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Theorem ismndo1 21027
Description: The predicate "is a monoid". (Contributed by FL, 2-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ismndo1.1  |-  X  =  dom  dom  G
Assertion
Ref Expression
ismndo1  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e. MndOp  <->  ( G :
( X  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, G, y, z    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem ismndo1
StepHypRef Expression
1 ismndo1.1 . . 3  |-  X  =  dom  dom  G
21ismndo 21026 . 2  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e. MndOp  <->  ( G  e.  SemiGrp 
/\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) )
31smgrpmgm 21018 . . . . 5  |-  ( G  e.  SemiGrp  ->  G : ( X  X.  X ) --> X )
43ad2antrl 708 . . . 4  |-  ( ( G  e.  A  /\  ( G  e.  SemiGrp  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) )  ->  G : ( X  X.  X ) --> X )
51smgrpass 21019 . . . . 5  |-  ( G  e.  SemiGrp  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
65ad2antrl 708 . . . 4  |-  ( ( G  e.  A  /\  ( G  e.  SemiGrp  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) )
7 simprr 733 . . . 4  |-  ( ( G  e.  A  /\  ( G  e.  SemiGrp  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) )  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x G y )  =  y  /\  (
y G x )  =  y ) )
84, 6, 73jca 1132 . . 3  |-  ( ( G  e.  A  /\  ( G  e.  SemiGrp  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) )  ->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) )
9 3simpa 952 . . . . . 6  |-  ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) )  -> 
( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
101issmgrp 21017 . . . . . 6  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e.  SemiGrp  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) ) )
119, 10syl5ibr 212 . . . . 5  |-  ( G  e.  A  ->  (
( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x G y )  =  y  /\  (
y G x )  =  y ) )  ->  G  e.  SemiGrp ) )
1211imp 418 . . . 4  |-  ( ( G  e.  A  /\  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) )  ->  G  e.  SemiGrp )
13 simpr3 963 . . . 4  |-  ( ( G  e.  A  /\  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) )  ->  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) )
1412, 13jca 518 . . 3  |-  ( ( G  e.  A  /\  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) )  ->  ( G  e.  SemiGrp 
/\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) )
158, 14impbida 805 . 2  |-  ( G  e.  A  ->  (
( G  e.  SemiGrp  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) )  <->  ( G :
( X  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) )
162, 15bitrd 244 1  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e. MndOp  <->  ( G :
( X  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    X. cxp 4703   dom cdm 4705   -->wf 5267  (class class class)co 5874   SemiGrpcsem 21013  MndOpcmndo 21020
This theorem is referenced by:  ismndo2  21028  rngomndo  21104
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-ass 20996  df-exid 20998  df-mgm 21002  df-sgr 21014  df-mndo 21021
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