MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismeti Structured version   Unicode version

Theorem ismeti 18355
Description: Properties that determine a metric. (Contributed by NM, 17-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismeti.0  |-  X  e. 
_V
ismeti.1  |-  D :
( X  X.  X
) --> RR
ismeti.2  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y ) )
ismeti.3  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) )
Assertion
Ref Expression
ismeti  |-  D  e.  ( Met `  X
)
Distinct variable groups:    x, y,
z, D    x, X, y, z

Proof of Theorem ismeti
StepHypRef Expression
1 ismeti.1 . 2  |-  D :
( X  X.  X
) --> RR
2 ismeti.2 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y ) )
3 ismeti.3 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) )
433expa 1153 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  X )  ->  (
x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
54ralrimiva 2789 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) )
62, 5jca 519 . . 3  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x )  +  ( z D y ) ) ) )
76rgen2a 2772 . 2  |-  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x )  +  ( z D y ) ) )
8 ismeti.0 . . 3  |-  X  e. 
_V
9 ismet 18353 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( D  e.  ( Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) ) )
108, 9ax-mp 8 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  <->  ( D :
( X  X.  X
) --> RR  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x )  +  ( z D y ) ) ) ) )
111, 7, 10mpbir2an 887 1  |-  D  e.  ( Met `  X
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   _Vcvv 2956   class class class wbr 4212    X. cxp 4876   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990    + caddc 8993    <_ cle 9121   Metcme 16687
This theorem is referenced by:  0met  18396  cnmet  18806  imsmetlem  22182
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-map 7020  df-met 16696
  Copyright terms: Public domain W3C validator