Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismndo2 Structured version   Unicode version

Theorem ismndo2 21925
 Description: The predicate "is a monoid". (Contributed by FL, 2-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ismndo2.1
Assertion
Ref Expression
ismndo2 MndOp
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)

Proof of Theorem ismndo2
StepHypRef Expression
1 ismndo2.1 . . . 4
2 mndomgmid 21922 . . . . 5 MndOp
3 rngopid 21903 . . . . 5
42, 3syl 16 . . . 4 MndOp
51, 4syl5eq 2479 . . 3 MndOp
65a1i 11 . 2 MndOp
7 fdm 5587 . . . . . 6
87dmeqd 5064 . . . . 5
9 dmxpid 5081 . . . . 5
108, 9syl6req 2484 . . . 4
1211a1i 11 . 2
13 eqid 2435 . . . 4
1413ismndo1 21924 . . 3 MndOp
15 xpid11 5083 . . . . . . 7
1615biimpri 198 . . . . . 6
17 feq23 5571 . . . . . 6
1816, 17mpancom 651 . . . . 5
19 raleq 2896 . . . . . . 7
2019raleqbi1dv 2904 . . . . . 6
2120raleqbi1dv 2904 . . . . 5
22 raleq 2896 . . . . . 6
2322rexeqbi1dv 2905 . . . . 5
2418, 21, 233anbi123d 1254 . . . 4
2524bibi2d 310 . . 3 MndOp MndOp
2614, 25syl5ibrcom 214 . 2 MndOp
276, 12, 26pm5.21ndd 344 1 MndOp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698   cin 3311   cxp 4868   cdm 4870   crn 4871  wf 5442  (class class class)co 6073   cexid 21894  cmagm 21898  MndOpcmndo 21917 This theorem is referenced by:  grpomndo  21926 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fo 5452  df-fv 5454  df-ov 6076  df-ass 21893  df-exid 21895  df-mgm 21899  df-sgr 21911  df-mndo 21918
 Copyright terms: Public domain W3C validator