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Theorem ismndd 14396
Description: Deduce a monoid from its properties. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ismndd.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
ismndd.p  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  G ) )
ismndd.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( x  .+  y )  e.  B
)
ismndd.a  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
ismndd.z  |-  ( ph  ->  .0.  e.  B )
ismndd.i  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (  .0.  .+  x )  =  x )
ismndd.j  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  .+  .0.  )  =  x )
Assertion
Ref Expression
ismndd  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
Distinct variable groups:    x, y,
z, B    x, G, y, z    ph, x, y, z    x,  .0.
Allowed substitution hints:    .+ ( x, y, z)    .0. ( y, z)

Proof of Theorem ismndd
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismndd.c . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( x  .+  y )  e.  B
)
213adant3r3 1162 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  B )
3 ismndd.a . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) )
42, 3jca 518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( x  .+  y )  e.  B  /\  ( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) ) )
54ralrimivvva 2636 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x  .+  y )  e.  B  /\  ( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) ) )
6 ismndd.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  G ) )
7 ismndd.p . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  G ) )
87oveqd 5875 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  .+  y
)  =  ( x ( +g  `  G
) y ) )
98, 6eleq12d 2351 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  .+  y )  e.  B  <->  ( x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
) ) )
10 eqidd 2284 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  z  =  z )
117, 8, 10oveq123d 5879 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  .+  y )  .+  z
)  =  ( ( x ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z ) )
12 eqidd 2284 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  x  =  x )
137oveqd 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  .+  z
)  =  ( y ( +g  `  G
) z ) )
147, 12, 13oveq123d 5879 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  .+  (
y  .+  z )
)  =  ( x ( +g  `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
1511, 14eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( x 
.+  y )  .+  z )  =  ( x  .+  ( y 
.+  z ) )  <-> 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( x ( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) z ) ) ) )
169, 15anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( x 
.+  y )  e.  B  /\  ( ( x  .+  y ) 
.+  z )  =  ( x  .+  (
y  .+  z )
) )  <->  ( (
x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( (
x ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( x ( +g  `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) ) ) ) )
176, 16raleqbidv 2748 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  B  ( ( x 
.+  y )  e.  B  /\  ( ( x  .+  y ) 
.+  z )  =  ( x  .+  (
y  .+  z )
) )  <->  A. z  e.  ( Base `  G
) ( ( x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( (
x ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( x ( +g  `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) ) ) ) )
186, 17raleqbidv 2748 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x 
.+  y )  e.  B  /\  ( ( x  .+  y ) 
.+  z )  =  ( x  .+  (
y  .+  z )
) )  <->  A. y  e.  ( Base `  G
) A. z  e.  ( Base `  G
) ( ( x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( (
x ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( x ( +g  `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) ) ) ) )
196, 18raleqbidv 2748 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( x 
.+  y )  e.  B  /\  ( ( x  .+  y ) 
.+  z )  =  ( x  .+  (
y  .+  z )
) )  <->  A. x  e.  ( Base `  G
) A. y  e.  ( Base `  G
) A. z  e.  ( Base `  G
) ( ( x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( (
x ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( x ( +g  `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) ) ) ) )
205, 19mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) A. z  e.  ( Base `  G ) ( ( x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( (
x ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( x ( +g  `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) ) ) )
21 ismndd.z . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  B )
2221, 6eleqtrd 2359 . . 3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( Base `  G ) )
236eleq2d 2350 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  ( Base `  G
) ) )
2423biimpar 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  G )
)  ->  x  e.  B )
257adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  .+  =  ( +g  `  G ) )
2625oveqd 5875 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (  .0.  .+  x )  =  (  .0.  ( +g  `  G ) x ) )
27 ismndd.i . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (  .0.  .+  x )  =  x )
2826, 27eqtr3d 2317 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (  .0.  ( +g  `  G
) x )  =  x )
2925oveqd 5875 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  .+  .0.  )  =  ( x ( +g  `  G )  .0.  ) )
30 ismndd.j . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  .+  .0.  )  =  x )
3129, 30eqtr3d 2317 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x ( +g  `  G
)  .0.  )  =  x )
3228, 31jca 518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
(  .0.  ( +g  `  G ) x )  =  x  /\  (
x ( +g  `  G
)  .0.  )  =  x ) )
3324, 32syldan 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( (  .0.  ( +g  `  G
) x )  =  x  /\  ( x ( +g  `  G
)  .0.  )  =  x ) )
3433ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  G )
( (  .0.  ( +g  `  G ) x )  =  x  /\  ( x ( +g  `  G )  .0.  )  =  x ) )
35 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( u  =  .0.  ->  (
u ( +g  `  G
) x )  =  (  .0.  ( +g  `  G ) x ) )
3635eqeq1d 2291 . . . . . 6  |-  ( u  =  .0.  ->  (
( u ( +g  `  G ) x )  =  x  <->  (  .0.  ( +g  `  G ) x )  =  x ) )
37 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( u  =  .0.  ->  (
x ( +g  `  G
) u )  =  ( x ( +g  `  G )  .0.  )
)
3837eqeq1d 2291 . . . . . 6  |-  ( u  =  .0.  ->  (
( x ( +g  `  G ) u )  =  x  <->  ( x
( +g  `  G )  .0.  )  =  x ) )
3936, 38anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( u  =  .0.  ->  (
( ( u ( +g  `  G ) x )  =  x  /\  ( x ( +g  `  G ) u )  =  x )  <->  ( (  .0.  ( +g  `  G
) x )  =  x  /\  ( x ( +g  `  G
)  .0.  )  =  x ) ) )
4039ralbidv 2563 . . . 4  |-  ( u  =  .0.  ->  ( A. x  e.  ( Base `  G ) ( ( u ( +g  `  G ) x )  =  x  /\  (
x ( +g  `  G
) u )  =  x )  <->  A. x  e.  ( Base `  G
) ( (  .0.  ( +g  `  G
) x )  =  x  /\  ( x ( +g  `  G
)  .0.  )  =  x ) ) )
4140rspcev 2884 . . 3  |-  ( (  .0.  e.  ( Base `  G )  /\  A. x  e.  ( Base `  G ) ( (  .0.  ( +g  `  G
) x )  =  x  /\  ( x ( +g  `  G
)  .0.  )  =  x ) )  ->  E. u  e.  ( Base `  G ) A. x  e.  ( Base `  G ) ( ( u ( +g  `  G
) x )  =  x  /\  ( x ( +g  `  G
) u )  =  x ) )
4222, 34, 41syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  E. u  e.  (
Base `  G ) A. x  e.  ( Base `  G ) ( ( u ( +g  `  G ) x )  =  x  /\  (
x ( +g  `  G
) u )  =  x ) )
43 eqid 2283 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
44 eqid 2283 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4543, 44ismnd 14369 . 2  |-  ( G  e.  Mnd  <->  ( A. x  e.  ( Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G
) A. z  e.  ( Base `  G
) ( ( x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( (
x ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( x ( +g  `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) ) )  /\  E. u  e.  ( Base `  G
) A. x  e.  ( Base `  G
) ( ( u ( +g  `  G
) x )  =  x  /\  ( x ( +g  `  G
) u )  =  x ) ) )
4620, 42, 45sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   Mndcmnd 14361
This theorem is referenced by:  issubmnd  14401  prdsmndd  14405  imasmnd2  14409  frmdmnd  14481  isgrpde  14506  oppgmnd  14827  isrngd  15375  iscrngd  15376  xrsmcmn  16397  xrs1mnd  16409
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-nul 4149  ax-pow 4188
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-iota 5219  df-fv 5263  df-ov 5861  df-mnd 14367
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