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Theorem ismet2 17898
Description: An extended metric is a metric exactly when it takes real values for all values of the arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ismet2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR ) )

Proof of Theorem ismet2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5555 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  X  e.  _V )
2 elfvex 5555 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  _V )
32adantr 451 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  ->  X  e.  _V )
4 simpllr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR )
5 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  z  e.  X )
6 simplrl 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  x  e.  X )
7 fovrn 5990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR 
/\  z  e.  X  /\  x  e.  X
)  ->  ( z D x )  e.  RR )
84, 5, 6, 7syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
z D x )  e.  RR )
9 simplrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  y  e.  X )
10 fovrn 5990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR 
/\  z  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( z D y )  e.  RR )
114, 5, 9, 10syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
z D y )  e.  RR )
12 rexadd 10559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z D x )  e.  RR  /\  ( z D y )  e.  RR )  ->  ( ( z D x ) + e ( z D y ) )  =  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
138, 11, 12syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( z D x ) + e ( z D y ) )  =  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
1413breq2d 4035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. 
_V  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  /\  z  e.  X )  ->  (
( x D y )  <_  ( (
z D x ) + e ( z D y ) )  <-> 
( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) ) )
1514ralbidva 2559 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) + e ( z D y ) )  <->  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) ) )
1615anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  _V  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) )  <-> 
( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) )
17162ralbidva 2583 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  _V  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) )
18 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  _V  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR )
19 ressxr 8876 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  RR*
20 fss 5397 . . . . . . . 8  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR 
/\  RR  C_  RR* )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
2118, 19, 20sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  _V  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  ->  D : ( X  X.  X ) -->
RR* )
2221biantrurd 494 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  _V  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) )  <-> 
( D : ( X  X.  X ) -->
RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) ) )
2317, 22bitr3d 246 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  _V  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) ) )
2423pm5.32da 622 . . . 4  |-  ( X  e.  _V  ->  (
( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) )  <-> 
( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) ) ) )
25 ancom 437 . . . 4  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR 
/\  ( D :
( X  X.  X
) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) )  <->  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) + e ( z D y ) ) ) )  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR ) )
2624, 25syl6bb 252 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (
( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) )  <-> 
( ( D :
( X  X.  X
) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) + e ( z D y ) ) ) )  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR ) ) )
27 ismet 17888 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( D  e.  ( Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) ) )
28 isxmet 17889 . . . 4  |-  ( X  e.  _V  ->  ( D  e.  ( * Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) + e ( z D y ) ) ) ) ) )
2928anbi1d 685 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  (
( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR )  <->  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) + e ( z D y ) ) ) )  /\  D : ( X  X.  X ) --> RR ) ) )
3026, 27, 293bitr4d 276 . 2  |-  ( X  e.  _V  ->  ( D  e.  ( Met `  X )  <->  ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR ) ) )
311, 3, 30pm5.21nii 342 1  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  D :
( X  X.  X
) --> RR ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740   RR*cxr 8866    <_ cle 8868   + ecxad 10450   * Metcxmt 16369   Metcme 16370
This theorem is referenced by:  metxmet  17899  metres2  17927  prdsmet  17934  imasf1omet  17940  xmetresbl  17983  stdbdmet  18062  isbndx  26506
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-mulcl 8799  ax-i2m1 8805
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-xadd 10453  df-xmet 16373  df-met 16374
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