   e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   i^i cin 3151   ifcif 3565   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023   X. cxp 4687   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692   Fun wfun 5249   Fn wfn 5250   -->wf 5251  (class class class)co 5858   RRcr 8736   +oocpnf 8864   -oocmnf 8865   RR*cxr 8866   <_ cle 8868   (,)cioo 10656   volcvol 18823  MblFncmbf 18969

This theorem is referenced by:  ismbf2d  18996  mbfmax  19004

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975