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Theorem ismon2 13686
Description: Write out the monomorphism property directly. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ismon.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
ismon.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
ismon.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
ismon.s  |-  M  =  (Mono `  C )
ismon.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
ismon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
ismon.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
ismon2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X M Y )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  A. g  e.  ( z H X ) A. h  e.  ( z H X ) ( ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) h )  ->  g  =  h ) ) ) )
Distinct variable groups:    g, h, z, B    ph, g, h, z    C, g, h, z   
g, H, h, z    .x. , g, h, z    g, F, h, z    g, X, h, z    g, Y, h, z
Allowed substitution hints:    M( z, g, h)

Proof of Theorem ismon2
StepHypRef Expression
1 ismon.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 ismon.h . . 3  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
3 ismon.o . . 3  |-  .x.  =  (comp `  C )
4 ismon.s . . 3  |-  M  =  (Mono `  C )
5 ismon.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
6 ismon.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
7 ismon.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ismon 13685 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X M Y )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g ) ) ) ) )
95ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( z H X ) ) )  ->  C  e.  Cat )
10 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( z H X ) ) )  ->  z  e.  B
)
116ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( z H X ) ) )  ->  X  e.  B
)
127ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( z H X ) ) )  ->  Y  e.  B
)
13 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( z H X ) ) )  ->  g  e.  ( z H X ) )
14 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( z H X ) ) )  ->  F  e.  ( X H Y ) )
151, 2, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14catcocl 13636 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  g  e.  ( z H X ) ) )  ->  ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g )  e.  ( z H Y ) )
1615anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  z  e.  B )  /\  g  e.  (
z H X ) )  ->  ( F
( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  e.  ( z H Y ) )
1716ralrimiva 2660 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  z  e.  B )  ->  A. g  e.  ( z H X ) ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g )  e.  ( z H Y ) )
18 eqid 2316 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g ) )  =  ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g ) )
1918fmpt 5719 . . . . . . 7  |-  ( A. g  e.  ( z H X ) ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  e.  ( z H Y )  <->  ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g ) ) : ( z H X ) --> ( z H Y ) )
20 df-f1 5297 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g ) ) : ( z H X ) -1-1-> ( z H Y )  <->  ( (
g  e.  ( z H X )  |->  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g ) ) : ( z H X ) --> ( z H Y )  /\  Fun  `' ( g  e.  ( z H X ) 
|->  ( F ( <.
z ,  X >.  .x. 
Y ) g ) ) ) )
2120baib 871 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g ) ) : ( z H X ) --> ( z H Y )  ->  (
( g  e.  ( z H X ) 
|->  ( F ( <.
z ,  X >.  .x. 
Y ) g ) ) : ( z H X ) -1-1-> ( z H Y )  <->  Fun  `' ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g ) ) ) )
2219, 21sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( A. g  e.  ( z H X ) ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  e.  ( z H Y )  -> 
( ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g ) ) : ( z H X ) -1-1-> ( z H Y )  <->  Fun  `' ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g ) ) ) )
23 oveq2 5908 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  h  ->  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) h ) )
2418, 23f1mpt 5827 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g ) ) : ( z H X ) -1-1-> ( z H Y )  <->  ( A. g  e.  ( z H X ) ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  e.  ( z H Y )  /\  A. g  e.  ( z H X ) A. h  e.  ( z H X ) ( ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) h )  ->  g  =  h ) ) )
2524baib 871 . . . . . 6  |-  ( A. g  e.  ( z H X ) ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  e.  ( z H Y )  -> 
( ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g ) ) : ( z H X ) -1-1-> ( z H Y )  <->  A. g  e.  (
z H X ) A. h  e.  ( z H X ) ( ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g )  =  ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) h )  ->  g  =  h ) ) )
2622, 25bitr3d 246 . . . . 5  |-  ( A. g  e.  ( z H X ) ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  e.  ( z H Y )  -> 
( Fun  `' (
g  e.  ( z H X )  |->  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g ) )  <->  A. g  e.  ( z H X ) A. h  e.  ( z H X ) ( ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) h )  ->  g  =  h ) ) )
2717, 26syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  /\  z  e.  B )  ->  ( Fun  `' ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g ) )  <->  A. g  e.  ( z H X ) A. h  e.  ( z H X ) ( ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g )  =  ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) h )  ->  g  =  h ) ) )
2827ralbidva 2593 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( X H Y ) )  ->  ( A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( z H X ) 
|->  ( F ( <.
z ,  X >.  .x. 
Y ) g ) )  <->  A. z  e.  B  A. g  e.  (
z H X ) A. h  e.  ( z H X ) ( ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) g )  =  ( F (
<. z ,  X >.  .x. 
Y ) h )  ->  g  =  h ) ) )
2928pm5.32da 622 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  Fun  `' ( g  e.  ( z H X )  |->  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g ) ) )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  A. g  e.  ( z H X ) A. h  e.  ( z H X ) ( ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) h )  ->  g  =  h ) ) ) )
308, 29bitrd 244 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( X M Y )  <-> 
( F  e.  ( X H Y )  /\  A. z  e.  B  A. g  e.  ( z H X ) A. h  e.  ( z H X ) ( ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) g )  =  ( F ( <. z ,  X >.  .x.  Y ) h )  ->  g  =  h ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577   <.cop 3677    e. cmpt 4114   `'ccnv 4725   Fun wfun 5286   -->wf 5288   -1-1->wf1 5289   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   Basecbs 13195    Hom chom 13266  compcco 13267   Catccat 13615  Monocmon 13680
This theorem is referenced by:  moni  13688  sectmon  13729  fthmon  13850  setcmon  13968
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-cat 13619  df-mon 13682
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