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Theorem ismonc 25917
Description: The predicate "is a monomorphism" when the morphism belongs to a homset. (Contributed by FL, 2-Jan-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
ismonc.1  |-  O  =  dom  ( id_ `  T
)
ismonc.2  |-  H  =  ( hom `  T
)
ismonc.3  |-  R  =  ( o_ `  T
)
Assertion
Ref Expression
ismonc  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( F  e.  ( MonoOLD  `  T )  <->  A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) )
Distinct variable groups:    B, a,
g, h    C, a,
g, h    F, a,
g, h    H, a,
g, h    O, a,
g, h    R, a    T, a, g, h
Allowed substitution hints:    R( g, h)

Proof of Theorem ismonc
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . 4  |-  dom  ( dom_ `  T )  =  dom  ( dom_ `  T
)
2 eqid 2296 . . . 4  |-  ( dom_ `  T )  =  (
dom_ `  T )
3 eqid 2296 . . . 4  |-  ( cod_ `  T )  =  (
cod_ `  T )
4 ismonc.3 . . . 4  |-  R  =  ( o_ `  T
)
51, 2, 3, 4ismonb 25913 . . 3  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( F  e.  ( MonoOLD  `  T
)  <->  ( F  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T
) A. h  e. 
dom  ( dom_ `  T
) ( ( ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) ) ) ) )
653ad2ant1 976 . 2  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( F  e.  ( MonoOLD  `  T )  <->  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T
) A. h  e. 
dom  ( dom_ `  T
) ( ( ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) ) ) ) )
7 nfv 1609 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ g ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  a  e.  O )
8 nfv 1609 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ g  F  e.  dom  ( dom_ `  T )
9 nfra1 2606 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ g A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T )
( ( ( (
dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  h )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) )
108, 9nfan 1783 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ g ( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T )
( ( ( (
dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  h )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) )
117, 10nfan 1783 . . . . . . . . . 10  |-  F/ g ( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  a  e.  O )  /\  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T )
( ( ( (
dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  h )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) ) )
12 nfv 1609 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ h
( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  a  e.  O )
13 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ h  F  e.  dom  ( dom_ `  T )
14 nfra2 2610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ h A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T )
( ( ( (
dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  h )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) )
1513, 14nfan 1783 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ h
( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T )
( ( ( (
dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  h )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) )
1612, 15nfan 1783 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ h
( ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  a  e.  O )  /\  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T )
( ( ( (
dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  h )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) ) )
17 rsp2 2618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T
) ( ( ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) )  ->  ( (
g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  -> 
( ( ( (
dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  h )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) ) )
18 pm3.31 432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  ->  ( (
( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) ) )  ->  (
( ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) )  /\  (
( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) ) )  -> 
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) )
19 simpll1 994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  a  e.  O )  /\  F  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  ->  T  e.  Cat OLD  )
20 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  a  e.  O )  /\  F  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  ->  a  e.  O )
21 simp2l 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  ->  B  e.  O )
2221ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  a  e.  O )  /\  F  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  ->  B  e.  O )
23 ismonc.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  O  =  dom  ( id_ `  T
)
24 ismonc.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  H  =  ( hom `  T
)
2523, 1, 2, 3, 24ishomd 25893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  a  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( g  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  <->  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  a  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  B ) ) )
2625biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  a  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( g  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  ->  (
g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  a  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  B ) ) )
2723, 1, 2, 3, 24ishomd 25893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  a  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  <->  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  a  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  B ) ) )
2827biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  a  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  ->  (
h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  a  /\  (
( cod_ `  T ) `  h )  =  B ) ) )
2926, 28anim12d 546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  a  e.  O  /\  B  e.  O )  ->  ( ( g  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) )  -> 
( ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  a  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  B )  /\  ( h  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  a  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  B ) ) ) )
3019, 20, 22, 29syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  a  e.  O )  /\  F  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  ->  ( (
g  e.  ( H `
 <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
)  ->  ( (
g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  a  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  a  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  B ) ) ) )
31 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  a  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  ->  g  e.  dom  ( dom_ `  T
) )
32 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  a  /\  (
( cod_ `  T ) `  h )  =  B )  ->  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) )
3331, 32anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  a  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  a  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  B ) )  ->  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) ) )
3433a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  a  e.  O )  /\  F  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  ->  ( (
( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  a  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  a  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  B ) )  ->  ( g  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) ) ) )
3523, 2, 24dehm 25895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  ->  ( F  e.  ( H `  <. B ,  C >. )  ->  (
( dom_ `  T ) `  F )  =  B ) )
36 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  a  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  ->  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  a )
37 simp2 956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  a  /\  (
( cod_ `  T ) `  h )  =  B )  ->  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  a )
38 eqtr3 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  a  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  a )  ->  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  h )
)
3936, 37, 38syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  a  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  a  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  B ) )  ->  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  h )
)
4039adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( dom_ `  T
) `  F )  =  B  /\  (
( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  a  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  a  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  B ) ) )  ->  (
( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  h )
)
41 eqtr3 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  B  /\  (
( dom_ `  T ) `  F )  =  B )  ->  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
)
4241ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  B  ->  ( ( ( dom_ `  T
) `  F )  =  B  ->  ( (
cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
) )
43423ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  a  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  ->  ( (
( dom_ `  T ) `  F )  =  B  ->  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  ( (
dom_ `  T ) `  F ) ) )
4443adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  a  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  a  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  B ) )  ->  ( (
( dom_ `  T ) `  F )  =  B  ->  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  ( (
dom_ `  T ) `  F ) ) )
4544impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( dom_ `  T
) `  F )  =  B  /\  (
( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  a  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  a  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  B ) ) )  ->  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
)
46 eqtr3 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  B  /\  (
( dom_ `  T ) `  F )  =  B )  ->  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
)
4746ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  B  ->  ( ( ( dom_ `  T
) `  F )  =  B  ->  ( (
cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
) )
48473ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  h )  =  a  /\  (
( cod_ `  T ) `  h )  =  B )  ->  ( (
( dom_ `  T ) `  F )  =  B  ->  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  ( (
dom_ `  T ) `  F ) ) )
4948adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  a  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  a  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  B ) )  ->  ( (
( dom_ `  T ) `  F )  =  B  ->  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  ( (
dom_ `  T ) `  F ) ) )
5049impcom 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( dom_ `  T
) `  F )  =  B  /\  (
( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  a  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  a  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  B ) ) )  ->  (
( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
)
5140, 45, 503jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( dom_ `  T
) `  F )  =  B  /\  (
( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  a  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  a  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  B ) ) )  ->  (
( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) ) )
5251ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom_ `  T
) `  F )  =  B  ->  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  a  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  a  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  B ) )  ->  ( (
( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  h )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
) ) )
5335, 52syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  B  e.  O  /\  C  e.  O )  ->  ( F  e.  ( H `  <. B ,  C >. )  ->  (
( ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  g )  =  a  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  B )  /\  ( h  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  a  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  B ) )  ->  ( (
( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  h )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
) ) ) )
54533expib 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( T  e.  Cat OLD  ->  ( ( B  e.  O  /\  C  e.  O
)  ->  ( F  e.  ( H `  <. B ,  C >. )  ->  ( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  g )  =  a  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  B )  /\  ( h  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  a  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  B ) )  ->  ( (
( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  h )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
) ) ) ) )
55543imp 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  g )  =  a  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g
)  =  B )  /\  ( h  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  ( ( dom_ `  T ) `  h )  =  a  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  B ) )  ->  ( (
( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  h )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
) ) )
5655ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  a  e.  O )  /\  F  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  ->  ( (
( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  a  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  a  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  B ) )  ->  ( (
( dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  h )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
) ) )
5734, 56jcad 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  a  e.  O )  /\  F  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  ->  ( (
( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  a  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  B )  /\  ( h  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  (
( dom_ `  T ) `  h )  =  a  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h
)  =  B ) )  ->  ( (
g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  /\  ( ( ( dom_ `  T ) `  g
)  =  ( (
dom_ `  T ) `  h )  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) ) ) ) )
5830, 57syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  a  e.  O )  /\  F  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  ->  ( (
g  e.  ( H `
 <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
)  ->  ( (
g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T ) )  /\  ( ( ( dom_ `  T ) `  g
)  =  ( (
dom_ `  T ) `  h )  /\  (
( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) ) ) ) )
5958imim1d 69 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  a  e.  O )  /\  F  e.  dom  ( dom_ `  T )
)  ->  ( (
( ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) )  /\  (
( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) ) )  -> 
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) )  ->  (
( g  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) ) )
6059ex 423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  /\  a  e.  O )  ->  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  ->  (
( ( ( g  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) )  /\  (
( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) ) )  -> 
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) )  ->  (
( g  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) ) ) )
6160com13 74 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( g  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  h  e.  dom  ( dom_ `  T
) )  /\  (
( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) ) )  -> 
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) )  ->  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  ->  (
( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  a  e.  O )  ->  ( ( g  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) )  -> 
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) ) ) )
6217, 18, 613syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T
) ( ( ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) )  ->  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T
)  ->  ( (
( T  e.  Cat OLD 
/\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  /\  a  e.  O )  ->  (
( g  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) ) ) )
6362impcom 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T ) ( ( ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) ) )  ->  (
( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  a  e.  O )  ->  ( ( g  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) )  -> 
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) ) )
6463impcom 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  a  e.  O )  /\  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T )
( ( ( (
dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  h )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) ) )  ->  ( (
g  e.  ( H `
 <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) )
6516, 64alrimi 1757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  a  e.  O )  /\  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T )
( ( ( (
dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  h )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) ) )  ->  A. h
( ( g  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) )  -> 
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) )
6611, 65alrimi 1757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. 
Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  /\  a  e.  O )  /\  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T )
( ( ( (
dom_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  h )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  h )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) ) )  ->  A. g A. h ( ( g  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) )  -> 
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) )
6766exp31 587 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( a  e.  O  ->  ( ( F  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T
) A. h  e. 
dom  ( dom_ `  T
) ( ( ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) ) )  ->  A. g A. h ( ( g  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) )  -> 
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) ) ) )
6867com23 72 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( ( F  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T
) A. h  e. 
dom  ( dom_ `  T
) ( ( ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) ) )  ->  (
a  e.  O  ->  A. g A. h ( ( g  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) ) ) )
6968imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  /\  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T
) A. h  e. 
dom  ( dom_ `  T
) ( ( ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) ) ) )  -> 
( a  e.  O  ->  A. g A. h
( ( g  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) )  -> 
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) ) )
7069alrimiv 1621 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  /\  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T
) A. h  e. 
dom  ( dom_ `  T
) ( ( ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) ) ) )  ->  A. a ( a  e.  O  ->  A. g A. h ( ( g  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) )  -> 
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) ) )
71 r2al 2593 . . . . . . 7  |-  ( A. g  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  <->  A. g A. h
( ( g  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) )  -> 
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) )
7271ralbii 2580 . . . . . 6  |-  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  <->  A. a  e.  O  A. g A. h ( ( g  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) )
73 df-ral 2561 . . . . . 6  |-  ( A. a  e.  O  A. g A. h ( ( g  e.  ( H `
 <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
)  ->  ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) )  <->  A. a
( a  e.  O  ->  A. g A. h
( ( g  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) )  -> 
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) ) )
7472, 73bitri 240 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  <->  A. a ( a  e.  O  ->  A. g A. h ( ( g  e.  ( H `  <. a ,  B >. )  /\  h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) )  -> 
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) ) )
7570, 74sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  Cat OLD 
/\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O )  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. )
)  /\  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T
)  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T
) A. h  e. 
dom  ( dom_ `  T
) ( ( ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) ) ) )  ->  A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  B >. )
( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) )
7675ex 423 . . 3  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( ( F  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T
) A. h  e. 
dom  ( dom_ `  T
) ( ( ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) ) )  ->  A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) )
7723, 24, 4imonclem 25916 . . 3  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h )  ->  ( F  e.  dom  ( dom_ `  T )  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T ) A. h  e.  dom  ( dom_ `  T
) ( ( ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) ) ) ) )
7876, 77impbid 183 . 2  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( ( F  e. 
dom  ( dom_ `  T
)  /\  A. g  e.  dom  ( dom_ `  T
) A. h  e. 
dom  ( dom_ `  T
) ( ( ( ( dom_ `  T
) `  g )  =  ( ( dom_ `  T ) `  h
)  /\  ( ( cod_ `  T ) `  g )  =  ( ( dom_ `  T
) `  F )  /\  ( ( cod_ `  T
) `  h )  =  ( ( dom_ `  T ) `  F
) )  ->  (
( F R g )  =  ( F R h )  -> 
g  =  h ) ) )  <->  A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) )
796, 78bitrd 244 1  |-  ( ( T  e.  Cat OLD  /\  ( B  e.  O  /\  C  e.  O
)  /\  F  e.  ( H `  <. B ,  C >. ) )  -> 
( F  e.  ( MonoOLD  `  T )  <->  A. a  e.  O  A. g  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) A. h  e.  ( H `  <. a ,  B >. ) ( ( F R g )  =  ( F R h )  ->  g  =  h ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   <.cop 3656   dom cdm 4705   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   dom_cdom_ 25815   cod_ccod_ 25816   id_cid_ 25817   o_co_ 25818    Cat
OLD ccatOLD 25855   homchomOLD 25888   MonoOLD cmonOLD 25907
This theorem is referenced by:  cmpmon  25918  icmpmon  25919  idmon  25920
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-alg 25819  df-dom_ 25820  df-cod_ 25821  df-id_ 25822  df-cmpa 25823  df-ded 25838  df-catOLD 25856  df-homOLD 25889  df-monOLD 25909
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