Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ismtybnd Structured version   Unicode version

Theorem ismtybnd 26517
Description: Isometries preserve boundedness. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismtybnd  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  N  e.  ( Bnd `  Y ) ) )

Proof of Theorem ismtybnd
StepHypRef Expression
1 ismtybndlem 26516 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( * Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N )
)  ->  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  N  e.  ( Bnd `  Y ) ) )
213adant1 976 . 2  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  N  e.  ( Bnd `  Y ) ) )
3 ismtycnv 26512 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  ->  `' F  e.  ( N  Ismty  M ) ) )
433impia 1151 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  `' F  e.  ( N  Ismty  M ) )
5 ismtybndlem 26516 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  `' F  e.  ( N  Ismty  M ) )  ->  ( N  e.  ( Bnd `  Y
)  ->  M  e.  ( Bnd `  X ) ) )
653adant2 977 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  `' F  e.  ( N  Ismty  M ) )  ->  ( N  e.  ( Bnd `  Y
)  ->  M  e.  ( Bnd `  X ) ) )
74, 6syld3an3 1230 . 2  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  ( N  e.  ( Bnd `  Y
)  ->  M  e.  ( Bnd `  X ) ) )
82, 7impbid 185 1  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  N  e.  ( Bnd `  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ w3a 937    e. wcel 1726   `'ccnv 4878   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   * Metcxmt 16687   Bndcbnd 26477    Ismty cismty 26508
This theorem is referenced by:  reheibor  26549
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-er 6906  df-ec 6908  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-2 10059  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-bnd 26489  df-ismty 26509
  Copyright terms: Public domain W3C validator