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Theorem ismndo2 21925
Description: The predicate "is a monoid". (Contributed by FL, 2-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ismndo2.1  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
ismndo2  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e. MndOp  <->  ( G :
( X  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, G, y, z    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem ismndo2
StepHypRef Expression
1 ismndo2.1 . . . 4  |-  X  =  ran  G
2 mndomgmid 21922 . . . . 5  |-  ( G  e. MndOp  ->  G  e.  (
Magma  i^i  ExId  ) )
3 rngopid 21903 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( Magma  i^i  ExId  )  ->  ran  G  =  dom  dom  G )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( G  e. MndOp  ->  ran  G  =  dom  dom  G )
51, 4syl5eq 2479 . . 3  |-  ( G  e. MndOp  ->  X  =  dom  dom 
G )
65a1i 11 . 2  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e. MndOp  ->  X  =  dom  dom  G )
)
7 fdm 5587 . . . . . 6  |-  ( G : ( X  X.  X ) --> X  ->  dom  G  =  ( X  X.  X ) )
87dmeqd 5064 . . . . 5  |-  ( G : ( X  X.  X ) --> X  ->  dom  dom  G  =  dom  ( X  X.  X
) )
9 dmxpid 5081 . . . . 5  |-  dom  ( X  X.  X )  =  X
108, 9syl6req 2484 . . . 4  |-  ( G : ( X  X.  X ) --> X  ->  X  =  dom  dom  G
)
11103ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) )  ->  X  =  dom  dom  G
)
1211a1i 11 . 2  |-  ( G  e.  A  ->  (
( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x G y )  =  y  /\  (
y G x )  =  y ) )  ->  X  =  dom  dom 
G ) )
13 eqid 2435 . . . 4  |-  dom  dom  G  =  dom  dom  G
1413ismndo1 21924 . . 3  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e. MndOp  <->  ( G :
( dom  dom  G  X.  dom  dom  G ) --> dom 
dom  G  /\  A. x  e.  dom  dom  G A. y  e.  dom  dom  G A. z  e.  dom  dom 
G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e. 
dom  dom  G A. y  e.  dom  dom  G (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) )
15 xpid11 5083 . . . . . . 7  |-  ( ( X  X.  X )  =  ( dom  dom  G  X.  dom  dom  G
)  <->  X  =  dom  dom 
G )
1615biimpri 198 . . . . . 6  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( X  X.  X
)  =  ( dom 
dom  G  X.  dom  dom  G ) )
17 feq23 5571 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  X.  X
)  =  ( dom 
dom  G  X.  dom  dom  G )  /\  X  =  dom  dom  G )  ->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  <->  G : ( dom 
dom  G  X.  dom  dom  G ) --> dom  dom  G ) )
1816, 17mpancom 651 . . . . 5  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  <->  G : ( dom 
dom  G  X.  dom  dom  G ) --> dom  dom  G ) )
19 raleq 2896 . . . . . . 7  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. z  e.  dom  dom 
G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
2019raleqbi1dv 2904 . . . . . 6  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. y  e.  dom  dom 
G A. z  e. 
dom  dom  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
2120raleqbi1dv 2904 . . . . 5  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. x  e.  dom  dom 
G A. y  e. 
dom  dom  G A. z  e.  dom  dom  G (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
22 raleq 2896 . . . . . 6  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( A. y  e.  X  ( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y )  <->  A. y  e.  dom  dom  G (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) )
2322rexeqbi1dv 2905 . . . . 5  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y )  <->  E. x  e.  dom  dom  G A. y  e.  dom  dom  G
( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) )
2418, 21, 233anbi123d 1254 . . . 4  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( ( G :
( X  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) )  <->  ( G :
( dom  dom  G  X.  dom  dom  G ) --> dom 
dom  G  /\  A. x  e.  dom  dom  G A. y  e.  dom  dom  G A. z  e.  dom  dom 
G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e. 
dom  dom  G A. y  e.  dom  dom  G (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) )
2524bibi2d 310 . . 3  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( ( G  e. MndOp  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) )  <-> 
( G  e. MndOp  <->  ( G : ( dom  dom  G  X.  dom  dom  G
) --> dom  dom  G  /\  A. x  e.  dom  dom  G A. y  e.  dom  dom 
G A. z  e. 
dom  dom  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  dom  dom  G A. y  e.  dom  dom  G
( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) ) )
2614, 25syl5ibrcom 214 . 2  |-  ( G  e.  A  ->  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( G  e. MndOp  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) ) )
276, 12, 26pm5.21ndd 344 1  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e. MndOp  <->  ( G :
( X  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    i^i cin 3311    X. cxp 4868   dom cdm 4870   ran crn 4871   -->wf 5442  (class class class)co 6073    ExId cexid 21894   Magmacmagm 21898  MndOpcmndo 21917
This theorem is referenced by:  grpomndo  21926
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fo 5452  df-fv 5454  df-ov 6076  df-ass 21893  df-exid 21895  df-mgm 21899  df-sgr 21911  df-mndo 21918
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