Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismet Structured version   Unicode version

Theorem ismet 18345
 Description: Express the predicate " is a metric." (Contributed by NM, 25-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ismet
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)

Proof of Theorem ismet
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2956 . . . . 5
2 xpeq12 4889 . . . . . . . . 9
32anidms 627 . . . . . . . 8
43oveq2d 6089 . . . . . . 7
5 raleq 2896 . . . . . . . . . 10
65anbi2d 685 . . . . . . . . 9
76raleqbi1dv 2904 . . . . . . . 8
87raleqbi1dv 2904 . . . . . . 7
94, 8rabeqbidv 2943 . . . . . 6
10 df-met 16688 . . . . . 6
11 ovex 6098 . . . . . . 7
1211rabex 4346 . . . . . 6
139, 10, 12fvmpt 5798 . . . . 5
141, 13syl 16 . . . 4
1514eleq2d 2502 . . 3
16 oveq 6079 . . . . . . . 8
1716eqeq1d 2443 . . . . . . 7
1817bibi1d 311 . . . . . 6
19 oveq 6079 . . . . . . . . 9
20 oveq 6079 . . . . . . . . 9
2119, 20oveq12d 6091 . . . . . . . 8
2216, 21breq12d 4217 . . . . . . 7
2322ralbidv 2717 . . . . . 6
2418, 23anbi12d 692 . . . . 5
25242ralbidv 2739 . . . 4
2625elrab 3084 . . 3
2715, 26syl6bb 253 . 2
28 reex 9073 . . . 4
29 xpexg 4981 . . . . 5
3029anidms 627 . . . 4
31 elmapg 7023 . . . 4
3228, 30, 31sylancr 645 . . 3
3332anbi1d 686 . 2
3427, 33bitrd 245 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  crab 2701  cvv 2948   class class class wbr 4204   cxp 4868  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmap 7010  cr 8981  cc0 8982   caddc 8985   cle 9113  cme 16679 This theorem is referenced by:  ismeti  18347  metflem  18350  ismet2  18355  dscmet  18612  nrmmetd  18614  metf1o  26452  rrnmet  26529 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-met 16688
 Copyright terms: Public domain W3C validator