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Theorem ismet 18345
Description: Express the predicate " D is a metric." (Contributed by NM, 25-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ismet  |-  ( X  e.  A  ->  ( D  e.  ( Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, D    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem ismet
Dummy variables  d 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2956 . . . . 5  |-  ( X  e.  A  ->  X  e.  _V )
2 xpeq12 4889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  X  /\  t  =  X )  ->  ( t  X.  t
)  =  ( X  X.  X ) )
32anidms 627 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  X  ->  (
t  X.  t )  =  ( X  X.  X ) )
43oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( t  =  X  ->  ( RR  ^m  ( t  X.  t ) )  =  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) ) )
5 raleq 2896 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  X  ->  ( A. z  e.  t 
( x d y )  <_  ( (
z d x )  +  ( z d y ) )  <->  A. z  e.  X  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) )
65anbi2d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  X  ->  (
( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  t  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) )  <->  ( (
( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) ) )
76raleqbi1dv 2904 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  X  ->  ( A. y  e.  t 
( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  t  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) )  <->  A. y  e.  X  ( (
( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) ) )
87raleqbi1dv 2904 . . . . . . 7  |-  ( t  =  X  ->  ( A. x  e.  t  A. y  e.  t 
( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  t  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) ) )
94, 8rabeqbidv 2943 . . . . . 6  |-  ( t  =  X  ->  { d  e.  ( RR  ^m  ( t  X.  t
) )  |  A. x  e.  t  A. y  e.  t  (
( ( x d y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  t  ( x d y )  <_  (
( z d x )  +  ( z d y ) ) ) }  =  {
d  e.  ( RR 
^m  ( X  X.  X ) )  | 
A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) } )
10 df-met 16688 . . . . . 6  |-  Met  =  ( t  e.  _V  |->  { d  e.  ( RR  ^m  ( t  X.  t ) )  |  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  t  (
x d y )  <_  ( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) } )
11 ovex 6098 . . . . . . 7  |-  ( RR 
^m  ( X  X.  X ) )  e. 
_V
1211rabex 4346 . . . . . 6  |-  { d  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X
) )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x d y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  (
( z d x )  +  ( z d y ) ) ) }  e.  _V
139, 10, 12fvmpt 5798 . . . . 5  |-  ( X  e.  _V  ->  ( Met `  X )  =  { d  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x d y )  <_  ( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) } )
141, 13syl 16 . . . 4  |-  ( X  e.  A  ->  ( Met `  X )  =  { d  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x d y )  <_  ( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) } )
1514eleq2d 2502 . . 3  |-  ( X  e.  A  ->  ( D  e.  ( Met `  X )  <->  D  e.  { d  e.  ( RR 
^m  ( X  X.  X ) )  | 
A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) } ) )
16 oveq 6079 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
x d y )  =  ( x D y ) )
1716eqeq1d 2443 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (
( x d y )  =  0  <->  (
x D y )  =  0 ) )
1817bibi1d 311 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( x d y )  =  0  <-> 
x  =  y )  <-> 
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y ) ) )
19 oveq 6079 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
z d x )  =  ( z D x ) )
20 oveq 6079 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
z d y )  =  ( z D y ) )
2119, 20oveq12d 6091 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
( z d x )  +  ( z d y ) )  =  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
2216, 21breq12d 4217 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (
( x d y )  <_  ( (
z d x )  +  ( z d y ) )  <->  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) )
2322ralbidv 2717 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  ( A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( (
z d x )  +  ( z d y ) )  <->  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) )
2418, 23anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) )  <->  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) )
25242ralbidv 2739 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x )  +  ( z d y ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) )
2625elrab 3084 . . 3  |-  ( D  e.  { d  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x d y )  <_  ( ( z d x )  +  ( z d y ) ) ) }  <-> 
( D  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) )
2715, 26syl6bb 253 . 2  |-  ( X  e.  A  ->  ( D  e.  ( Met `  X )  <->  ( D  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) ) )
28 reex 9073 . . . 4  |-  RR  e.  _V
29 xpexg 4981 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  X  e.  A )  ->  ( X  X.  X
)  e.  _V )
3029anidms 627 . . . 4  |-  ( X  e.  A  ->  ( X  X.  X )  e. 
_V )
31 elmapg 7023 . . . 4  |-  ( ( RR  e.  _V  /\  ( X  X.  X
)  e.  _V )  ->  ( D  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  <-> 
D : ( X  X.  X ) --> RR ) )
3228, 30, 31sylancr 645 . . 3  |-  ( X  e.  A  ->  ( D  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X
) )  <->  D :
( X  X.  X
) --> RR ) )
3332anbi1d 686 . 2  |-  ( X  e.  A  ->  (
( D  e.  ( RR  ^m  ( X  X.  X ) )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) )  <-> 
( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) ) )
3427, 33bitrd 245 1  |-  ( X  e.  A  ->  ( D  e.  ( Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   {crab 2701   _Vcvv 2948   class class class wbr 4204    X. cxp 4868   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010   RRcr 8981   0cc0 8982    + caddc 8985    <_ cle 9113   Metcme 16679
This theorem is referenced by:  ismeti  18347  metflem  18350  ismet2  18355  dscmet  18612  nrmmetd  18614  metf1o  26452  rrnmet  26529
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-met 16688
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