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Theorem ismet2 18272
Description: An extended metric is a metric exactly when it takes real values for all values of the arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ismet2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR ) )

Proof of Theorem ismet2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5698 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  X  e.  _V )
2 elfvex 5698 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  _V )
32adantr 452 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  ->  X  e.  _V )
4 simpllr 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR )
5 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
6 simplrl 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  x  e.  X )
74, 5, 6fovrnd 6157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
z D x )  e.  RR )
8 simplrr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  y  e.  X )
94, 5, 8fovrnd 6157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
z D y )  e.  RR )
10 rexadd 10750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR )  ->  ( ( z D x ) + e ( z D y ) )  =  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
117, 9, 10syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( z D x ) + e ( z D y ) )  =  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
1211breq2d 4165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( x D y )  <_  ( (
z D x ) + e ( z D y ) )  <-> 
( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) ) )
1312ralbidva 2665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) + e ( z D y ) )  <->  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) ) )
1413anbi2d 685 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) )  <-> 
( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) )
15142ralbidva 2689 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  _V  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) )
16 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  _V  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR )
17 ressxr 9062 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  RR*
18 fss 5539 . . . . . . . 8  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR 
/\  RR  C_  RR* )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
1916, 17, 18sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  _V  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  ->  D : ( X  X.  X ) -->
RR* )
2019biantrurd 495 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  _V  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) )  <-> 
( D : ( X  X.  X ) -->
RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) ) )
2115, 20bitr3d 247 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) ) )
2221pm5.32da 623 . . . 4  |-  ( X  e.  _V  ->  (
( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) )  <-> 
( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) ) ) )
23 ancom 438 . . . 4  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR 
/\  ( D :
( X  X.  X
) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) )  <->  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) + e ( z D y ) ) ) )  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR ) )
2422, 23syl6bb 253 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (
( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) )  <-> 
( ( D :
( X  X.  X
) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) ) )  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR ) ) )
25 ismet 18262 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( D  e.  ( Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) ) )
26 isxmet 18263 . . . 4  |-  ( X  e.  _V  ->  ( D  e.  ( * Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) ) )
2726anbi1d 686 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (
( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  <->  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) + e ( z D y ) ) ) )  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR ) ) )
2824, 25, 273bitr4d 277 . 2  |-  ( X  e.  _V  ->  ( D  e.  ( Met `  X )  <->  ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR ) ) )
291, 3, 28pm5.21nii 343 1  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   _Vcvv 2899    C_ wss 3263   class class class wbr 4153    X. cxp 4816   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   RRcr 8922   0cc0 8923    + caddc 8926   RR*cxr 9052    <_ cle 9054   + ecxad 10640   * Metcxmt 16612   Metcme 16613
This theorem is referenced by:  metxmet  18273  metres2  18301  prdsmet  18308  imasf1omet  18314  xmetresbl  18357  stdbdmet  18436  isbndx  26182
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-mulcl 8985  ax-i2m1 8991
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-xadd 10643  df-xmet 16619  df-met 16620
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