Theorem ismbfd 19535

Description: Deduction to prove measurability of a real function. The third hypothesis is not necessary, but the proof of this requires countable choice, so we derive this separately as ismbf3d 19549. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismbfd.1	|- ( ph -> F : A --> RR )
ismbfd.2	|- ( ( ph /\ x e. RR* ) -> ( `' F " ( x (,) +oo ) ) e. dom vol )
ismbfd.3	|- ( ( ph /\ x e. RR* ) -> ( `' F " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol )

Assertion

Ref	Expression
ismbfd	|- ( ph -> F e. MblFn )

Distinct variable groups:   x, F   ph, x

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem ismbfd

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 11007	. . . . 5 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
2		ffn 5594	. . . . 5 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
3		ovelrn 6225	. . . . 5 |- ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) -> ( z e. ran (,) <-> E. x e. RR* E. y e. RR* z = ( x (,) y ) ) )
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . . 4 |- ( z e. ran (,) <-> E. x e. RR* E. y e. RR* z = ( x (,) y ) )
5		simprl 734	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> x e. RR* )
6		pnfxr 10718	. . . . . . . . . . . 12 |- +oo e. RR*
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> +oo e. RR* )
8		mnfxr 10719	. . . . . . . . . . . 12 |- -oo e. RR*
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> -oo e. RR* )
10		simprr 735	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> y e. RR* )
11		iooin 10955	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. RR* /\ +oo e. RR* ) /\ ( -oo e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( ( x (,) +oo ) i^i ( -oo (,) y ) ) = ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) (,) if ( +oo <_ y , +oo , y ) ) )
12	5, 7, 9, 10, 11	syl22anc 1186	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( ( x (,) +oo ) i^i ( -oo (,) y ) ) = ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) (,) if ( +oo <_ y , +oo , y ) ) )
13		mnfle 10734	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR* -> -oo <_ x )
14		xrleid 10748	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR* -> x <_ x )
15		breq1 4218	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -oo = if ( x <_ -oo , -oo , x ) -> ( -oo <_ x <-> if ( x <_ -oo , -oo , x ) <_ x ) )
16		breq1 4218	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = if ( x <_ -oo , -oo , x ) -> ( x <_ x <-> if ( x <_ -oo , -oo , x ) <_ x ) )
17	15, 16	ifboth 3772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -oo <_ x /\ x <_ x ) -> if ( x <_ -oo , -oo , x ) <_ x )
18	13, 14, 17	syl2anc 644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR* -> if ( x <_ -oo , -oo , x ) <_ x )
19	18	ad2antrl 710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> if ( x <_ -oo , -oo , x ) <_ x )
20		xrmax1 10768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> x <_ if ( x <_ -oo , -oo , x ) )
21	5, 8, 20	sylancl 645	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> x <_ if ( x <_ -oo , -oo , x ) )
22		ifcl 3777	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -oo e. RR* /\ x e. RR* ) -> if ( x <_ -oo , -oo , x ) e. RR* )
23	8, 5, 22	sylancr 646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> if ( x <_ -oo , -oo , x ) e. RR* )
24		xrletri3 10750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) e. RR* /\ x e. RR* ) -> ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) = x <-> ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) <_ x /\ x <_ if ( x <_ -oo , -oo , x ) ) ) )
25	23, 5, 24	syl2anc 644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) = x <-> ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) <_ x /\ x <_ if ( x <_ -oo , -oo , x ) ) ) )
26	19, 21, 25	mpbir2and 890	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> if ( x <_ -oo , -oo , x ) = x )
27		xrmin2 10771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( +oo e. RR* /\ y e. RR* ) -> if ( +oo <_ y , +oo , y ) <_ y )
28	6, 10, 27	sylancr 646	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> if ( +oo <_ y , +oo , y ) <_ y )
29		pnfge 10732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR* -> y <_ +oo )
30		xrleid 10748	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR* -> y <_ y )
31		breq2 4219	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( +oo = if ( +oo <_ y , +oo , y ) -> ( y <_ +oo <-> y <_ if ( +oo <_ y , +oo , y ) ) )
32		breq2 4219	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = if ( +oo <_ y , +oo , y ) -> ( y <_ y <-> y <_ if ( +oo <_ y , +oo , y ) ) )
33	31, 32	ifboth 3772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y <_ +oo /\ y <_ y ) -> y <_ if ( +oo <_ y , +oo , y ) )
34	29, 30, 33	syl2anc 644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR* -> y <_ if ( +oo <_ y , +oo , y ) )
35	34	ad2antll 711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> y <_ if ( +oo <_ y , +oo , y ) )
36		ifcl 3777	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( +oo e. RR* /\ y e. RR* ) -> if ( +oo <_ y , +oo , y ) e. RR* )
37	6, 10, 36	sylancr 646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> if ( +oo <_ y , +oo , y ) e. RR* )
38		xrletri3 10750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( if ( +oo <_ y , +oo , y ) e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( if ( +oo <_ y , +oo , y ) = y <-> ( if ( +oo <_ y , +oo , y ) <_ y /\ y <_ if ( +oo <_ y , +oo , y ) ) ) )
39	37, 10, 38	syl2anc 644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( if ( +oo <_ y , +oo , y ) = y <-> ( if ( +oo <_ y , +oo , y ) <_ y /\ y <_ if ( +oo <_ y , +oo , y ) ) ) )
40	28, 35, 39	mpbir2and 890	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> if ( +oo <_ y , +oo , y ) = y )
41	26, 40	oveq12d 6102	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) (,) if ( +oo <_ y , +oo , y ) ) = ( x (,) y ) )
42	12, 41	eqtrd 2470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( ( x (,) +oo ) i^i ( -oo (,) y ) ) = ( x (,) y ) )
43	42	imaeq2d 5206	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( `' F " ( ( x (,) +oo ) i^i ( -oo (,) y ) ) ) = ( `' F " ( x (,) y ) ) )
44		ismbfd.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : A --> RR )
45	44	adantr 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> F : A --> RR )
46		ffun 5596	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A --> RR -> Fun F )
47	45, 46	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> Fun F )
48		inpreima 5860	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> ( `' F " ( ( x (,) +oo ) i^i ( -oo (,) y ) ) ) = ( ( `' F " ( x (,) +oo ) ) i^i ( `' F " ( -oo (,) y ) ) ) )
49	47, 48	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( `' F " ( ( x (,) +oo ) i^i ( -oo (,) y ) ) ) = ( ( `' F " ( x (,) +oo ) ) i^i ( `' F " ( -oo (,) y ) ) ) )
50	43, 49	eqtr3d 2472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( `' F " ( x (,) y ) ) = ( ( `' F " ( x (,) +oo ) ) i^i ( `' F " ( -oo (,) y ) ) ) )
51		ismbfd.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR* ) -> ( `' F " ( x (,) +oo ) ) e. dom vol )
52	51	adantrr 699	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( `' F " ( x (,) +oo ) ) e. dom vol )
53		ismbfd.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR* ) -> ( `' F " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol )
54	53	ralrimiva 2791	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. RR* ( `' F " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol )
55		oveq2 6092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( -oo (,) x ) = ( -oo (,) y ) )
56	55	imaeq2d 5206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( `' F " ( -oo (,) x ) ) = ( `' F " ( -oo (,) y ) ) )
57	56	eleq1d 2504	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( `' F " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol <-> ( `' F " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol ) )
58	57	rspccva 3053	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. RR* ( `' F " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol /\ y e. RR* ) -> ( `' F " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
59	54, 58	sylan 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR* ) -> ( `' F " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
60	59	adantrl 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( `' F " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
61		inmbl 19441	. . . . . . . 8 |- ( ( ( `' F " ( x (,) +oo ) ) e. dom vol /\ ( `' F " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol ) -> ( ( `' F " ( x (,) +oo ) ) i^i ( `' F " ( -oo (,) y ) ) ) e. dom vol )
62	52, 60, 61	syl2anc 644	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( ( `' F " ( x (,) +oo ) ) i^i ( `' F " ( -oo (,) y ) ) ) e. dom vol )
63	50, 62	eqeltrd 2512	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( `' F " ( x (,) y ) ) e. dom vol )
64		imaeq2 5202	. . . . . . 7 |- ( z = ( x (,) y ) -> ( `' F " z ) = ( `' F " ( x (,) y ) ) )
65	64	eleq1d 2504	. . . . . 6 |- ( z = ( x (,) y ) -> ( ( `' F " z ) e. dom vol <-> ( `' F " ( x (,) y ) ) e. dom vol ) )
66	63, 65	syl5ibrcom 215	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( z = ( x (,) y ) -> ( `' F " z ) e. dom vol ) )
67	66	rexlimdvva 2839	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. RR* E. y e. RR* z = ( x (,) y ) -> ( `' F " z ) e. dom vol ) )
68	4, 67	syl5bi 210	. . 3 |- ( ph -> ( z e. ran (,) -> ( `' F " z ) e. dom vol ) )
69	68	ralrimiv 2790	. 2 |- ( ph -> A. z e. ran (,) ( `' F " z ) e. dom vol )
70		ismbf 19525	. . 3 |- ( F : A --> RR -> ( F e. MblFn <-> A. z e. ran (,) ( `' F " z ) e. dom vol ) )
71	44, 70	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( F e. MblFn <-> A. z e. ran (,) ( `' F " z ) e. dom vol ) )
72	69, 71	mpbird 225	1 |- ( ph -> F e. MblFn )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 178   /\ wa 360   = wceq 1653   e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   i^i cin 3321   ifcif 3741   ~Pcpw 3801   class class class wbr 4215   X. cxp 4879   `'ccnv 4880   dom cdm 4881   ran crn 4882   "cima 4884   Fun wfun 5451   Fn wfn 5452   -->wf 5453  (class class class)co 6084   RRcr 8994   +oocpnf 9122   -oocmnf 9123   RR*cxr 9124   <_ cle 9126   (,)cioo 10921   volcvol 19365  MblFncmbf 19511

This theorem is referenced by:  ismbf2d  19536  mbfmax  19544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xadd 10716  df-ioo 10925  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-sum 12485  df-xmet 16700  df-met 16701  df-ovol 19366  df-vol 19367  df-mbf 19516