Theorem ismbfd 19493

Description: Deduction to prove measurability of a real function. The third hypothesis is not necessary, but the proof of this requires countable choice, so we derive this separately as ismbf3d 19507. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismbfd.1	|- ( ph -> F : A --> RR )
ismbfd.2	|- ( ( ph /\ x e. RR* ) -> ( `' F " ( x (,) +oo ) ) e. dom vol )
ismbfd.3	|- ( ( ph /\ x e. RR* ) -> ( `' F " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol )

Assertion

Ref	Expression
ismbfd	|- ( ph -> F e. MblFn )

Distinct variable groups:   x, F   ph, x

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem ismbfd

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 10966	. . . . 5 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
2		ffn 5558	. . . . 5 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
3		ovelrn 6189	. . . . 5 |- ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) -> ( z e. ran (,) <-> E. x e. RR* E. y e. RR* z = ( x (,) y ) ) )
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . . 4 |- ( z e. ran (,) <-> E. x e. RR* E. y e. RR* z = ( x (,) y ) )
5		simprl 733	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> x e. RR* )
6		pnfxr 10677	. . . . . . . . . . . 12 |- +oo e. RR*
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> +oo e. RR* )
8		mnfxr 10678	. . . . . . . . . . . 12 |- -oo e. RR*
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> -oo e. RR* )
10		simprr 734	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> y e. RR* )
11		iooin 10914	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. RR* /\ +oo e. RR* ) /\ ( -oo e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( ( x (,) +oo ) i^i ( -oo (,) y ) ) = ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) (,) if ( +oo <_ y , +oo , y ) ) )
12	5, 7, 9, 10, 11	syl22anc 1185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( ( x (,) +oo ) i^i ( -oo (,) y ) ) = ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) (,) if ( +oo <_ y , +oo , y ) ) )
13		mnfle 10693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR* -> -oo <_ x )
14		xrleid 10707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR* -> x <_ x )
15		breq1 4183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -oo = if ( x <_ -oo , -oo , x ) -> ( -oo <_ x <-> if ( x <_ -oo , -oo , x ) <_ x ) )
16		breq1 4183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = if ( x <_ -oo , -oo , x ) -> ( x <_ x <-> if ( x <_ -oo , -oo , x ) <_ x ) )
17	15, 16	ifboth 3738	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -oo <_ x /\ x <_ x ) -> if ( x <_ -oo , -oo , x ) <_ x )
18	13, 14, 17	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR* -> if ( x <_ -oo , -oo , x ) <_ x )
19	18	ad2antrl 709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> if ( x <_ -oo , -oo , x ) <_ x )
20		xrmax1 10727	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> x <_ if ( x <_ -oo , -oo , x ) )
21	5, 8, 20	sylancl 644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> x <_ if ( x <_ -oo , -oo , x ) )
22		ifcl 3743	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -oo e. RR* /\ x e. RR* ) -> if ( x <_ -oo , -oo , x ) e. RR* )
23	8, 5, 22	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> if ( x <_ -oo , -oo , x ) e. RR* )
24		xrletri3 10709	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) e. RR* /\ x e. RR* ) -> ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) = x <-> ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) <_ x /\ x <_ if ( x <_ -oo , -oo , x ) ) ) )
25	23, 5, 24	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) = x <-> ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) <_ x /\ x <_ if ( x <_ -oo , -oo , x ) ) ) )
26	19, 21, 25	mpbir2and 889	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> if ( x <_ -oo , -oo , x ) = x )
27		xrmin2 10730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( +oo e. RR* /\ y e. RR* ) -> if ( +oo <_ y , +oo , y ) <_ y )
28	6, 10, 27	sylancr 645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> if ( +oo <_ y , +oo , y ) <_ y )
29		pnfge 10691	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR* -> y <_ +oo )
30		xrleid 10707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR* -> y <_ y )
31		breq2 4184	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( +oo = if ( +oo <_ y , +oo , y ) -> ( y <_ +oo <-> y <_ if ( +oo <_ y , +oo , y ) ) )
32		breq2 4184	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = if ( +oo <_ y , +oo , y ) -> ( y <_ y <-> y <_ if ( +oo <_ y , +oo , y ) ) )
33	31, 32	ifboth 3738	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y <_ +oo /\ y <_ y ) -> y <_ if ( +oo <_ y , +oo , y ) )
34	29, 30, 33	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR* -> y <_ if ( +oo <_ y , +oo , y ) )
35	34	ad2antll 710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> y <_ if ( +oo <_ y , +oo , y ) )
36		ifcl 3743	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( +oo e. RR* /\ y e. RR* ) -> if ( +oo <_ y , +oo , y ) e. RR* )
37	6, 10, 36	sylancr 645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> if ( +oo <_ y , +oo , y ) e. RR* )
38		xrletri3 10709	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( if ( +oo <_ y , +oo , y ) e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( if ( +oo <_ y , +oo , y ) = y <-> ( if ( +oo <_ y , +oo , y ) <_ y /\ y <_ if ( +oo <_ y , +oo , y ) ) ) )
39	37, 10, 38	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( if ( +oo <_ y , +oo , y ) = y <-> ( if ( +oo <_ y , +oo , y ) <_ y /\ y <_ if ( +oo <_ y , +oo , y ) ) ) )
40	28, 35, 39	mpbir2and 889	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> if ( +oo <_ y , +oo , y ) = y )
41	26, 40	oveq12d 6066	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) (,) if ( +oo <_ y , +oo , y ) ) = ( x (,) y ) )
42	12, 41	eqtrd 2444	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( ( x (,) +oo ) i^i ( -oo (,) y ) ) = ( x (,) y ) )
43	42	imaeq2d 5170	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( `' F " ( ( x (,) +oo ) i^i ( -oo (,) y ) ) ) = ( `' F " ( x (,) y ) ) )
44		ismbfd.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : A --> RR )
45	44	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> F : A --> RR )
46		ffun 5560	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A --> RR -> Fun F )
47	45, 46	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> Fun F )
48		inpreima 5824	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> ( `' F " ( ( x (,) +oo ) i^i ( -oo (,) y ) ) ) = ( ( `' F " ( x (,) +oo ) ) i^i ( `' F " ( -oo (,) y ) ) ) )
49	47, 48	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( `' F " ( ( x (,) +oo ) i^i ( -oo (,) y ) ) ) = ( ( `' F " ( x (,) +oo ) ) i^i ( `' F " ( -oo (,) y ) ) ) )
50	43, 49	eqtr3d 2446	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( `' F " ( x (,) y ) ) = ( ( `' F " ( x (,) +oo ) ) i^i ( `' F " ( -oo (,) y ) ) ) )
51		ismbfd.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR* ) -> ( `' F " ( x (,) +oo ) ) e. dom vol )
52	51	adantrr 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( `' F " ( x (,) +oo ) ) e. dom vol )
53		ismbfd.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR* ) -> ( `' F " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol )
54	53	ralrimiva 2757	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. RR* ( `' F " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol )
55		oveq2 6056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( -oo (,) x ) = ( -oo (,) y ) )
56	55	imaeq2d 5170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( `' F " ( -oo (,) x ) ) = ( `' F " ( -oo (,) y ) ) )
57	56	eleq1d 2478	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( `' F " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol <-> ( `' F " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol ) )
58	57	rspccva 3019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. RR* ( `' F " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol /\ y e. RR* ) -> ( `' F " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
59	54, 58	sylan 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR* ) -> ( `' F " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
60	59	adantrl 697	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( `' F " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
61		inmbl 19397	. . . . . . . 8 |- ( ( ( `' F " ( x (,) +oo ) ) e. dom vol /\ ( `' F " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol ) -> ( ( `' F " ( x (,) +oo ) ) i^i ( `' F " ( -oo (,) y ) ) ) e. dom vol )
62	52, 60, 61	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( ( `' F " ( x (,) +oo ) ) i^i ( `' F " ( -oo (,) y ) ) ) e. dom vol )
63	50, 62	eqeltrd 2486	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( `' F " ( x (,) y ) ) e. dom vol )
64		imaeq2 5166	. . . . . . 7 |- ( z = ( x (,) y ) -> ( `' F " z ) = ( `' F " ( x (,) y ) ) )
65	64	eleq1d 2478	. . . . . 6 |- ( z = ( x (,) y ) -> ( ( `' F " z ) e. dom vol <-> ( `' F " ( x (,) y ) ) e. dom vol ) )
66	63, 65	syl5ibrcom 214	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( z = ( x (,) y ) -> ( `' F " z ) e. dom vol ) )
67	66	rexlimdvva 2805	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. RR* E. y e. RR* z = ( x (,) y ) -> ( `' F " z ) e. dom vol ) )
68	4, 67	syl5bi 209	. . 3 |- ( ph -> ( z e. ran (,) -> ( `' F " z ) e. dom vol ) )
69	68	ralrimiv 2756	. 2 |- ( ph -> A. z e. ran (,) ( `' F " z ) e. dom vol )
70		ismbf 19483	. . 3 |- ( F : A --> RR -> ( F e. MblFn <-> A. z e. ran (,) ( `' F " z ) e. dom vol ) )
71	44, 70	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( F e. MblFn <-> A. z e. ran (,) ( `' F " z ) e. dom vol ) )
72	69, 71	mpbird 224	1 |- ( ph -> F e. MblFn )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2674   E.wrex 2675   i^i cin 3287   ifcif 3707   ~Pcpw 3767   class class class wbr 4180   X. cxp 4843   `'ccnv 4844   dom cdm 4845   ran crn 4846   "cima 4848   Fun wfun 5415   Fn wfn 5416   -->wf 5417  (class class class)co 6048   RRcr 8953   +oocpnf 9081   -oocmnf 9082   RR*cxr 9083   <_ cle 9085   (,)cioo 10880   volcvol 19321  MblFncmbf 19467

This theorem is referenced by:  ismbf2d  19494  mbfmax  19502

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xadd 10675  df-ioo 10884  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-clim 12245  df-sum 12443  df-xmet 16658  df-met 16659  df-ovol 19322  df-vol 19323  df-mbf 19473