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Theorem ismtybndlem 26530
Description: Lemma for ismtybnd 26531. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismtybndlem  |-  ( ( N  e.  ( * Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N )
)  ->  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  N  e.  ( Bnd `  Y ) ) )

Proof of Theorem ismtybndlem
Dummy variables  w  r  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isismty 26525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( z M w )  =  ( ( F `  z ) N ( F `  w ) ) ) ) )
21biimp3a 1281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( z M w )  =  ( ( F `  z ) N ( F `  w ) ) ) )
32simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  F : X
-1-1-onto-> Y )
4 f1ocnv 5485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
5 f1of 5472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F : Y --> X )
63, 4, 53syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  `' F : Y --> X )
7 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F : Y --> X  /\  y  e.  Y )  ->  ( `' F `  y )  e.  X
)
86, 7sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( `' F `  y )  e.  X )
9 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( `' F `  y )  ->  (
x ( ball `  M
) r )  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M ) r ) )
109eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' F `  y )  ->  ( X  =  ( x
( ball `  M )
r )  <->  X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M ) r ) ) )
1110rexbidv 2564 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' F `  y )  ->  ( E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  <->  E. r  e.  RR+  X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M ) r ) ) )
1211rspcv 2880 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F `  y )  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  E. r  e.  RR+  X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M
) r ) ) )
138, 12syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  E. r  e.  RR+  X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M
) r ) ) )
14 imaeq2 5008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M
) r )  -> 
( F " X
)  =  ( F
" ( ( `' F `  y ) ( ball `  M
) r ) ) )
15 f1ofo 5479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -onto-> Y )
16 foima 5456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X -onto-> Y  -> 
( F " X
)  =  Y )
173, 15, 163syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  ( F " X )  =  Y )
1817adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( F " X
)  =  Y )
19 rpxr 10361 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
2019adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e. 
RR* )
218, 20anim12dan 810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( ( `' F `  y )  e.  X  /\  r  e.  RR* )
)
22 ismtyima 26527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( ( `' F `  y )  e.  X  /\  r  e.  RR* ) )  -> 
( F " (
( `' F `  y ) ( ball `  M ) r ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  y ) ) ( ball `  N
) r ) )
2321, 22syldan 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( F " (
( `' F `  y ) ( ball `  M ) r ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  y ) ) ( ball `  N
) r ) )
24 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )  -> 
y  e.  Y )
25 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  y ) )  =  y )
263, 24, 25syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( F `  ( `' F `  y ) )  =  y )
2726oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( ( F `  ( `' F `  y ) ) ( ball `  N
) r )  =  ( y ( ball `  N ) r ) )
2823, 27eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( F " (
( `' F `  y ) ( ball `  M ) r ) )  =  ( y ( ball `  N
) r ) )
2918, 28eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( ( F " X )  =  ( F " ( ( `' F `  y ) ( ball `  M
) r ) )  <-> 
Y  =  ( y ( ball `  N
) r ) ) )
3014, 29syl5ib 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M ) r )  ->  Y  =  ( y ( ball `  N
) r ) ) )
3130anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  y  e.  Y )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M
) r )  ->  Y  =  ( y
( ball `  N )
r ) ) )
3231reximdva 2655 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( E. r  e.  RR+  X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M ) r )  ->  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y (
ball `  N )
r ) ) )
3313, 32syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y (
ball `  N )
r ) ) )
3433ralrimdva 2633 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  A. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N ) r ) ) )
35 simp2 956 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  N  e.  ( * Met `  Y
) )
3634, 35jctild 527 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  ( N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  A. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N
) r ) ) ) )
37363expib 1154 . . . 4  |-  ( M  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  ( N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  A. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N
) r ) ) ) ) )
3837com12 27 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( * Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N )
)  ->  ( M  e.  ( * Met `  X
)  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  ( N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  A. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N
) r ) ) ) ) )
3938imp3a 420 . 2  |-  ( ( N  e.  ( * Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N )
)  ->  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) )  ->  ( N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  A. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N
) r ) ) ) )
40 isbndx 26506 . 2  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) ) )
41 isbndx 26506 . 2  |-  ( N  e.  ( Bnd `  Y
)  <->  ( N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  A. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N
) r ) ) )
4239, 40, 413imtr4g 261 1  |-  ( ( N  e.  ( * Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N )
)  ->  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  N  e.  ( Bnd `  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   `'ccnv 4688   "cima 4692   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RR*cxr 8866   RR+crp 10354   * Metcxmt 16369   ballcbl 16371   Bndcbnd 26491    Ismty cismty 26522
This theorem is referenced by:  ismtybnd  26531
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-er 6660  df-ec 6662  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-2 9804  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-bnd 26503  df-ismty 26523
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