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Theorem ismtybndlem 26633
Description: Lemma for ismtybnd 26634. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
ismtybndlem  |-  ( ( N  e.  ( * Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N )
)  ->  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  N  e.  ( Bnd `  Y ) ) )

Proof of Theorem ismtybndlem
Dummy variables  w  r  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isismty 26628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( M  Ismty  N )  <->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( z M w )  =  ( ( F `  z ) N ( F `  w ) ) ) ) )
21biimp3a 1281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( z M w )  =  ( ( F `  z ) N ( F `  w ) ) ) )
32simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  F : X
-1-1-onto-> Y )
4 f1ocnv 5501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
5 f1of 5488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F : Y --> X )
63, 4, 53syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  `' F : Y --> X )
7 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F : Y --> X  /\  y  e.  Y )  ->  ( `' F `  y )  e.  X
)
86, 7sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( `' F `  y )  e.  X )
9 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( `' F `  y )  ->  (
x ( ball `  M
) r )  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M ) r ) )
109eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' F `  y )  ->  ( X  =  ( x
( ball `  M )
r )  <->  X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M ) r ) ) )
1110rexbidv 2577 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' F `  y )  ->  ( E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  <->  E. r  e.  RR+  X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M ) r ) ) )
1211rspcv 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F `  y )  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  E. r  e.  RR+  X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M
) r ) ) )
138, 12syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  E. r  e.  RR+  X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M
) r ) ) )
14 imaeq2 5024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M
) r )  -> 
( F " X
)  =  ( F
" ( ( `' F `  y ) ( ball `  M
) r ) ) )
15 f1ofo 5495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -onto-> Y )
16 foima 5472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : X -onto-> Y  -> 
( F " X
)  =  Y )
173, 15, 163syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  ( F " X )  =  Y )
1817adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( F " X
)  =  Y )
19 rpxr 10377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
2019adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e. 
RR* )
218, 20anim12dan 810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( ( `' F `  y )  e.  X  /\  r  e.  RR* )
)
22 ismtyima 26630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( ( `' F `  y )  e.  X  /\  r  e.  RR* ) )  -> 
( F " (
( `' F `  y ) ( ball `  M ) r ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  y ) ) ( ball `  N
) r ) )
2321, 22syldan 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( F " (
( `' F `  y ) ( ball `  M ) r ) )  =  ( ( F `  ( `' F `  y ) ) ( ball `  N
) r ) )
24 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ )  -> 
y  e.  Y )
25 f1ocnvfv2 5809 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : X -1-1-onto-> Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( F `  ( `' F `  y ) )  =  y )
263, 24, 25syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( F `  ( `' F `  y ) )  =  y )
2726oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( ( F `  ( `' F `  y ) ) ( ball `  N
) r )  =  ( y ( ball `  N ) r ) )
2823, 27eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( F " (
( `' F `  y ) ( ball `  M ) r ) )  =  ( y ( ball `  N
) r ) )
2918, 28eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( ( F " X )  =  ( F " ( ( `' F `  y ) ( ball `  M
) r ) )  <-> 
Y  =  ( y ( ball `  N
) r ) ) )
3014, 29syl5ib 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  ( y  e.  Y  /\  r  e.  RR+ ) )  -> 
( X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M ) r )  ->  Y  =  ( y ( ball `  N
) r ) ) )
3130anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  y  e.  Y )  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M
) r )  ->  Y  =  ( y
( ball `  N )
r ) ) )
3231reximdva 2668 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( E. r  e.  RR+  X  =  ( ( `' F `  y ) ( ball `  M ) r )  ->  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y (
ball `  N )
r ) ) )
3313, 32syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y (
ball `  N )
r ) ) )
3433ralrimdva 2646 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  A. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N ) r ) ) )
35 simp2 956 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  N  e.  ( * Met `  Y
) )
3634, 35jctild 527 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  ( N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  A. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N
) r ) ) ) )
37363expib 1154 . . . 4  |-  ( M  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  F  e.  ( M  Ismty  N ) )  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  ( N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  A. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N
) r ) ) ) ) )
3837com12 27 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( * Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N )
)  ->  ( M  e.  ( * Met `  X
)  ->  ( A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r )  ->  ( N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  A. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N
) r ) ) ) ) )
3938imp3a 420 . 2  |-  ( ( N  e.  ( * Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N )
)  ->  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M ) r ) )  ->  ( N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  A. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N
) r ) ) ) )
40 isbndx 26609 . 2  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  A. x  e.  X  E. r  e.  RR+  X  =  ( x ( ball `  M
) r ) ) )
41 isbndx 26609 . 2  |-  ( N  e.  ( Bnd `  Y
)  <->  ( N  e.  ( * Met `  Y
)  /\  A. y  e.  Y  E. r  e.  RR+  Y  =  ( y ( ball `  N
) r ) ) )
4239, 40, 413imtr4g 261 1  |-  ( ( N  e.  ( * Met `  Y )  /\  F  e.  ( M  Ismty  N )
)  ->  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  ->  N  e.  ( Bnd `  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   `'ccnv 4704   "cima 4708   -->wf 5267   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RR*cxr 8882   RR+crp 10370   * Metcxmt 16385   ballcbl 16387   Bndcbnd 26594    Ismty cismty 26625
This theorem is referenced by:  ismtybnd  26634
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-er 6676  df-ec 6678  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-2 9820  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-bnd 26606  df-ismty 26626
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