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Theorem ismndd 14412
Description: Deduce a monoid from its properties. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismndd.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
ismndd.p  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  G ) )
ismndd.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( x  .+  y )  e.  B
)
ismndd.a  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
ismndd.z  |-  ( ph  ->  .0.  e.  B )
ismndd.i  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (  .0.  .+  x )  =  x )
ismndd.j  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  .+  .0.  )  =  x )
Assertion
Ref Expression
ismndd  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
Distinct variable groups:    x, y,
z, B    x, G, y, z    ph, x, y, z    x,  .0.
Allowed substitution hints:    .+ ( x, y, z)    .0. ( y, z)

Proof of Theorem ismndd
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismndd.c . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( x  .+  y )  e.  B
)
213adant3r3 1162 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  B )
3 ismndd.a . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
42, 3jca 518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( x  .+  y )  e.  B  /\  ( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) ) )
54ralrimivvva 2649 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .+  y )  e.  B  /\  ( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) ) )
6 ismndd.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
7 ismndd.p . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  G ) )
87oveqd 5891 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  .+  y
)  =  ( x ( +g  `  G
) y ) )
98, 6eleq12d 2364 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  .+  y )  e.  B  <->  ( x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
) ) )
10 eqidd 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  z  =  z )
117, 8, 10oveq123d 5895 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( ( x ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z ) )
12 eqidd 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  x  =  x )
137oveqd 5891 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  .+  z
)  =  ( y ( +g  `  G
) z ) )
147, 12, 13oveq123d 5895 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  .+  (
y  .+  z )
)  =  ( x ( +g  `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
1511, 14eqeq12d 2310 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( x 
.+  y )  .+  z )  =  ( x  .+  ( y 
.+  z ) )  <-> 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( x ( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) z ) ) ) )
169, 15anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( x 
.+  y )  e.  B  /\  ( ( x  .+  y ) 
.+  z )  =  ( x  .+  (
y  .+  z )
) )  <->  ( (
x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( (
x ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( x ( +g  `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) ) ) ) )
176, 16raleqbidv 2761 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  B  ( ( x 
.+  y )  e.  B  /\  ( ( x  .+  y ) 
.+  z )  =  ( x  .+  (
y  .+  z )
) )  <->  A. z  e.  ( Base `  G
) ( ( x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( (
x ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( x ( +g  `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) ) ) ) )
186, 17raleqbidv 2761 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x 
.+  y )  e.  B  /\  ( ( x  .+  y ) 
.+  z )  =  ( x  .+  (
y  .+  z )
) )  <->  A. y  e.  ( Base `  G
) A. z  e.  ( Base `  G
) ( ( x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( (
x ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( x ( +g  `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) ) ) ) )
196, 18raleqbidv 2761 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x 
.+  y )  e.  B  /\  ( ( x  .+  y ) 
.+  z )  =  ( x  .+  (
y  .+  z )
) )  <->  A. x  e.  ( Base `  G
) A. y  e.  ( Base `  G
) A. z  e.  ( Base `  G
) ( ( x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( (
x ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( x ( +g  `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) ) ) ) )
205, 19mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) A. z  e.  ( Base `  G ) ( ( x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( (
x ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( x ( +g  `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) ) ) )
21 ismndd.z . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  B )
2221, 6eleqtrd 2372 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( Base `  G ) )
236eleq2d 2363 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  ( Base `  G
) ) )
2423biimpar 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  G )
)  ->  x  e.  B )
257adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  .+  =  ( +g  `  G ) )
2625oveqd 5891 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (  .0.  .+  x )  =  (  .0.  ( +g  `  G ) x ) )
27 ismndd.i . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (  .0.  .+  x )  =  x )
2826, 27eqtr3d 2330 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (  .0.  ( +g  `  G
) x )  =  x )
2925oveqd 5891 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  .+  .0.  )  =  ( x ( +g  `  G )  .0.  ) )
30 ismndd.j . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  .+  .0.  )  =  x )
3129, 30eqtr3d 2330 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x ( +g  `  G
)  .0.  )  =  x )
3228, 31jca 518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
(  .0.  ( +g  `  G ) x )  =  x  /\  (
x ( +g  `  G
)  .0.  )  =  x ) )
3324, 32syldan 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( (  .0.  ( +g  `  G
) x )  =  x  /\  ( x ( +g  `  G
)  .0.  )  =  x ) )
3433ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  G )
( (  .0.  ( +g  `  G ) x )  =  x  /\  ( x ( +g  `  G )  .0.  )  =  x ) )
35 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( u  =  .0.  ->  (
u ( +g  `  G
) x )  =  (  .0.  ( +g  `  G ) x ) )
3635eqeq1d 2304 . . . . . 6  |-  ( u  =  .0.  ->  (
( u ( +g  `  G ) x )  =  x  <->  (  .0.  ( +g  `  G ) x )  =  x ) )
37 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( u  =  .0.  ->  (
x ( +g  `  G
) u )  =  ( x ( +g  `  G )  .0.  )
)
3837eqeq1d 2304 . . . . . 6  |-  ( u  =  .0.  ->  (
( x ( +g  `  G ) u )  =  x  <->  ( x
( +g  `  G )  .0.  )  =  x ) )
3936, 38anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( u  =  .0.  ->  (
( ( u ( +g  `  G ) x )  =  x  /\  ( x ( +g  `  G ) u )  =  x )  <->  ( (  .0.  ( +g  `  G
) x )  =  x  /\  ( x ( +g  `  G
)  .0.  )  =  x ) ) )
4039ralbidv 2576 . . . 4  |-  ( u  =  .0.  ->  ( A. x  e.  ( Base `  G ) ( ( u ( +g  `  G ) x )  =  x  /\  (
x ( +g  `  G
) u )  =  x )  <->  A. x  e.  ( Base `  G
) ( (  .0.  ( +g  `  G
) x )  =  x  /\  ( x ( +g  `  G
)  .0.  )  =  x ) ) )
4140rspcev 2897 . . 3  |-  ( (  .0.  e.  ( Base `  G )  /\  A. x  e.  ( Base `  G ) ( (  .0.  ( +g  `  G
) x )  =  x  /\  ( x ( +g  `  G
)  .0.  )  =  x ) )  ->  E. u  e.  ( Base `  G ) A. x  e.  ( Base `  G ) ( ( u ( +g  `  G
) x )  =  x  /\  ( x ( +g  `  G
) u )  =  x ) )
4222, 34, 41syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  E. u  e.  (
Base `  G ) A. x  e.  ( Base `  G ) ( ( u ( +g  `  G ) x )  =  x  /\  (
x ( +g  `  G
) u )  =  x ) )
43 eqid 2296 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
44 eqid 2296 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4543, 44ismnd 14385 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  <->  ( A. x  e.  ( Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G
) A. z  e.  ( Base `  G
) ( ( x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( (
x ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( x ( +g  `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) ) )  /\  E. u  e.  ( Base `  G
) A. x  e.  ( Base `  G
) ( ( u ( +g  `  G
) x )  =  x  /\  ( x ( +g  `  G
) u )  =  x ) ) )
4620, 42, 45sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   Mndcmnd 14377
This theorem is referenced by:  issubmnd  14417  prdsmndd  14421  imasmnd2  14425  frmdmnd  14497  isgrpde  14522  oppgmnd  14843  isrngd  15391  iscrngd  15392  xrsmcmn  16413  xrs1mnd  16425
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-nul 4165  ax-pow 4204
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-iota 5235  df-fv 5279  df-ov 5877  df-mnd 14383
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