Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismet2 Unicode version

Theorem ismet2 17914
 Description: An extended metric is a metric exactly when it takes real values for all values of the arguments. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ismet2

Proof of Theorem ismet2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5571 . 2
2 elfvex 5571 . . 3
4 simpllr 735 . . . . . . . . . . . 12
5 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12
6 simplrl 736 . . . . . . . . . . . 12
7 fovrn 6006 . . . . . . . . . . . 12
84, 5, 6, 7syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11
9 simplrr 737 . . . . . . . . . . . 12
10 fovrn 6006 . . . . . . . . . . . 12
114, 5, 9, 10syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11
12 rexadd 10575 . . . . . . . . . . 11
138, 11, 12syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
1413breq2d 4051 . . . . . . . . 9
1514ralbidva 2572 . . . . . . . 8
1615anbi2d 684 . . . . . . 7
17162ralbidva 2596 . . . . . 6
18 simpr 447 . . . . . . . 8
19 ressxr 8892 . . . . . . . 8
20 fss 5413 . . . . . . . 8
2118, 19, 20sylancl 643 . . . . . . 7
2221biantrurd 494 . . . . . 6
2317, 22bitr3d 246 . . . . 5
2423pm5.32da 622 . . . 4
25 ancom 437 . . . 4
2624, 25syl6bb 252 . . 3
27 ismet 17904 . . 3
28 isxmet 17905 . . . 4
2928anbi1d 685 . . 3
3026, 27, 293bitr4d 276 . 2
311, 3, 30pm5.21nii 342 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  cvv 2801   wss 3165   class class class wbr 4039   cxp 4703  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cr 8752  cc0 8753   caddc 8756  cxr 8882   cle 8884  cxad 10466  cxmt 16385  cme 16386 This theorem is referenced by:  metxmet  17915  metres2  17943  prdsmet  17950  imasf1omet  17956  xmetresbl  17999  stdbdmet  18078  isbndx  26609 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-mulcl 8815  ax-i2m1 8821 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-xadd 10469  df-xmet 16389  df-met 16390
 Copyright terms: Public domain W3C validator