MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismndo2 Unicode version

Theorem ismndo2 21782
Description: The predicate "is a monoid". (Contributed by FL, 2-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ismndo2.1  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
ismndo2  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e. MndOp  <->  ( G :
( X  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, G, y, z    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem ismndo2
StepHypRef Expression
1 ismndo2.1 . . . 4  |-  X  =  ran  G
2 mndomgmid 21779 . . . . 5  |-  ( G  e. MndOp  ->  G  e.  (
Magma  i^i  ExId  ) )
3 rngopid 21760 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( Magma  i^i  ExId  )  ->  ran  G  =  dom  dom  G )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( G  e. MndOp  ->  ran  G  =  dom  dom  G )
51, 4syl5eq 2432 . . 3  |-  ( G  e. MndOp  ->  X  =  dom  dom 
G )
65a1i 11 . 2  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e. MndOp  ->  X  =  dom  dom  G )
)
7 fdm 5536 . . . . . 6  |-  ( G : ( X  X.  X ) --> X  ->  dom  G  =  ( X  X.  X ) )
87dmeqd 5013 . . . . 5  |-  ( G : ( X  X.  X ) --> X  ->  dom  dom  G  =  dom  ( X  X.  X
) )
9 dmxpid 5030 . . . . 5  |-  dom  ( X  X.  X )  =  X
108, 9syl6req 2437 . . . 4  |-  ( G : ( X  X.  X ) --> X  ->  X  =  dom  dom  G
)
11103ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) )  ->  X  =  dom  dom  G
)
1211a1i 11 . 2  |-  ( G  e.  A  ->  (
( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x G y )  =  y  /\  (
y G x )  =  y ) )  ->  X  =  dom  dom 
G ) )
13 eqid 2388 . . . 4  |-  dom  dom  G  =  dom  dom  G
1413ismndo1 21781 . . 3  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e. MndOp  <->  ( G :
( dom  dom  G  X.  dom  dom  G ) --> dom 
dom  G  /\  A. x  e.  dom  dom  G A. y  e.  dom  dom  G A. z  e.  dom  dom 
G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e. 
dom  dom  G A. y  e.  dom  dom  G (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) )
15 xpid11 5032 . . . . . . 7  |-  ( ( X  X.  X )  =  ( dom  dom  G  X.  dom  dom  G
)  <->  X  =  dom  dom 
G )
1615biimpri 198 . . . . . 6  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( X  X.  X
)  =  ( dom 
dom  G  X.  dom  dom  G ) )
17 feq23 5520 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  X.  X
)  =  ( dom 
dom  G  X.  dom  dom  G )  /\  X  =  dom  dom  G )  ->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  <->  G : ( dom 
dom  G  X.  dom  dom  G ) --> dom  dom  G ) )
1816, 17mpancom 651 . . . . 5  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  <->  G : ( dom 
dom  G  X.  dom  dom  G ) --> dom  dom  G ) )
19 raleq 2848 . . . . . . 7  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. z  e.  dom  dom 
G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
2019raleqbi1dv 2856 . . . . . 6  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. y  e.  dom  dom 
G A. z  e. 
dom  dom  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
2120raleqbi1dv 2856 . . . . 5  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. x  e.  dom  dom 
G A. y  e. 
dom  dom  G A. z  e.  dom  dom  G (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
22 raleq 2848 . . . . . 6  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( A. y  e.  X  ( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y )  <->  A. y  e.  dom  dom  G (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) )
2322rexeqbi1dv 2857 . . . . 5  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y )  <->  E. x  e.  dom  dom  G A. y  e.  dom  dom  G
( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) )
2418, 21, 233anbi123d 1254 . . . 4  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( ( G :
( X  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) )  <->  ( G :
( dom  dom  G  X.  dom  dom  G ) --> dom 
dom  G  /\  A. x  e.  dom  dom  G A. y  e.  dom  dom  G A. z  e.  dom  dom 
G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e. 
dom  dom  G A. y  e.  dom  dom  G (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) )
2524bibi2d 310 . . 3  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( ( G  e. MndOp  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) )  <-> 
( G  e. MndOp  <->  ( G : ( dom  dom  G  X.  dom  dom  G
) --> dom  dom  G  /\  A. x  e.  dom  dom  G A. y  e.  dom  dom 
G A. z  e. 
dom  dom  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  dom  dom  G A. y  e.  dom  dom  G
( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) ) )
2614, 25syl5ibrcom 214 . 2  |-  ( G  e.  A  ->  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( G  e. MndOp  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) ) )
276, 12, 26pm5.21ndd 344 1  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e. MndOp  <->  ( G :
( X  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   E.wrex 2651    i^i cin 3263    X. cxp 4817   dom cdm 4819   ran crn 4820   -->wf 5391  (class class class)co 6021    ExId cexid 21751   Magmacmagm 21755  MndOpcmndo 21774
This theorem is referenced by:  grpomndo  21783
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-fo 5401  df-fv 5403  df-ov 6024  df-ass 21750  df-exid 21752  df-mgm 21756  df-sgr 21768  df-mndo 21775
  Copyright terms: Public domain W3C validator