MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismndo2 Unicode version

Theorem ismndo2 21012
Description: The predicate "is a monoid". (Contributed by FL, 2-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ismndo2.1  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
ismndo2  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e. MndOp  <->  ( G :
( X  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, G, y, z    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem ismndo2
StepHypRef Expression
1 ismndo2.1 . . . 4  |-  X  =  ran  G
2 mndomgmid 21009 . . . . 5  |-  ( G  e. MndOp  ->  G  e.  (
Magma  i^i  ExId  ) )
3 rngopid 20990 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( Magma  i^i  ExId  )  ->  ran  G  =  dom  dom  G )
42, 3syl 15 . . . 4  |-  ( G  e. MndOp  ->  ran  G  =  dom  dom  G )
51, 4syl5eq 2327 . . 3  |-  ( G  e. MndOp  ->  X  =  dom  dom 
G )
65a1i 10 . 2  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e. MndOp  ->  X  =  dom  dom  G )
)
7 fdm 5393 . . . . . 6  |-  ( G : ( X  X.  X ) --> X  ->  dom  G  =  ( X  X.  X ) )
87dmeqd 4881 . . . . 5  |-  ( G : ( X  X.  X ) --> X  ->  dom  dom  G  =  dom  ( X  X.  X
) )
9 dmxpid 4898 . . . . 5  |-  dom  ( X  X.  X )  =  X
108, 9syl6req 2332 . . . 4  |-  ( G : ( X  X.  X ) --> X  ->  X  =  dom  dom  G
)
11103ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) )  ->  X  =  dom  dom  G
)
1211a1i 10 . 2  |-  ( G  e.  A  ->  (
( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( (
x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
x G y )  =  y  /\  (
y G x )  =  y ) )  ->  X  =  dom  dom 
G ) )
13 eqid 2283 . . . 4  |-  dom  dom  G  =  dom  dom  G
1413ismndo1 21011 . . 3  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e. MndOp  <->  ( G :
( dom  dom  G  X.  dom  dom  G ) --> dom 
dom  G  /\  A. x  e.  dom  dom  G A. y  e.  dom  dom  G A. z  e.  dom  dom 
G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e. 
dom  dom  G A. y  e.  dom  dom  G (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) )
15 xpid11 4900 . . . . . . 7  |-  ( ( X  X.  X )  =  ( dom  dom  G  X.  dom  dom  G
)  <->  X  =  dom  dom 
G )
1615biimpri 197 . . . . . 6  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( X  X.  X
)  =  ( dom 
dom  G  X.  dom  dom  G ) )
17 feq23 5378 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  X.  X
)  =  ( dom 
dom  G  X.  dom  dom  G )  /\  X  =  dom  dom  G )  ->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  <->  G : ( dom 
dom  G  X.  dom  dom  G ) --> dom  dom  G ) )
1816, 17mpancom 650 . . . . 5  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  <->  G : ( dom 
dom  G  X.  dom  dom  G ) --> dom  dom  G ) )
19 raleq 2736 . . . . . . 7  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. z  e.  dom  dom 
G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
2019raleqbi1dv 2744 . . . . . 6  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. y  e.  dom  dom 
G A. z  e. 
dom  dom  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
2120raleqbi1dv 2744 . . . . 5  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  <->  A. x  e.  dom  dom 
G A. y  e. 
dom  dom  G A. z  e.  dom  dom  G (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) ) ) )
22 raleq 2736 . . . . . 6  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( A. y  e.  X  ( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y )  <->  A. y  e.  dom  dom  G (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) )
2322rexeqbi1dv 2745 . . . . 5  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y )  <->  E. x  e.  dom  dom  G A. y  e.  dom  dom  G
( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) )
2418, 21, 233anbi123d 1252 . . . 4  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( ( G :
( X  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) )  <->  ( G :
( dom  dom  G  X.  dom  dom  G ) --> dom 
dom  G  /\  A. x  e.  dom  dom  G A. y  e.  dom  dom  G A. z  e.  dom  dom 
G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e. 
dom  dom  G A. y  e.  dom  dom  G (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) )
2524bibi2d 309 . . 3  |-  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( ( G  e. MndOp  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) )  <-> 
( G  e. MndOp  <->  ( G : ( dom  dom  G  X.  dom  dom  G
) --> dom  dom  G  /\  A. x  e.  dom  dom  G A. y  e.  dom  dom 
G A. z  e. 
dom  dom  G ( ( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  dom  dom  G A. y  e.  dom  dom  G
( ( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) ) )
2614, 25syl5ibrcom 213 . 2  |-  ( G  e.  A  ->  ( X  =  dom  dom  G  ->  ( G  e. MndOp  <->  ( G : ( X  X.  X ) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) ) )
276, 12, 26pm5.21ndd 343 1  |-  ( G  e.  A  ->  ( G  e. MndOp  <->  ( G :
( X  X.  X
) --> X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  (
( x G y ) G z )  =  ( x G ( y G z ) )  /\  E. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( x G y )  =  y  /\  ( y G x )  =  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690   -->wf 5251  (class class class)co 5858    ExId cexid 20981   Magmacmagm 20985  MndOpcmndo 21004
This theorem is referenced by:  grpomndo  21013  mndoid  25357  mndoio  25358  mndoass  25359
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fo 5261  df-fv 5263  df-ov 5861  df-ass 20980  df-exid 20982  df-mgm 20986  df-sgr 20998  df-mndo 21005
  Copyright terms: Public domain W3C validator